一元二次方程根与系数关系（附规范标准答案）

一元二次方程根与系数的关系 （附答案）

一．选择题（共6小题）

1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（　　）

A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1

3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．

6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

二．填空题（共1小题）

7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为　 　．

三．解答题（共8小题）

8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．

9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．

（1）若该方程的一个根为1，求a的值；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为3，求m的值．

11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．

（1）当a=﹣11时，解这个方程；

（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；

（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．

12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．

13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．

14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．

15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．

（1）求m的取值范围；

（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（　　）

A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，

∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，

解得：m≥﹣1．

故选：A．

3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，

∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，

∴x1+x2=2，x1x2=﹣，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．

故选：C．

5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．

【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，

∴α+β=5．

故选：B．

6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，

解得：c=3．

故选：D．

二．填空题（共1小题）

7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为　﹣5　．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，

∴p+q=3，pq=a，

∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，

∴a=﹣3，

∴pq=﹣3，

∴+====﹣5．

故答案为：﹣5．

三．解答题（共8小题）

8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．

【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，

∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，

∴k＞．

（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，

设方程的两个为m、n，

∴m+n=5，mn=5，

∴==．

9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．

（1）若该方程的一个根为1，求a的值；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，

解得：a=．

（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．

∵（a﹣2）2≥0，

∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为3，求m的值．

【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，

∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，

∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，

∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，

解得：m1=3，m2=1．

∴m的值为3或1．

11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．

（1）当a=﹣11时，解这个方程；

（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；

（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．

【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，

（x+3）（x﹣4）=0，

x+3=0或x﹣4=0，

∴x1=﹣3，x2=4；

（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，

即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；

（3）∵是方程的两个实数根，

，

∴．

∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，

∴，

把

代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，

解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4

12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．

【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，

∴x1+x2=1，x1x2=，

∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，

若2﹣=﹣成立，

解上述方程得，k=，

∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，

∴k＜0，∵k=，

∴矛盾，

∴不存在这样k的值；

（2）原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣，

∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4

解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．

∵k＜0．

∴k=﹣2，﹣3或﹣5；

（3）∵k=﹣2，λ=，x1+x2=1，

∴λx2+x2=1，x2=，x1=，

∵x1x2==，

∴=，

∴λ=3±3．

13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．

【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根，

∴，

解得：k≤且k≠﹣1．

（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．

∴x1+x2=，x1x2=．

∵x1+x2=x1x2+2，即=+2，

解得：k=﹣4，

经检验，k=﹣4是原分式方程的解，

∴k=﹣4．

14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．

【解答】解：

（1）△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，

当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；

（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，

得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，

∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，

∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），

化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），

∴实数m的值为1．

15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．

（1）求m的取值范围；

（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．

【解答】解：

（1）∵方程有两个实数根，

∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，

解得m≤2；

（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，

∵x12+x22=6x1x2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，

∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/dc4bfa2a7dd5360cba1aa8114431b90d6d858917.html