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第一章随机事件及其概率总结

发布时间：2018-12-09 21:49:06 来源：文档文库

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第一章随机事件及其概率

一、基本概念、基本定理、基本计算公式

1．几个基本概念

互不相容事件（即互斥事件）：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生

对立事件：对立事件亦称“逆事件”，不可能同时发生。若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。定义：其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。

独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

2．（1）随机事件

在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，简称事件。随机事件具有以下特点：

首先，事件的发生具有偶然性。在一次试验中，它可能发生，也可能不发生；其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性。

（2）概率

概率简单来说就是一个在 0 和 1 之间的数，用来度量在一定条件下事件发生的可能性大小。两个极端情况是，在一定条件下必定发生的事件，其概率是 1；在一定条件下不可能发生的事件，其概率是 0。任一事件的概率在 0 和 1 之间。

我们用 P(A)表示事件 A 的概率，用 S 表示必然事件，用表示不可能事件，则有P(S)=1， 0≤P(A) ≤1.

（3）条件概率

a．条件概率P（A|B）与概率 P（A）的区别

条件概率P（A|B）是指在添加条件“事件 B 发生”时，事件 A 发生的可能性大小，及P（A|B）仍是概率。二者一般在数值上也不相同。

计算性质：

b．积事件 P（AB）与条件概率 P（A|B）的区别

初学者往往分不清求的是 P（A|B）还是P（AB），这是容易混淆的问题之一，尤其在实际计算问题中P（A|B）是指在 B 发生的条件下 A 发生的概率，而P（AB）是指 A、 B 同时发生的概率。

（4）独立性、相互独立

a．正确理解独立的概念

若两事件 A、B 满足 P(AB)=P(A)P(B)则称 A、B 相互独立，或 A、B 独立。即：设两事件 A、B， .若 A、B 相互独立，则P(A|B)=P(A) 反之亦然。若A与B相互独立，则word/media/image1.gif也相互独立。（别以为你穿马甲我就不认识你了）

b.多个事件相互独立（判断条件，例题）

c．独立与互斥的区别

两个事件互斥是指两个时间不可能同时发生。因而，当两个时间的概率都大于零时，若它们互斥，一个事件的发生必导致另一个事件的不发生，即一个事件的发生影响另一个事件发生的概率，所以两个事件不独立。反之，若它们相互独立，即一个事件是否发生对另一个事件的概率没有影响，当然推不出一个事件发生，另一个事件不发生，所以两事件不互斥。有命题：若P(A)>0, P(B)>0,则 A、B 互斥与独立不能同时成立。

（5）.从包含有n个不同元素的总体中任意取出r（r≤n）个元素排成一列，就成为一个排列。此时要顾及取出的顺序。（重点）

①有放回选取每次选取的都是n种可能，共有n^r种取法；

②不放回选取第一次选取有n种可能，第二次选取有n-1种可能，……第r次选取有n-r+1种可能，共有word/media/image2.gif种。

i. 一次取一个

a.又放回 word/media/image3.gifb.无放回

ii. 一次去多个（m次）

a.有放回 word/media/image4.gifb.无放回 word/media/image5.gif……（m次）

2.概率的两个定义

统计定义word/media/image6.gif古典概型word/media/image7.gif

3．有关条件的三个定理

①加法公式、乘法公式

加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)，特别当AB互斥时有P(AUB)=P(A)+P(B) ；

加法公式的推广

乘法公式：若P(A)>0,P(AB)=P(A)P(B|A)

乘法公式的推广

4.全概率公式和贝叶斯公式（必考大题）

定义1.1 设word/media/image8.gif为样本空间,设word/media/image9.gif,word/media/image10.gif，word/media/image11.gif为word/media/image8.gif的一个划分组,若它满足(1) word/media/image12.gif, word/media/image13.gif , word/media/image14.gif =1,2,…, word/media/image15.gif , word/media/image13.gif≠word/media/image14.gif;(2) word/media/image16.gif = word/media/image8.gif.则称word/media/image9.gif,word/media/image10.gif ,…word/media/image11.gif为一个完备事件组.

1.1 全概率公式

全概率公式是指若word/media/image9.gif,word/media/image10.gif ,…word/media/image11.gif为一完备事件组, word/media/image17.gif ( word/media/image18.gif)＞word/media/image19.gif (word/media/image13.gif=word/media/image20.gif…),则对于任意事件word/media/image21.gif,有 word/media/image22.gif.

全概率公式的直观意义是:某事件word/media/image21.gif的发生有各种可能的原因word/media/image18.gif (word/media/image13.gif=word/media/image20.gif…),并且这些原因两两不能同时发生,如果word/media/image21.gif是由原因word/media/image18.gif所引起的,若word/media/image21.gif发生时, word/media/image23.gif必同时发生,因而word/media/image24.gif与word/media/image25.gif (word/media/image13.gif=word/media/image20.gif…)有关,且等于其总和

word/media/image26.gif.

