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期权定价模型

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期权定价模型
【学习目标】
本章是期权部分的重点内容之一。本章主要介绍了著名的Black-Scholes期权定价模型和由J.Cox、S.Ross和M.Rubinstein三人提出的二叉树模型，并对其经济理解和应用进行了进一步的讲解。学习完本章，读者应能掌握Black-Scholes期权定价公式及其基本运用，掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。
自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教
1授FischerBlack和MyronScholes发表《期权定价与公司负债》一
文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J.Cox、S.Ross和M.Rubinstein三人提出的二叉树模型。在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨2。

1
Black,F.,andScholes(1973“ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities”,JournalofPoliticalEconomy,81(May-June,p.637-659
2从本书难度的设定出发，本章只介绍期权定价模型的基本内容及其理解，而不具体推导模型，更深入的内容可参见郑振龙.金融工程.北京:高等教育出版社,2003.第六章
1

第一节Black-Scholes期权定价模型一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件
Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：
1.期权标的资产为一风险资产（Black-Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动1，即
dS
dtdzS
其中，dS为股票价格瞬时变化值，dt为极短瞬间的时间变化值，
dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dzdt，称为标
准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。和都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称为漂移率，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。2．在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1和2，意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。3.没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。综合2和3，意味着投资者的收益仅来源于价格的

1
有关股票价格及其衍生证券所遵循的随机过程的详细信息，可参见郑振龙.金融工程.北京:高等教育出版社,2003.115页-121页
2

变动，而没有其他影响因素。
4.该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5.在期权有效期内，无风险利率r为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．期权为欧式看涨期权，其执行价格为X，当前时刻为t，到期时刻为T。
7．不存在无风险套利机会。二、Black-Scholes期权定价模型（一）Black-Scholes期权定价公式
在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：
ff1222frSSrf2t2SS

（11.1）
其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过解这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：
cSN(d1Xer(TtN(d2（11.2）
其中，
3

d1
ln(S/X(r2/2(Tt
Tt
2
ln(S/X(r/2(Ttd2d1Tt
Tt

c为无收益资产欧式看涨期权价格；N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有N(x1N(x。
（二）Black-Scholes期权定价公式的理解1.期权价格的影响因素
首先，让我们将Black-Scholes期权定价公式与第十章中分析的期权价格的影响因素联系起来。在第十章中，我们已经得知期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价格、波动率、无风险利率、到期时间和现金收益。在式（11.2）中，除了由于我们假设标的资产无现金收益之外，其他几个参数都包括在内，且影响方向与前文分析的一致。
2.风险中性定价原理
其次我们要谈到一个对于衍生产品定价非常重要的原理：风险中性定价原理。观察式（11.2），以及第十章中的期权价格影响因素分析，我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。即在第一节我们描述标的资产价格所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率在期权定价公式中消失了。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证券预期收益率的确定方法。期权价格与的无关性，显然大

4

大降低了期权定价的难度和不确定性。
进一步考虑，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在期权的价值决定公式中，公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、执行价格（X）、时间（t）、证券价格的波动率（）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。既然主观风险偏好对期权价格没有影响，这使得我们可以利用Black-Scholes期权定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：
在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。
应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
5

由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：
11－0.5=9
=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：
2.25e0.10.252.19元
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：
100.25f2.19

f0.31元
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。

6

从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求：
10e0.10.25[11P9(1P]
P=62.66%。
又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：
10e0.150.25[11P9(1P]
P=69.11%。
可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。
3.对期权定价公式的经济理解。
首先，从Black-Scholes期权定价模型自身的求解过程来看1，N(d2实际上是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，因此，e-r(T-tXN(d2是X的风险中性期望值的现值，更朴素地说，可以看成期权可能带来的收入现值。SN(d1=e-r(T-tSTN(d1是ST的风险中性期望值的现值，可以看成期权持有者将来可能

