凸函数

毕业论文（设计）

课题名称 指数凸函数的性质及应用

学 院 理学院

专 业 数学与应用数学（S）

班 级 2011级2班

指导教师 黄金莹

学生姓名 肖坤

佳木斯大学教务处

指数凸函数的性质及应用

肖坤

佳木斯大学理学院数学系

2015年6月

摘 要

指数凸函数是一类重要的函数，对于凸函数的研究，目前已近很深入。指数凸函数与凸函数之间存在着平行关系，对于指数凸函数的研究，我们可以类比凸函数的概念、性质及内容进行研究。首先本课题主要研究了指数凸函数的概念、性质和指数凸函数在不等式中的应用；其次根据指数凸函数的判定定理及概念、性质判断一些基本初等函数的指数凸性；最后建立一些关于指数凸函数的不等式，以方便后面研究Jensen不等式、Hadamard不等式及不等式的证明, 我们可以根据指数凸函数的概念和性质建立一些新的不等式，并对此进行研究，例如可以建立均值不等式。对指数凸函数的研究，无疑将大大扩充我们研究不等式的范畴，同时，也是对凸分析理化的一种有益的深化和推广。

关键词: 凸函数；指数凸函数；判定定理；Hadamard不等式

Abstract

Index convex function is a kind of important function.Scientists have so far conducted very in-depth researches into convex function.More or less,a sort of parallel relationship exists between different convex functions.we can carry out our researches on the analogy of the concept,nature and content of convex function.firstly,this research project mainly fouses on the concept and properties of convex function and the application of convex function in inequalities.Secondly,some basic elementary function's index convexity is judged based on the decision theorem of index convex function as well as its concept and properties.Finally,some inequalities about index convex function are established to facilitate futher researches into Jensen inequality,Hadaard inequalities and inequality certification,we can according to the index of the concept and properties of convex function,set up some new inequalities and in study,for example, we can build the mean inequality.Undoubtedly,research into the index convex function will greatly expand our research scope of inequalities,and at the same time,it also contributes to deepening and promoting the convex analysis of physicochemistry.

Key words: convex function; index of convex function; decision theorem; Hadamard inequalities

目 录

摘 要 I

Abstract Ⅱ

第1章 绪论 1

第2章 凸函数的基础知识 2

2.1 凸函数的概念和性质 2

2.1.1 凸函数的概念 2

2.1.2 凸函数的性质 3

2.2 凸函数的一些结论 6

2.2.1凸函数的判定定理 6

2.2.2与凸函数相关的不等式 8

第3章 指数凸函数的性质及应用 11

3.1 指数凸函数的概念和性质 11

3.1.1 指数凸函数的概念 11

3.1.2 指数凸函数的性质 13

3.2. 常见函数的指数凸性 17

3.2.1 指数凸函数的判定定理 17

3.2.2 基本初等函数的指数凸性 19

3.3 指数凸函数的Hadamard不等式 25

结论 28

致谢 29

参考文献 30

附录1 31

附录2 35

第1章 绪论

在数学学科中，研究生产、生活中的多快好省这类问题的理论被称为最优化理论，更宽泛的称谓叫做运筹学与控制论，其在经济、工程、管理、规划等方面有着广泛的应用，本课题《指数凸函数的性质及应用》是这一重要应用数学方向的基础性研究.

最优化理论的诞生以1970年Rockafellar所写的《凸分析》为标志.多快好省问题在数学中被抽象为变量的最值问题，凸分析就是用凸集与凸函数作为工具讨论最值的存在性与唯一性的一门学问.凸分析的一个简单而典型的例子是面积固定的矩形铁板制作开口水箱，怎样裁剪使得容积最大.是最典型的凸函数.

随着最值问题研究的深入和现实问题的复杂化，人们发现问题并不总是以凸性的形式呈现的，大量的非凸优化问题等待解决.解决方式要么是将非凸向凸归结，要么将凸向非凸推广.

在将凸推广到非凸过程中，国内外学者在近二十年内把凸函数做了各种推广，创建了大量的具体广义凸函数，解决了一些非凸优化问题.我们课题组注意到了上述各类广义凸函数的共有特征，将它们进行抽象化处理，率先开展了指数凸函数的研究.

首先，介绍了凸函数的基础知识，从凸函数的概念和性质，以及凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式等不等式方面的一些结论开始研究，让读者对凸函数有了大致的了解.

其次，开始介绍的是本课题的主要研究内容，根据开始对凸函数方面的研究，由指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，类比推理到指数凸函数的概念、性质及在不等式方面的应用上.首先研究的是指数凸函数的概念和性质，我们又该如何判断一个函数是指数凸函数的方法.

最后,研究指数凸函数的Jensen不等式和Hadamard不等式以及常见基本初等函数的指数凸性，根据指数凸函数的Jensen不等式建立一些新的不等式.

