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高中数学解题思想方法2-换元法

发布时间：2023-10-30 03:03:57 来源：文档文库

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二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元时要尽可能把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来。
Ⅰ、再现性题组：
1. y＝sinx²cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2. 设f(x＋1＝loga(4－x （a>1），则f(x的值域是_______________。
3. 已知数列{an}中，a1＝－1，an1²an＝an1－an，则数列通项an＝________________。 4. 设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是________________。 5. 方程13xx242＝3的解是_______________。
xx1136. 不等式log2(2－1 ²log2(2Ⅱ、示范性题组：
－2〈2的解集是____________________。
＋1的值。（93Smin2222例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式），设S＝x＋y，求1Smax年全国高中数学联赛题）
x2222【分析】由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设ScosαSsinα代入①式求ySmax和Smin的值。
x【解】设Scosα代入①式得： 4S－5S²sinαcosα＝5 解得 S＝1085sin2α ；
ySsinα∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 …
后面求S值域还可由sin2α＝8S10的有界性而求（有界法）：
S222【另解】设x＝S＋t，y＝S－t，t∈[－S，S]，则xy＝±S－t2代入①式得：
222244S±5S224－t2=5，移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。
22∴ 39S－160S＋100≤0 解得…

【注】三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。其它换元法（和差换元）解：设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ……得a∈[0,3] S＝…＝2(a＋b＝13＋13 a∈[13,2210202225210103] …
1cosA例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，年全国理）
【分析】由A＋C＝2B，可得 【解】 … 【另解】由1cosAAC120°B＝60°＋1cosC＝－2cosB，求cosAC2的值。（96,则设A