1
Black-Scholes期权定价模型的具体推导过程参见郑振龙.金融工程.北京:高等教育出版社,2003.115页-133页
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支付的价格的现值。因此整个欧式看涨期权公式就可以被看作期权未来期望回报的现值。
其次，N（d1
df
，显然反映了标的资产变动一个很小的单位dS
时，期权价格的变化量；或者说，如果要避免标的资产价格变化给期权价格带来的影响，一个单位的看涨期权多头，就需要单位的标的
（d1是资产空头加以保值。事实上，我们在第十二章中将看到，N
复制交易策略中股票的数量，SN（d1就是股票的市值,-e-r(T-tXN(d2则是复制交易策略中负债的价值。
最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-notingcalloption）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothingoption）空头，SN(d1是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-tXN(d2是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。这是因为，对于一个资产或无价值看涨期权来说，如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额，根据前文对N(d2和SN(d1的分析，可以得出该期权的价值为e-r(T-tSTN(d1=SN(d1的结论；同样，对于（标准）现金或无价值看涨期权，如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付1元，由于期权到期时价格超过执行价格的概率为N(d2，则1份现金或无价值看涨期权的现值为-e-r(T-tN(d2。（三）Black-Scholes期权定价公式的拓展1.无收益资产欧式看跌期权的定价公式
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Black-Scholes期权定价模型给出的是无收益资产欧式看涨期权的定价公式，根据欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：
pcXer(TtSXer(TtN(d2SN(d1
（11.3）
2.无收益资产美式期权的定价公式
在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（11.2）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式，但可以用数值方法以及解析近似方法求出。3.有收益资产期权的定价公式
到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收益可以准确地预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的欧式期权定价并不复杂。
在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机过程的波动率1，就可直接套用公式（11.2）和（11.3）分别计算出有收益

1从理论上说,风险部分的波动率并不完全等于整个证券价格的的波动率,有风险部分的波动率近似等于整个
证券价格波动率乘以S/(S－V，这里V是红利现值。但在本书中，为了方便起见，我们假设两者是相等的。
9

资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（11.2）和（11.3）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将Seq(Tt代替式（11.2）和（11.3）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。在各种期权中，股票指数期权、外汇期权和期货期权的标的资产可以看作支付连续红利率，因而它们适用于这一定价公式。具体的内容，我们将在第十三章深入阐述。
另外，对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能，我们无法得到精确的解析解，仍然需要用数值方法以及解析近似方法求出。
三、Black-Scholes期权定价公式的计算（一）Black-Scholes期权定价模型的参数
我们已经知道，Black-Scholes期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。1.估计无风险利率
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在发达的金融市场上，很容易获得对无风险利率的估计值。但是在实际应用的时候仍然需要注意几个问题。首先，我们需要选择正确的利率。一般来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值。由于美国国库券所报出的利率通常为贴现率（即利息占票面价值的比例），因此需要转化为通常的利率，并且用连续复利的方式表达出来，才可以在Black-Scholes公式中应用。其次，要小心地选择国库券的到期日。如果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率。
我们用一个例子来说明无风险利率的计算。假设一个还有84天到期的国库券，其买入报价为8.83，卖出报价为8.77。由于短期国库券市场报价为贴现率，我们可以推算出其中间报价对应的现金价格（面值为100美元）为
8.838.7784
PTB10097.947美元2360
进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率：
erTt
100100
er0.23r0.0902PTB97.947
2.估计标的资产价格的波动率
估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难得多，也更为重要。正如第十章所述，估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。（1）历史波动率
11

所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。以股票价格为例，表11-1列出了计算股票价格波动率的一个简单说明。很显然，计算波动率的时候，我们运用了统计学中计算样本均值和标准差的简单方法。其中，Rt为股票价格百分比收益率，R（或者为）则为连续复利收益率（估计）均值，VarR（或者2）则是连续复利收益率（估计）方差，就是相应的（估计）标准差（波动率），即Black-Scholes公式计算时所用的参数。在表11-1中，共有11天的收盘价信息，因此得到10个收益率信息。
RtPtPt11T
RlnRt
Tt1
1T
VarRlnRtRT1t1
2

表11-1历史波动率计算
天数01234567
Pt
Rt
lnRt
lnRR
t
2

100.00101.5098.0096.75100.50101.00103.25105.00
1.01500.96550.98721.03881.00501.02231.0169
0.0149-0.0351-0.01280.03800.00500.02200.0168
0.0001540.0014100.0002340.0012640.0000060.0003820.000205
12

