一元二次方程根与系数的关系 (附答案)
评卷人 | 得 分 |
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一.选择题(共6小题)
1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1
3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是( )
A.2 B.4 C.5 D.6
5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为( )
A.﹣5 B.5 C.﹣2 D.
6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.3
评卷人 | 得 分 |
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二.填空题(共1小题)
7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为 .
评卷人 | 得 分 |
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三.解答题(共8小题)
8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L的长.
9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)若该方程的一个根为1,求a的值;
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程一个根为3,求m的值.
11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0.
(1)当a=﹣11时,解这个方程;
(2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围;
(3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.
12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
(2)求使+
﹣2的值为整数的实数k的整数值;
(3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值.
13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2=x1x2+2,求k的值.
14.已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值.
15.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x12+x22=6x1x2,求m的值.
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
【解答】解:∵△=42﹣4×3×(﹣5)=76>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:B.
2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,
∴△=22﹣4×1×(﹣m)=4+4m≥0,
解得:m≥﹣1.
故选:A.
3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
【解答】解:∵a=1,b=3,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×(﹣1)=13>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是( )
A.2 B.4 C.5 D.6
【解答】解:∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,
∴x1+x2=2,x1x2=﹣,
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=22﹣2×(﹣)=5.
故选:C.
5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为( )
A.﹣5 B.5 C.﹣2 D.
【解答】解:∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,
∴α+β=5.
故选:B.
6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.3
【解答】解:∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4×1×(c+1)=12﹣4c=0,
解得:c=3.
故选:D.
二.填空题(共1小题)
7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为 ﹣5 .
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p、q,
∴p+q=3,pq=a,
∵p2﹣pq+q2=(p+q)2﹣3pq=18,即9﹣3a=18,
∴a=﹣3,
∴pq=﹣3,
∴+
=
=
=
=﹣5.
故答案为:﹣5.
三.解答题(共8小题)
8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L的长.
【解答】解:(1)∵方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×(k2+1)=4k﹣3>0,
∴k>.
(2)当k=2时,原方程为x2﹣5x+5=0,
设方程的两个为m、n,
∴m+n=5,mn=5,
∴=
=
.
9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)若该方程的一个根为1,求a的值;
(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【解答】(1)解:将x=1代入原方程,得:1+a+a﹣2=0,
解得:a=.
(2)证明:△=a2﹣4(a﹣2)=(a﹣2)2+4.
∵(a﹣2)2≥0,
∴(a﹣2)2+4>0,即△>0,
∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程一个根为3,求m的值.
【解答】(1)证明:原方程可化为x2﹣(2m+2)x+m2+2m=0,
∵a=1,b=﹣(2m+2),c=m2+2m,
∴△=b2﹣4ac=[﹣(2m+2)]2﹣4(m2+2m)=4>0,
∴不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:将x=3代入原方程,得:(3﹣m)2﹣2(3﹣m)=0,
解得:m1=3,m2=1.
∴m的值为3或1.
11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0.
(1)当a=﹣11时,解这个方程;
(2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围;
(3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.
【解答】解:(1)把a=﹣11代入方程,得x2﹣x﹣12=0,
(x+3)(x﹣4)=0,
x+3=0或x﹣4=0,
∴x1=﹣3,x2=4;
(2)∵方程有两个实数根,∴△≥0,
即(﹣1)2﹣4×1×(a﹣1)≥0,解得;
(3)∵是方程的两个实数根,
,
∴.
∵[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,
∴,
把
代入,得:[2+a﹣1][2+a﹣1]=9,即(1+a)2=9,
解得a=﹣4,a=2(舍去),所以a的值为﹣4
12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
(2)求使+
﹣2的值为整数的实数k的整数值;
(3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值.
【解答】解:(1)∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=1,x1x2=,
∴(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2(x1+x2)2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣
,
若2﹣=﹣
成立,
解上述方程得,k=,
∵△=16k2﹣4×4k(k+1)=﹣16k>0,
∴k<0,∵k=,
∴矛盾,
∴不存在这样k的值;
(2)原式=﹣2=
﹣2=
﹣4=﹣
,
∴k+1=1或﹣1,或2,或﹣2,或4,或﹣4
解得k=0或﹣2,1,﹣3,3,﹣5.
∵k<0.
∴k=﹣2,﹣3或﹣5;
(3)∵k=﹣2,λ=,x1+x2=1,
∴λx2+x2=1,x2=,x1=
,
∵x1x2==
,
∴=
,
∴λ=3±3.
13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2=x1x2+2,求k的值.
【解答】解:(1)∵关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根,
∴,
解得:k≤且k≠﹣1.
(2)∵关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2.
∴x1+x2=,x1x2=
.
∵x1+x2=x1x2+2,即=
+2,
解得:k=﹣4,
经检验,k=﹣4是原分式方程的解,
∴k=﹣4.
14.已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值.
【解答】解:
(1)△=[﹣2(m+1)]2﹣4(m2﹣3)=8m+16,
当方程有两个不相等的实数根时,则有△>0,即8m+16>0,解得m>﹣2;
(2)根据一元二次方程根与系数之间的关系,
得x1+x2=2(m+1),x1x2=m2﹣3,
∵x12+x22=22+x1x2=(x1+x2)2﹣2x1x2,
∴[2(m+1)]﹣2(m2﹣3)=6+(m2﹣3),
化简,得m2+8m﹣9=0,解得m=1或m=﹣9(不合题意,舍去),
∴实数m的值为1.
15.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若x12+x22=6x1x2,求m的值.
【解答】解:
(1)∵方程有两个实数根,
∴△≥0,即(﹣2)2﹣4(m﹣1)≥0,
解得m≤2;
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=m﹣1,
∵x12+x22=6x1x2,
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=6x1x2,即(x1+x2)2=8x1x2,
∴4=8(m﹣1),解得m=1.5.
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