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函数极限存在的条件（精）

发布时间：2018-09-26 12:12:11 来源：文档文库

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§3 函数极限存在的条件

教学目的：通过本次课的学习，使学生掌握函数极限的归结原则和柯西准则并能加以应用解决函数极限的相关问题。

教学方式：讲授。

教学过程：

我们首先介绍这种函数极限的归结原则（也称Heine定理）。

定理3.8（归结原则）。存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且等于。

证：[必要性] 由于，则对任给的，存在正数，使得当时，有。

另一方面，设数列且以为极限，则对上述的，存在，当时有，从而有。这就证明了。

[充分性] 设对任何数列且以为极限，有。现用反证法推出。事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（无论多么小），总存在一点，尽管，但有。现依次取，则存在相应的点，使得

，而

显然数列且以为极限，但当时不趋于。这与假设相矛盾，故必有。

注：（1）归结原则可简述为：

对任何且都有。

（2）归结原则也是证明函数极限不存在的有用工具之一：若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列，，使得，都存在而不相等，则不存在。

（3）对于这几种类型的函数极限的归结原则，有类似的结论。（让学生课堂练习，教师加以评正。）

例1设，，证明极限不存在。

证：设，，则显然有，但

。故由归结原则即得结论。

对于这几种类型的函数极限，除有类似于定理3.8的归结原则外，还可以表述为更强的形式。

定理 3.9 设函数在内有定义。的充要条件是：对任何含于且以为极限的递减数列，极限都存在且等于。

证：仿照定理3.8的证明，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要适当的修改。

相应于数列极限的单调有界定理，关于函数的单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例阐述如下：

定理 3.10 设函数是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。

证：具体证明见教材。主要应用确界原理，确界的定义和单侧极限的定义加以证明。

最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。

定理3.11 设函数是定义在内有定义，存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何有。

证明：[必要性] 设，则对任给，存在正数，使得对任何有。于是对任何有

。

[充分性] 设数列且以为极限。按假设，对任给的，存在正数，使得对任何有。由于，对上述的，存在，当时有，从而有

。

于是，按数列的柯西收敛准则，数列的极限存在，记为，即。

设另一数列且，则如上所证，存在，记为。现证明，为此，考虑数列

易见且。故如上所证，也收敛。于是，作为的两个子列，，必有相同的极限，故由归结原则推得

注：（1）对于这几种类型的函数极限的柯西准则，有类似的结论。（让学生课堂练习，教师加以评正。）

（2）对于这几种类型的函数极限的柯西准则的否命题，学生也必须掌握。比如例1就可以应用柯西准则的否命题解决。

课后作业：习题2、3、5、7。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ded52ca8fbb069dc5022aaea998fcc22bdd1435c.html

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