8910
102.75103.00102.50

0.97861.00240.9951总计
-0.02170.0024-0.00490.0247
0.0005820.0000000.0000530.004294
样本均值＝0.0247/100.00247样本方差20.004294/90.000477样本标准差0.021843
在Black-Scholes公式所用的参数中，有三个参数与时间有关：到期期限、无风险利率和波动率。值得注意的是，这三个参数的时间单位必须相同，或者同为天、周，或者同为年。年是经常被用到的时间单位，因此，我们常常需要将诸如表11-1中得到的天波动率转化为年波动率。在考虑年波动率时，有一个问题需要加以重视：一年的天数究竟按照日历天数还是按照交易天数计算。一般认为，证券价格的波动主要来自交易日。因此，在转换年波动率时，应该按照一年252个交易日进行计算。这样，表11-1中计算得到的天波动率相应的年波动率为yearday2520.3467。
在我们的例子中，我们使用的是10天的历史数据。在实际计算时，这个天数的选择往往很不容易。从统计的角度来看，时间越长，数据越多，获得的精确度一般越高。但是，资产价格收益率的波动率却又常常随时间而变化，太长的时间段反而可能降低波动率的精确度。因此，计算波动率时，要注意选取距离今天较近的时间，一般的经验法则是设定度量波动率的时期等于期权的到期期限。因此，如果要为9

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个月的期权定价，可使用9个月的历史数据。（2）隐含波动率
从Black-Scholes期权定价模型本身来说，公式中的波动率指的是未来的波动率数据，这使得历史波动率始终存在着较大的缺陷。为了回避这一缺陷，一些学者将目光转向隐含波动率的计算。所谓的隐含波动率，即根据Black-Scholes期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据。显然，这里计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。当然，由于Black-Scholes期权定价公式比较复杂，隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。
（二）Black-Scholes期权定价公式的计算：一个例子
为了使读者进一步理解Black-Scholes期权定价模型，我们下面用一个简单的例子，来说明这一模型的计算过程。
例11.1假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。在本题中，可以将相关参数表达如下：S＝50，X＝50，r=0.12,σ=0.1,T=1,计算过程可分为三步：
第一步，先算出d1和d2。
d1
ln(50/50(0.120.01/21
1.25
0.11
d2d10.111.15
14

第二步，计算Nd1和Nd2。
Nd1N1.250.8944Nd2N1.150.8749

第三步，上述结果及已知条件代入公式（11.2），这样，欧式看涨期权和看跌期权价格分别为：
c500.8944500.8749e0.1215.92美元
p5010.8749e0.1215010.89440.27美元
在本例中，标的资产执行价格和市场价格正好相等，但是看涨期权的价格却与看跌期权的价格相差悬殊。其中的原因在于利率和到期期限对期权价格的影响。在本例中，利率高达12%，到期期限长达一年。在这种情况下，执行价格的现值将大大降低。对于欧式看涨期权来说，这意味着内在价值的大幅上升；而对欧式看跌期权来说，却意味着内在价值的大幅降低。因此，在计算了执行价格的现值以后，看涨期权是实值期权而看跌期权则是一个虚值期权。事实上，由于实际中的市场短期利率通常较低，期权到期期限一般不超过9个月，因此如果标的资产市场价格与执行价格相等，同样条件下的看涨期权价格和看跌期权价格一般比较接近。
四、Black-Scholes期权定价公式的精确度实证
要求证Black-Scholes期权定价公式的精确度，我们可以运用Black-Scholes期权定价公式计算出期权价格的理论值，然后与市场上的期权价格进行比较。如果两者不存在显著的差别，那么这个定价公式的精度应该是令人满意的。
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从总的实证研究结果来看，Black-Scholes期权定价公式存在一定偏差，但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳模型之一。与CAPM解释股票价格差异的能力相比，Black-Scholes期权定价公式可以较好地解释期权的价格差异。这也正是Scholes得以获得1997年诺贝尔经济学奖的重要原因。
一般认为，造成用Black-Scholes期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的原因主要有以下几个：1.计算错误；
2.期权市场价格偏离均衡；3.使用的错误的参数；
4.Black-Scholes期权定价公式建立在众多假定的基础上。五、Black-Scholes期权定价公式的应用
Black-Scholes期权定价公式除了可以用来估计期权价格，在其它一些方面也有重要的应用。主要包括评估组合保险成本、给可转换债券定价和为认股权证估值。
（一）评估组合保险成本
证券组合保险是指事先能够确定最大损失的投资策略。比如在持有相关资产的同时买入看跌期权就是一种组合保险。
假设你掌管着价值1亿的股票投资组合，这个股票投资组合于市场组合十分类似。你担心类似于1987年10月19日的股灾会吞噬你的股票组合，这时购买一份看跌期权也许是合理的。显然，期权的执
16