第2章 凸函数的基础知识

本章主要介绍了凸函数的概念、性质、判定定理以及凸函数在不等式中的应用，但对于凸函数的研究，目前已经很深入了，尤其是在不等式方面的研究备受关注.

2.1 凸函数的概念和性质

为了更好的研究本课题要研究的指数凸函数内容，我们可以依据指数凸函数与凸函数之间存在的平行关系，先深入了解一下凸函数的概念和性质，进而研究指数凸函数.下面我们将给出凸函数的概念和计算方面的性质.

2.1.1 凸函数的概念

函数图像的特征是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点线的下方.我们可以这样定义：设函数在区间上有定义，若曲线上任意两点间的弧段总位于连接两点的直线之下，则称函数是凸函数.

以上定义只是对凸函数作了直观的描述，下面给出精确的定义.

定义2.1.1 设在区间上有定义，若对上的任意两点和任意的实数

，总有

(2-1)

则称为上的凸函数.

若对上的任意两点和任意的实数，总有

(2-2)

则称为上的凹函数.

2.1.2 凸函数的性质

性质2.1.1 若函数为凸函数，则为凹函数.反之亦然.

证明：因是凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，若对上任意两点和正数总有

在上式两边同时乘以-1得：

故为凹函数.同理可得为凹函数，则为凸函数.

性质2.1.2 若函数为凸函数，则：

1）若，则为凸函数；

2）若，则为凹函数.

证明：因是凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，若对上任意两点和正数总有

1）当时，在上式两边同时乘以得：

即为凸函数.

2）当时，在上式两边同时乘以得：

即为凹函数.

性质2.1.3 若函数为凸函数，则函数为凸函数.

证明：因函数是凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，若对上任意两点和正数总有

则

即为凸函数.

性质2.1.4 设与都是上的非负单调递增（递减）的凸函数，则

是上的凸函数.

证明：因与都是上的非负单调递增的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，则对任意的，有

整理得

(2-3)

又因与都是上的非负单调递增的凸函数，由指数凸函数的定义2.1.1知，即对上任意两点和正数，有

所以

再由（2-3）式可知

即是上的凸函数.

性质2.1.5 若函数为凸函数，则亦为凸函数.

证明：因为函数为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对上任意两点和正数总有

从而有

所以为凸函数.

性质2.1.6 若函数为凸函数，为单调增长的凸函数，则亦为

凸函数.

证明：因函数为凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对上任意两点和正数总有

又为单调增加的凸函数，所以

即为凸函数.

2.2 凸函数的一些结论

如果给定一个函数，要判断是凸函数还是凹函数，我们讲依据什么结论来判断？这里将给出凸函数的判定定理，用来判断一个函数是否是凸函数.

2.2.1 凸函数的判定定理

定理2.2.1 （凸性判别法）设函数是区间上的可导函数，则下列论断相互等价

1）函数是区间上的凸函数；

2）函数是区间上的增函数；

3）对区间上任意的两点，有

证明：在区间上的任取两点，对充分小的正数，由于，有

因是区间上的可导函数，令时可得

所以是区间上的增函数.

在以为端点的区间上，用拉格朗日中值定理和是区间上的增函数得

移项后的且当时仍可得相同的结论.

任取区间上的两点，，由3）并利用与得

分别用和乘以上述两式并相加.使得

则是区间上的凸函数.

定理2.2.2 （凸性判别法）设函数在区间上具有二阶导数，则

1） 当时，函数为区间上的凸函数；

2） 当时，函数为区间上的凹函数.

定理2.2.3 设函数是区间上的二阶可导函数，则在上的为凸函数的充要

条件是

证明：1）必要性：因为函数为上的凸函数，则是区间上的增函数，即

2）充分性：因为， 所以是区间上的增函数，即为上的凸函数.

2.2.2 与凸函数相关的不等式

定理2.2.4 （凸函数的Jensen不等式）若函数在区间上有定义，且对于任意的及满足， ,，有

成立

那么称在区间上凸函数.

证明：当时，等式显然成立；

假设当时成立，即对任意的且满足，此时有

不等式成立；

此时我们要证明当时，成立，

即

即时不等式成立，结论正确.

定理2.2.5 （凸函数的Hadamard不等式）若函数为上的凸函数，则

证明：由题意知，函数在上可积.

一方面，根据定积分概念和凸函数的Jensen不等式，有

另一方面，我们令，解得

即

于是

综上所述的两个方面，结论成立.

例2.2.1 设，证明

证明：由于函数在区间上是凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有

由于不可能同时取等号，从而有

例2.2.2 证明不等式.

证明：设，由可见在时为严格的凸函数，由凸函数的定义2.1.1，我们有

从而

即有

又因为不等式成立，所以.