全概率的全就是总和的含义,当然这个总和要能求出来,需已知概率word/media/image25.gif,或已知各原因word/media/image18.gif发生的概率word/media/image27.gif及在word/media/image18.gif发生的条件下word/media/image21.gif的条件概率word/media/image28.gif (word/media/image13.gif=word/media/image20.gif…).通俗地说,事件word/media/image21.gif发生的可能性,就是其原因word/media/image18.gif发生的可能性与在word/media/image18.gif发生的条件下事件word/media/image21.gif发生的可能性的乘积之和.

1.2 贝叶斯公式

贝叶斯公式是指若word/media/image9.gif,word/media/image10.gif ,…word/media/image11.gif为一完备事件组,且word/media/image27.gif＞0(word/media/image13.gif=1,2,…),则对任何概率非零的事件word/media/image21.gif,有

word/media/image29.gif.

在理论研究和实际中还会遇到一类问题,这就是需要根据试验发生的结果找原因,看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用,解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件word/media/image21.gif发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.

1.3 全概率公式和贝叶斯公式的应用

从公式结构上看,全概率公式与贝叶斯公式关系密切,如何正确使用这两个公式是本文的一个重要的内容.无论全概率公式还是贝叶斯公式都需要正确的找出完备事件组.

如果所求概率的事件与前后两个实验有关,且这两个实验彼此关联,第一个试验的各种结果直接对第二个试验产生影响,而问第二个试验出现某结果的概率,这类问题是属于使用全概率公式的问题,将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和,这些事件就是所求的一个完备事件组.至于在什么情况下使用贝叶斯公式,这就要看问题的提法.如果已知某事件已发生,要求该事件与完备事件组中某一事件一同发生的概率,应采用贝叶斯公式求之.

如果事件word/media/image21.gif能且只能在原因word/media/image9.gif,word/media/image10.gif ,…word/media/image11.gif下发生,且word/media/image9.gif,word/media/image10.gif ,…word/media/image11.gif是两两互不相容,那么这些原因就是一个完备事件组.如果这些原因发生的概率word/media/image27.gif以及在原因word/media/image18.gif发生下事件word/media/image21.gif的条件概率word/media/image28.gif (word/media/image13.gif=1,2,…)都是已知的,或都可求出,则:

(1) 可使用全概率公式计算事件word/media/image21.gif的概率.

(2) 如果已知事件word/media/image21.gif发生,要计算导致结果word/media/image21.gif发生的原因word/media/image18.gif的可能性大小,即事件word/media/image18.gif的条件概率word/media/image30.gif的大小,可采用贝叶斯公式求之.显然如果把word/media/image18.gif (word/media/image13.gif=word/media/image20.gif…)看成是导致事件word/media/image21.gif发生的原因,那么全概率公式与贝叶斯公式可分别说成由因求果与执果求因的概率计算公式.

例1.1 设甲箱中有3个白球和2个黑球,乙箱中有1个白球和2个黑球,自甲箱中任意取2球放入乙箱,然后再从乙箱中任意取出2球,试求:

(1) 从乙箱中取出的两球是白球的概率;

(2) 在乙箱中取出的两球是白球的条件下,从甲箱中取出的两球是白球的概率.

解 (1) 从乙箱中取球(第二个试验)之前,要从甲箱中任意取两球放入乙箱(第一个试验),而从甲箱中取球的结果影响到从乙箱中取球的结果,本题可用全概率公式来求解.

将第一个试验的样本空间分解,即可求得完备事件组.

因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能:取得两白球,或者取得一黑球和一白球,或者取出两黑球,分别用word/media/image9.gif,word/media/image10.gif ,word/media/image31.gif表示,则word/media/image9.gif,word/media/image10.gif ,word/media/image31.gif即为所求的一个完备事件组,又设word/media/image21.gif为乙箱中取出的两球是白球,则有

word/media/image32.gif

word/media/image33.gif.

由全概率公式得到word/media/image34.gif.

(2)本题是在word/media/image21.gif发生的条件下求导致这一试验结果发生的原因属于事件word/media/image9.gif的概率有多大,须用贝叶斯公式,

word/media/image35.gif.

例1.2 在数字通讯中,信号是由数字0和1的长序列组成的,由于随机干扰,发送的信号0或1各有可能错误接受为1或0,现假设发送信号为0和1的概率均为1/2;又已知发送0时,接受为0和1的概率分别为0.7和0.3;发送信号为1时,接受为1和0的概率分别为0.9和0.1.求已知收到信号0时,发出的信号是0(即没有错误接受)的概率.

解设word/media/image36.gif={发送信号为0},word/media/image9.gif ={发送信号为1},word/media/image37.gif={收到信号为0},word/media/image38.gif={收到信号为1},因为收到信号为0时,除来自发送信号确系为0外,还由于干扰原因,发送信号为1时,接受的信号也可能为0,因此导致事件word/media/image37.gif发生的原因只有事件word/media/image36.gif与word/media/image9.gif,且它们互不相容,故word/media/image36.gif与word/media/image9.gif构成一完备事件组,

由题设,有word/media/image39.gif=word/media/image40.gif=word/media/image41.gif,word/media/image42.gif=0.7, word/media/image43.gif = 0.1,

故word/media/image44.gif=word/media/image39.gifword/media/image42.gif+word/media/image40.gifword/media/image43.gif=word/media/image41.gifword/media/image45.gif0.7+word/media/image41.gifword/media/image45.gif0.1=0.4.