行价格越低，组合保险的成本越小，不过也许我们需要一个确切的评估，市场上可能根本就没有对应的期权，要准确估算成本十分困难，此时Black-Scholes期权定价公式就十分有用。比如也许10％的损失是可以接受的，那么执行价格就可以设为9000万，然后再将利率、波动率和保值期限的数据代进公式，就可以合理估算保值成本。
（二）给可转换债券定价
可转换债券是一种可由债券持有者转换成股票的债券，因此可转换债券相当于一份普通的公司债券和一份看涨期权的组合。即
VCBVBVC
其中VCB表示可转换债券的价值，VB代表从可转换债券中剥离出来的债券的价值，VC代表从可转换债券中剥离出来的期权的价值。
在实际中VC的估计是十分复杂的，因为VC对利率非常敏感，而布莱克_舒尔斯期权定价公式假定无风险利率不变，对VC显然不适用。其次，从可转换债券中隐含的期权的执行与否会因为股票股利和债券利息的问题复杂化。第三，许多可转换债券的转换比例会随时间变化。
还有就是绝大多数可转换债券是可赎回的。可赎回债券的分解更加复杂。对债券持有者而言，它相当于一份普通的公司债券、一份看涨期权多头（转换权）和一份看涨期权空头（赎回权）的组合。可赎回的可转换债券对股票价格变动很敏感，而且对利率也非常敏感。当利率下降的时候，公司可能会选择赎回债券。当然，利率上升的时候债券价值也会上升。
（三）为认股权证估值
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认股权证通常是与债券或优先股一起发行的，它的持有人拥有在特定时间以特定价格认购一定数量的普通股，因此认股权证其实是一份看涨期权，不过两者之间还是存在细微的差别，看涨期权执行的时候，发行股票的公司并不会受到影响，而认股权证的执行将导致公司发行更多的股票，因此，认股权证的执行存在稀释效应，在估值的时候必须考虑这一点。
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第二节二叉树模型
Black-Scholes模型的提出，对期权定价的研究而言，是一个开创性的研究。然而，由于该模型涉及到比较复杂的数学问题，对大多数人而言较难理解和操作。1979年，J.Cox、S.Ross和M.Rubinstein三人发表《期权定价：一种被简化的方法》1一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称为“二叉树模型（theBinomialModel）”或“二叉树模型”，是期权数值定价方法的一种。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。同时，它不仅可以为欧式期权定价，而且可以为美式期权定价；不仅可以为无收益资产定价，而且可以为有收益资产定价，应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。
一、二叉树模型的基本方法
我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树模型，之后再逐步加以扩展。
二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t，并假设在每一个时间间隔t内证券价格只有两种运动的可能：从开始的即到达Su；下降到原先的d倍，即Sd。其中，S上升到原先的u倍，u1，
d1，如图11.1所示。价格上升的概率假设为q，下降的概率假设为

1
J.Cox,J.,Ross,S.,andRubinstein:OptionPricing(1979“aSimplifiedApproach”,JournalofFinancialEconomics,September,p.7
19

1q。
Su
q
S
1-q
Sd

图11.1t时间内资产价格的变动
相应地，期权价值也会有所不同，分别为fu和fd。
注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。（一）单步二叉树模型
运用单步二叉树为期权定价，可以有两种方法：无套利方法和风险中性定价方法。1.无套利定价法
由于期权和标的资产的风险源是相同的，在如图11.1的单步二叉树中，我们可以构造一个证券组合，包括股资产多头和一个看涨期权空头。如果我们取适当的值，使
SufuSdfd
则无论资产价格是上升还是下跌，这个组合的价值都是相等的。