以上内容就是对凸函数的性质与应用的一些研究，接下来开始研究本课题的核心内容，利用指数凸函数和凸函数之间存在的平行关系，类比出指数凸函数的性质与应用.

第3章 指数凸函数的性质及应用

本章主要介绍了指数凸函数的概念、性质、判定定理以及在不等式中的应用.从本章的内容来看，不仅让我们了解指数凸函数的基本知识和内容，也让我们理解了研究指数凸函数的数学意义.指数凸函数是凸函数的分支，内容上存在着平行关系.指数凸函数和凸函数一样，可以广泛的应用于其它领域，特别是在不等式中的应用.

3.1 指数凸函数的概念和性质

对于指数凸函数而言，并没有给出严格的定义，以及相关的性质与应用，但是我们可以根据凸函数的定义、性质及应用，类比建立一个新的不等式模型，定义为指数凸函数.那么我们该如何建立呢？接下来将研究指数凸函数的概念和性质.

3.1.1 指数凸函数的概念

我们在研究指数凸函数的概念时，先来关注余弦函数在区间上的不等式链.

我们根据凸函数的性质可以知道在区间是递减的凹函数，同时它也是对数凹函数和几何凹函数.可以得到如下结果：

其中可由作为对数凹函数直接得到，可由作为几何凹函数直接得到，那么对于正弦函数在区间会有怎样的情况呢？接下来我们会慢慢进行研究.

由正弦函数在区间是递增的凹函数也是几何凹函数，借助于均值不等式，可以得到如下两组结果：

因此我们想要形成类似于余弦函数在区间上的不等式链，那么我们就需要研究上述两组不等式中的中间两项与的大小关系，如何来比较这两者之间的大小关系，我们就需要建立指数凸函数的概念、性质知识.

下面我们给出指数凸函数的定义与指数凸函数的Jensen不等式.

定义3.1.1 设函数为区间上的函数，称函数是区间上的指数凸函数，如果对和，有

设函数为区间上的函数，称函数是区间上的指数凹函数，如果对和，有

类比凸函数的Jensen不等式（定理2.2.4）我们可以得到指数凸函数的Jensen不等式.

定理3.1.1 （指数凸函数的Jensen不等式）函数是区间上的指数凸函数当且仅当，，有

注：定义3.1.1是定理3.1.1的一个特例，对于定理3.1.1可以利用数学归纳法证明.

证明：当时，不等式显然是成立.

假设当时成立，即

只需证时成立

即时也成立，结论得以证明.

3.1.2 指数凸函数的性质

对于指数凸函数的性质，我们可以类比凸函数的一些计算性质，得出相应的指数凸函数在计算方面的性质.

性质3.1.1 若函数为指数凸函数，则为指数凹函数，反之亦然.

证明：函数为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间上任意的两点和正数，总有

在上式的两边同时乘以，不等式方向改变，则有

故为指数凹函数.同理有函数指数凹函数，则为指数凸函数.

性质3.1.2 若函数为指数凸函数，则

1） 若，则为指数凸函数；

2） 若，则为指数凹函数.

证明：因函数为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对区间上任意的两点和正数，总有

1） 当时，在上式两边同时乘以一个正数，有

即时，为指数凸函数.

2） 当时，在上式两边同时乘以一个负数，有

即时，为指数凹函数.

性质3.1.3 若函数为指数凸函数，则函数为指数凸函数.

证明：因函数是指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，若对上任意两点和正数有

则

=

=

即为指数凸函数.

性质3.1.4 设与都是上的非负单调递增（递减）的指数凸函数，则

是上的指数凸函数.

证明：因与都是上的非负单调递增的指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，则对任意的，有

整理得

（3-1）

又因与都是上的非负单调递增的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对上任意两点和正数总有

所以

再由（3-1）式可知

即是上的指数凸函数.

性质3.1.5 若函数为指数凸函数，则亦为指数凸函数.

证明：因为函数为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对上任意两点和正数总有

从而有

所以亦为指数凸函数.

性质3.1.6 若函数为指数凸函数，为单调增长的指数凸函数，则

亦为指数凸函数.

证明：因函数为指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对上任意两点和正数总有

又为单调增加的指数凸函数，所以

即为指数凸函数.

性质3.1.7 函数是区间上的指数凸函数当且仅当为区间上的凸函数.

证明：（充分性）已知函数是区间上的指数凸函数，由指数凸函数的定义3.1.1知，即对上任意两点和正数总有

对于则，使得，我们有

即

故函数为区间上的凸函数.

（必要性）已知函数是区间上的凸函数，由凸函数的定义2.1.1知，即对上任意两点和正数总有

对于，则，使得，有

即

故函数为区间上的指数凸函数.

3.2 常见函数的指数凸性

本节将给出一些常见的一元基本初等函数的指数凸性，首先需要了解判别函数指数凸性的判定定理.