若接受信号0 时,发送信号是0的概率由贝叶斯公式得 word/media/image46.gif

例1.3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.

解由于飞机被击落,必然是飞机被一人、二人或三人击中,如令word/media/image47.gif表示事件飞机被击落, word/media/image48.gif表示事件飞机被word/media/image13.gif人击中(word/media/image13.gif= 0,1,2,3), word/media/image9.gif , word/media/image10.gif , word/media/image31.gif 分别表示甲、乙、丙击中了飞机.因word/media/image37.gif,word/media/image38.gif ,word/media/image49.gif ,word/media/image50.gif两两互不相容,故word/media/image37.gif,word/media/image38.gif ,word/media/image49.gif ,word/media/image50.gif构成一个完备事件组,又由题设知word/media/image9.gif,word/media/image10.gif ,word/media/image31.gif相互独立,且word/media/image40.gif=0.4, word/media/image51.gif =0.5, word/media/image52.gif =0.7,

故word/media/image53.gif=word/media/image54.gif+word/media/image55.gif+word/media/image56.gif =word/media/image40.gifword/media/image57.gifword/media/image58.gif+word/media/image59.gifword/media/image57.gifword/media/image52.gif+word/media/image59.gifword/media/image51.gifword/media/image58.gif=0.4word/media/image45.gif0.5word/media/image45.gif0.3+0.6word/media/image45.gif0.5word/media/image45.gif0.7+0.6word/media/image45.gif0.5word/media/image45.gif0.3=0.36.

同理可求word/media/image60.gif=word/media/image61.gif+word/media/image62.gif+word/media/image63.gif=0.4word/media/image45.gif0.5word/media/image45.gif0.3+0.4word/media/image45.gif0.5word/media/image45.gif0.7+0.6word/media/image45.gif0.5word/media/image45.gif0.7 = 0.41; word/media/image64.gif = word/media/image65.gif =0.4word/media/image45.gif0.5word/media/image45.gif0.7=0.14.

又word/media/image66.gif＞0(word/media/image13.gif=0,1,2,3),且由题设有word/media/image67.gif=0, word/media/image68.gif =0.2, word/media/image69.gif =0.6, word/media/image70.gif =1.

于是由全概率公式即得word/media/image71.gif= 0.36word/media/image45.gif0.2+0.41word/media/image45.gif0.6+0.41=0.728

例1.4 两台车床加工同样的零件,第一台出现不合格品的概率是0.03,第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.

(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的零件是不合格品,求它是由第二台车床加工的概率.

解记事件word/media/image9.gif为“取到第一台车床加工的零件”,则

word/media/image72.gif,word/media/image73.gif

又记事件word/media/image21.gif为“取到合格品”.显然word/media/image9.gif,word/media/image74.gif为一个完备事件组,

则知word/media/image75.gif=word/media/image76.gif.

且用贝叶斯公式可得到word/media/image77.gif

例1.5学生在做一道有4个选项的选择题时,如果他不知道问题的正确答案时,就做随机猜测.现从卷面上看题是答对了,试在以下情况求学生确实知道正确答案的概率.

(1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是word/media/image41.gif；(2)学生知道答案的概率是0.2.

解记事件word/media/image78.gif为“题目答对了”,事件word/media/image21.gif为“知道正确答案”,则按题意有

word/media/image79.gif=1，word/media/image80.gif =0.25.

(1)此时有word/media/image24.gif=word/media/image81.gif=0.5,所以由贝叶斯公式得

word/media/image82.gif=word/media/image83.gif=0.8

(2)此时有word/media/image24.gif=0.2, word/media/image24.gif =0.8,所以由贝叶斯公式得

word/media/image82.gif =word/media/image84.gif=0.5

例1.6 有两箱零件,第一箱装50件,其中10件是一等品;第二箱装30件,其中18件事一等品,现从两箱中任挑选出一箱,然后从该箱中先后任意取出两个零件试求：

(1)第一次取出的是一等品的概率.

(2)在第一次取出的是一等品的概率的情况下,第二次取出的仍是一等品的概率.

解记事件word/media/image18.gif为“第word/media/image13.gif次取出的是一等品”, word/media/image13.gif =1,2.又记事件word/media/image48.gif为“取到第word/media/image13.gif箱的零件”, word/media/image13.gif =1,2.则word/media/image9.gif,word/media/image85.gif为一个完备事件组.

(1)用全概率公式可得word/media/image86.gif

(2)又因为

word/media/image87.gif

所以

例1.7甲、乙轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则此人继续掷.试求第word/media/image15.gif次由甲掷的概率.

解设事件word/media/image18.gif为“第word/media/image13.gif次由甲掷骰子”,记word/media/image88.gif,word/media/image13.gif=1,2….则有word/media/image89.gif,word/media/image90.gif ,word/media/image91.gif ,那么word/media/image9.gif,word/media/image10.gif ,…word/media/image11.gif为一个完备事件组.