20

也就是说，当
fufd
时，无论股票价格上升还是下跌，该组合的SuSd
价值都相等。显然，该组合为无风险组合，因此我们可以用无风险利率对Sufu或Sdfd贴现来求该组合的现值。在无套利机会的假设下，该组合的收益现值应等于构造该组合的成本，即
SfSufuert
将
fufd
代入上式就可得到：SuSd
rt
fe
ertdertd
fu1fdudud
（11.4）
2.风险中性定价法
在第一节中我们已经探讨过，期权定价可以在风险中性世界中进行，同样，我们也可以在二叉树模型中应用风险中性定价原理，确定参数p、u和d，从而为期权定价。这是二叉树定价的一般方法。在风险中性世界里：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。
在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率
r，因此若期初的证券价格为S，则在很短的时间间隔t末的证券价
格期望值应为Sert。因此，参数p、u和d的值必须满足这个要求，即：
SertpSu(1pSd
ertpu(1pd(11.5
二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，那么在一个小时

21

间段t内证券价格变化的方差是S2e2(Tt[e
2
2
(Tt
1]1。根据方差的定
义，变量Q的方差等于EQ2EQ，因此：Se
22(Tt
[e
2(Tt
1]pS2u2(1pS2d2S2[pu(1pd]2
1]pu2(1pd2pu(1pd
2
e2(Tt[e(11.6
2
(Tt
式（11.4）和(11.5给出了计算p、u和d的两个条件。第三个条Cox、Ross和Rubinstein所用的条件2是：件的设定则可以有所不同，
u
1
（11.7）d
从以上三个条件求得，当t很小时：

ertd
p
ud
（11.8）
ue
t

（11.9）de（11.10）从而
fertpfu1pfd
t


（11.11）
比较以上两种方法，我们可以看到，无套利定价法和风险中性定

1
遵循几何布朗运动意味着股票价格符合对数正态分布，因而可以得到这一关于股票价格方差的结论。具体内容可参见郑振龙.金融工程.北京:高等教育出版社,2003.115页-133页
2这是二叉树模型中最常用的第三个条件，后文我们将会谈到对第三个条件的其他设定方法。
22

价法实际上具有内在一致性。在无套利定价过程中，我们并没有考虑资产价格上升和下降的实际概率，由于资产预期收益率等于不同情况下收益率以概率为权重的加权平均值，在无套利定价法下无需考虑概率就意味着资产预期收益具有无关性，这正好符合风险中性的概念。其次，如果将式（11.8）代入（11.4），最后的期权公式（11.4）和（11.11）实际上是完全相同的。那么要如何理解公式（11.11）中的概率p呢？这里的概率实际上是风险中性世界中的概率而非实际的概率，因此资产的预期收益率仍然对期权定价是无关的。
一般来说，在运用二叉树方法时，风险中性定价是常用的方法，而无套利定价法则主要是提供了一种定价思想。（二）多步二叉树模型：证券价格的树型结构
以上所述的单步二叉树模型虽然比较简单，但已包含着二叉树定价模型的基本原理和方法。因此，可以进一步拓展到多步二叉树模型。应用多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图11.2所示。
Su4
Su3
Su2
SuS
Sd
Sd2
Sd3
Sd4
S
S
Sd
Sd2Su
Su2

图11.2资产价格的树型结构

23

当时间为0时，证券价格为S。时间为t时，证券价格要么上涨到Su，要么下降到Sd；时间为2t时，证券价格就有三种可能：Su2、
Sud（等于S）和Sd2，以此类推。一般而言，在it时刻，证券价格
有i1种可能，它们可用符号表示为：
Sujdij其中j0,1,LL,i
注意：由于u，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。（三）倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。由于在到期T时刻的预期期权价值是已知的，例如看涨期权价值为
max(STX,0，看跌期权价值为max(XST,o，因此在风险中性条件下
1
d
在求解Tt时刻的每一结点上的期权价值时，都可通过将T时刻的期权价值的预期值在t时间长度内以无风险利率r贴现求出。同理，要求解T2t时的每一结点的期权价值时，也可以将Tt时的期权价值预期值在时间t内以无风险利率r贴现求出。依此类推。采用这种倒推法，最终可以求出零时刻（当前时刻）的期权价值。
以上是欧式期权的情况，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有t时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。例11.2
假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看
24

跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。
为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。根据式（11.8）到（11.10），可以算出：
uede
tt
1.12240.8909
ertd
p0.5076
ud1p0.4924
据此我们可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如图11.3所示。在每个结点处有两个值，上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值。股价上涨概率总是等于0.5076，下降概率总是等于0.4924。
在it时刻，股票在第j个结点（j0,1,LL,i）的价格等于Sujdij。例如，F结点（i4,j1）的股价等于501.12240.8909339.69元。在最后那些结点处，期权价值等于max(XST,0。例如，G结点（i5,j1）的期权价格等于50－35.36=14.64。
79.35
062.990502.6639.69
E89.07
070.70
056.12
044.55
70.70
0
62.99
56.12
50A4.48
2.1544.556.95
0.63503.7639.69
B10.35
D
56.121.30C
44.556.3735.3614.64
5.45F
10.3135.36G31.5114.6418.50
28.0721.93

图11.3不付红利股票美式看跌期权二叉树

25

从最后一列结点处的期权价值可以计算出倒数第二列结点的期权价值。首先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是t时间内期权价值期望值的现值。例如，E结点（i4,j2）处的期权价值等于：
(0.507600.49245.45e0.10.08332.66元
而F结点处的期权价值等于：
(0.50765.450.492414.64e0.10.08339.90元
然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。在E结点，提前执行将使期权价值为0，因为股票市价和协议价格都等于50，显然不应提前执行。因此E结点的期权价值应为2.66元。而在F结点，如果提前执行，期权价值等于50.00－39.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股价到达F结点，就应提前执行期权，从而F结点上的期权价值应为10.31元，而不是9.90元。
用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为4.48元。
如果我们把期权有效期分成更多小时段，结点数会更多，计算会更复杂，但得出的期权价值会更精确。当t非常小时，期权价值将等于4.29元。
（四）二叉树方法的一般定价过程
下面我们给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法，仍然举无收益证券的美式看跌期权为例。假设把该期权有效期划分成N个长度为t的小区间，令fij(0iN,0ji表示在时间it时第j个结点处
26

的美式看跌期权的价值，我们将fij称为结点(i,j的期权价值。同时用
Sujdij表示结点(i,j处的证券价格。由于美式看跌期权在到期时的价
值是max(XST,o，所以有：
fN，jmax(XSujdNj,0，其中j0,1,LL,N
当时间从it变为(i1t时，从结点(i,j移动到结点(i1,j1的概率为p，移动到(i1,j的概率为1p。假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：
fijert[pfi1,j1(1pfi1,j]

其中0iN1,0ji。如果考虑提前执行的可能性的话，式中的
fij必须与期权的内在价值比较，由此可得：
fijmax{XSujdij,ert[pfi1,j1(1pfi1,j]}

按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者说当每一区间t趋于0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验，一般将时间区间分成30步就可得到较为理想的结果。二、基本二叉树方法的扩展（一）有红利资产期权的定价1.支付连续红利率资产的期权定价
当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为rq，因此式（11.5）就变为：
27

e(rqtpu(1pd
同时，式（11.8）变为：
e(rqtdp
ud

（11.12）
式（11.9）和（11.10）仍然适用。
显然，这一方法适用于支付连续红利率的股价指数期权、外汇期权和期货期权，第十三章将更具体地讨论这些期权的定价方法。2.支付已知红利率资产的期权定价
若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红利与资产价格之比），我们只要调整在各个结点上的证券价格，就可算出期权价格。调整方法如下：
如果时刻it在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Sujdij,j0,1,,i

如果时刻it在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S(1ujdijj0,1,LL,i

对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，也可进行同样处理。若i为0时刻到it时刻之间所有除权日的总红利支付率，则it时刻结点的相应的证券价格为：
S(1iujdij

