定积分和微积分基本定理知识梳理

定积分和微积分基本定理

【考纲要求】

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分，利用定积分求面积。

【知识网络】

【考点梳理】

要点一、定积分的概念

定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.

要点诠释：

（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；

（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.

要点二、定积分的性质

（1）（为常数），

（2），

（3）（其中），

（4）利用函数的奇偶性求积分：

若函数在区间上是奇函数，则；

若函数在区间上是偶函数，则.

要点三、微积分基本定理

如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.

一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.

要点诠释：

求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.

要点四、定积分的几何意义

设函数在区间上连续.

在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.

在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；

在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.

要点五、应用

（一）应用定积分求曲边梯形的面积

1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线

()围成的曲边梯形的面积：；

2. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线

()围成的曲边梯形的面积：；

3. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.

4.利用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；

（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

（3）写出定积分表达式；

（4）求出平面图形的面积.

（二）利用定积分解决物理问题

①变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.

②变力作功

物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.

【典型例题】

类型一：运用微积分定理求定积分

例1. 运用微积分定理求定积分

（1）； （2）； （3）.

【解析】（1）∵，

∴；

（2）∵，

∴.

（3）∵，

∴；

【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得的原函数。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求，即利用求导函数与求原函数互为逆运算。

举一反三：

【变式】计算下列定积分的值：

（1）， （2）

【解析】（1）

（2）

【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】

例2.求

【解析】

【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止.

举一反三：

【变式】计算下列定积分的值.

（1）； （2）； （3）；

【解析】（1），

（2）.

（3）.

例3.求定积分

，求函数在区间上的积分；

【解析】

.

【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。

举一反三：

【变式】求定积分：；

【解析】＝＋

＝ ＋

＝

＝

类型二：利用定积分的几何定义

例4. （2016 河南商丘模拟）求定积分：；

【解析】设，则表示个圆，

由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积,

所以

举一反三：

【变式】求定积分：

【解析】设，则表示如图的曲边形，

其面积,

故.

类型三：利用定积分求平面图形面积

例5.(2015 山东淄博一模)如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为(　　)

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】　由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即，选A.

【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：

（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；

（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；

（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；

（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；

（5）计算各个定积分，求出所求的面积.

举一反三：

【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题一】

【变式1】由直线，，曲线及轴所围图形的面积为( ).

A． B． C． D．

【解析】

【答案】D

【变式2】(2015 江西宜春月考)已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．

【解析】∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，

设过点(1,2)处的切线的斜率为k，

则k＝f′(1)＝3x2－2x＋1＝2，

∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，

即y＝2x.

y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图：

由可得交点A(2,4)．

∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积

类型四：利用定积分解决物理问题

例6. 汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，

当时，汽车速度公里/小时＝米/ 秒8.88米/秒.

刹车后汽车减速行驶，其速度为.

当汽车停车时，速度，

故从到用的时间秒.

于是在这段时间内，汽车所走过的距离是

＝米.

即在刹车后，汽车需走过21.90 米才能停住.

【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.

举一反三：

【变式1】一物体在力的作用下，沿着与相同的方向，从处运动到处，求力所做的功。

【解析】.

【变式2】 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止。求：

（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；

（2）紧急刹车后火车运行的路程。

【解析】（1）由解得，因此，火车经过后完全停止；

（2）=。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/dd84975af21dc281e53a580216fc700abb685239.html