3.已知红利额
若标的资产在未来某一确定日期将支付一个确定数额的红利而不是一个确定的比率，则除权后二叉树的分支将不再重合，这意味着所要估算的结点的数量可能变得很大，特别是如果支付多次已知数额红利的情况将更为复杂（见图11.4）。
28

Su
S
Su2-D
S-D
Sd
Sd2-D除权日

图11.4假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图为了简化这个问题，我们可以把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在kt到(k1t之间，则在it时刻不确定部分的价值S*为：
S*(itS(it当it时
S*(itS(itDer(it当it时（11.13）其中D表示红利。设为S*的标准差，假设是常数，用代替式（11.8）到（11.10）中的就可计算出参数p、u和d，这样就可无需考虑红利问题，而直接用通常的方法构造出S*的二叉树了。通过应用式（11.13），把未来收益现值加在每个结点的证券价格上，就会使S*的二叉树图得以转化。从而得到S的二叉树图。假设零时刻S*的值为S0*，则在it时刻：
当it时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
S0*ujdijDer(itj0,1,LL,i
当it时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
S0*ujdijj0,1,LL,i
这种方法和我们曾经分析过的在已知红利数额的情况下应用Black-Scholes公式中所用的方法一致，通过这种分离，我们可以重新得到重合的分支，减少结点数量，简化了定价过程。同时，这种方法还可以直接推广到处理多个红利的情况。（二）构造树图的其他方法和思路1.p0.5的二叉树图
在式（11.5）到（11.7）中，前两个式子是确定参数p、u和d的
29

固定条件，而第三个条件u是人为给定的，也是最常用的条件，但它并不是唯一的。我们也可以放弃这个假设，转而令p0.5，当t的高阶小量可以忽略时，我们得到：
rqt2ue
2
2
1
d
t

rqt2de
2
2
t
这种方法的优点在于无论和t如何变化，概率总是不变的，缺点在于二叉树图中的中心线上的标的资产价格不会再和初始中心值相等。
2.三项式树图（三叉树图）
另一种替代二叉树图的方法是三叉树图法，该树图的形状如图11.5所示。在每一个时间间隔t内证券价格有三种运动的可能：从开始的S上升到原先的u倍，即到达Su；保持不变，仍为S；下降到原先的d倍，即Sd。pu、pm、pd分别为每个结点价格上升、持平和下降的概率。当t的高阶小量可以忽略时，满足资产价格变化均值和方差的参数分别为：
ue
3t

d
1
u
t
pd
122t
pu
122pm
23
21rq26
21rq26
三叉树图的计算过程与二叉树图的计算过程相似。
30

Su3
Su2
Su
S
SSd
SuSSd
Su2
SuSSdSd2Sd3
Sd2

图11.5资产价格的三叉树图
3.控制方差技术
控制方差技术是数值方法的一个辅助技术，其基本原理为：期权A和期权B的性质相似（比如其他条件都相同的欧式期权和美式期权），我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。用fB代表期权B的真实价值（解析解），fA表示关于期权A的较优估计值，fˆA和fˆB表示用同一个二叉树过程得到的估计值。这时，我们假设用数值方法计算出的期权B的误差应等于用数值方法计算出的期权A的误差：fBfˆBfAfˆA
进而得到期权A的更优估计值为：fAfˆAfBfˆB
可以证明，当fˆA和fˆB之间的协方差较大时，varfAvarfˆA，也就是说这个方法减少了对期权A的价值估计的方差，我们利用fB和fˆB的信息改进了对期权A的价值的估计。
可以看出，控制方差技术实际上是利用数值方法计算两个类似期权之间的价格差异而不是计算期权价格本身。虽然从计算工作量来

31

看，我们需要计算两个估计值fˆA和fˆB，但是由于两个期权的性质相似或路径相同，实际增加的工作量并不大。三、二叉树定价模型的深入理解
由上可见，二叉树模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率p是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。实际上，当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即Black-Scholes偏微分方程。取当前时刻为tt（这是为了后面计算的方便，并不影响结论），在给定参数p、u和d的条件下（注意这里并未限定求p、u和d的第三个条件，而是一般适用的），当t0时，二叉树公式：
rt
fS,ttpfSu,t1pfSd,te

可以在S,t进行泰勒展开，最终可以化简为：
ff1222f
S,trSS,tS2S,trfS,tot0tS2S
t的高阶小量ot可以忽略，从而说明离散二叉树模型和连续
Black-Scholes模型是十分相似的，在t0时，二叉树模型收敛于Black-Scholes偏微分方程。
最后，二叉树模型和Black-Scholes模型的另一个相似点在于：
32

它们都可以通过选取适当的值，构造一个由份的标的资产多头和一份期权空头组成的无套利组合。二叉树模型中的值满足
1
fufdf
Black-Scholes模型中的；则满足2S，之后两者都可SuSd
这里我们可以看到1的极限就是以利用这个无套利组合为期权定价。
2，又一次验证了二叉树模型和Black-Scholes模型的一致性。但是，
三叉树图模型则无法实现这样一个无套利组合，需要运用别的方法来构造。
【本章小结】
1.为了给期权定价，我们假设期权标的资产遵循几何布朗运动，据
此可以推导出著名的Black-Scholes微分方程：
ff1222frSSrftS2S2
2.根据Black-Scholes期权定价模型，无收益资产欧式看涨期权和看跌期权的定价公式为：
cSN(d1Xer(TtN(d2
pcXer(TtSXer(TtN(d2SN(d1
其中，
d1
ln(S/X(r2/2(Tt
Tt
2
ln(S/X(r/2(Ttd2d1Tt
Tt
3.在为衍生证券定价时，我们可以假设所有投资者都是风险中性的，这就是风险中性定价原理。它可大大简化衍生证券的定价，然而得出的结论也适用于投资者厌恶风险的情况。
4.Black-Scholes定价公式可用于为欧式期权和美式看涨期权定价。
33

美式看跌期权定价只能用二叉树模型等数值方法以及解析近似方法求出。
5.在运用Black-Scholes模型为期权定价时，无风险利率和标的资产价格波动率是两个需要估计的重要参数。
6.Black-Scholes期权定价模型可以用来评估组合保险成本，为可转债定价和为认股权证估值。7.二叉树树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉树树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。
8.二叉树模型不仅可以为欧式期权定价，而且可以为美式期权定价；不仅可以为无收益资产定价，而且可以为有收益资产定价，应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。9.当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即Black-Scholes偏微分方程。【参考阅读】1．
施兵超著.金融期货与选择权.台北：五南图书出版有限公
司，19992．
[美]约翰·赫尔著，张陶伟译.期权、期货和衍生证券.中译
本.北京：华夏出版社，19973．
郑振龙主编.金融工程.第1版.北京：高等教育出版社，
20034．
Black,F.,andScholes(1973“ThePricingofOptions
andCorporateLiabilities”,JournalofPoliticalEconomy,81(May-June,p.637-6595．

J.Cox,J.,Ross,S.,andRubinstein:OptionPricing
34

(1979“aSimplifiedApproach”,JournalofFinancial
Economics,September
6．
Robert,W.Kolb(1999Futures,OptionsandSwaps,
3rd(ed.,London:BlackwellPublishers【思考与练习】
1.阐述风险中性定价原理。
2.计算基于无红利支付股票的欧式看跌期权的价格，其中执行价格为50元，现价为50元，有效期为3个月，无风险年收益率为10％，年波动率为30％。
3.若两个月后预期支付的红利为1.5元，则上题中的计算会有何变化？
4.什么是历史波动率和隐含波动率？通过期权价格如何计算隐含波动率？
5.运用无套利原理和风险中性定价原理推导二叉树模型。
6.一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10％，波动率为每年30％，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。并应用控制方差技术对这一估计进行修正。
7.一个两个月期基于某股票指数的美式看涨期权，执行价格为500，目前指数为495，无风险利率为年率10％，指数红利率为每年4％，波动率为每年25％。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树树图，为期权定价。

35

8.如何理解二叉树模型？
36

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e105520d8ad63186bceb19e8b8f67c1cfbd6eed8.html

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