3.2.1 指数凸函数的判定定理

定理3.2.1 设函数在区间上有定义，在区间上具有二阶导数，则

1）当时，为区间上的指数凸函数；

2）当时，为区间上的指数凹函数.

证明：1）由于时，，故对，有

根据定理2.2.2知，为区间上的凸函数，再由性质3.1.7知，为区间上的指数凸函数.

2）由于时，，故对，有

，根据凸函数的定理2.2.2知，为区间上的凹函数，由性质3.1.7知，从而为区间上的指数凹函数.

现在我们有了指数凸函数的概念、性质和判定定理，就可以回答本章开始提出的问题了.

对于正弦函数，我们可以根据指数凸函数的判别方法，只需要判断与零的大小关系.

令，可以得到在区间上有唯一一个实数根，设为，由恒成立.那么函数在区间是单调递减的，即有当时，；当时，.由指数凸函数的判定定理3.2.1知

正弦函数在为指数凸函数，在为指数凹函数，于是

当时，有

当时，有

3.2.2 基本初等函数的指数凸性

在前面的研究中，我们了解了正弦函数的指数凸性，那么我们常见的基本初等函数中，又有怎样的指数凸性呢？下面我们来慢慢研究.我们主要研究常数函数、一次函数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等等.

例3.2.1 函数在区间上有定义，试判断函数在区间

上的指数凸性.

证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有

此时，函数在区间上既是指数凸函数也是指数凹函数.

例3.2.2 函数在在区间上有定义，试判断函数在在区间上的指数凸性.

证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有

当时，即，此时，有函数在在区间上为指数凸函数.

当时，即，此时，有函数在在区间上为指数凹函数.

例3.2.3 函数在区间上有定义，试判断函数在区间

上的指数凸性.

证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有

即恒成立（为任意取值都成立）.

此时，有函数在区间上为指数凸函数.

我们可以根据指数凸函数的定义3.1.1知，函数是区间上的指数凸函数当且仅当，，有

我们可以建立如下的不等式：

（此时的）.

由上式变换可以有我们应该很熟悉，这就是均值不等式.那么我们可以证明正弦函数在区间上为指数凸函数来间接证明均值不等式的成立，这是指数凸函数在不等式的应用中远大前景，更多的内容等待着我们去挖掘与研究.

例3.2. 4 函数在区间上有定义，试判断函数在区间

上的指数凸性.

证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有

此时，有函数在区间上既是为指数凸函数也是指数凹函数.

根据指数凸函数和指数凹函数的定义3.1.1知，如果对和，有

令，我们可以建立如下不等式：

或者

例3.2.5 设函数在区间上有定义，试判断函数在区间

上的指数凸性.

证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有

恒成立.

则函数在区间上是为指数凸函数.

根据指数凸函数的定义3.1.1知，如果对和，有

令，我们可以建立如下不等式

例3.2.6 证明与）的大小关系.

证明：令函数，根据指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有

1）当时，

i）当时，即，函数为指数凹函数.

根据指数凹函数的定义3.1.1知，有

即有

ii）当时，即，函数为指数凸函数.

根据指数凸函数的定义3.1.1知，有

即有

3） 当时，恒成立，所以函数为指数凸函数.

根据指数凸函数的定义3.1.1知，有

即有

综上所述，当时，，有

当和时，有

例3.2.7 函数在区间上有定义，试判断函数在区间

上的指数凸性.

证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有

由函数与函数在区间都是大于0的，即有

此时，函数在区间上是为指数凹函数.

根据指数凹函数的定义3.1.1知，如果对和，有

令，我们可以建立如下不等式：

例3.2.8 函数在区间上有定义，试判断函数在

区间上的指数凸性.

证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有

当时，，

所以

此时，函数在区间上是为指数凸函数.

根据指数凸函数的定义3.1.1知，如果对和，有

令，可以建立如下不等式

例3.2.9 函数在区间上有定义，试判断函数在

区间上的指数凸性.

证明：由指数凸函数的判定定理（定理3.2.1），有

当时，，.所以

此时，函数在区间上是为指数凹函数.

根据指数凹函数的定义3.1.1知，如果对和，有

令，可以建立如下不等式

3.3 指数凸函数的Hadamard不等式

类比凸函数的Hadamard不等式（定理2.2.5）我们可以得到指数凸函数的Hadamard不等式.

例3.3.1 设，函数为上连续的指数凸函数，则

（3-1）

证明：1）先来证明不等式的左边，由题意知，根据定积分的定义和函数的指数凸性，有

故成立.

2）接下来证明不等式的右边.

令，则有，当时，则

即

所以

故成立.

因此由以上1），2）可得

当，函数为上连续的指数凸函数时，则（3-1）式成立.

结 论

几乎所有的分析类数学分支（实分析、泛函分析、测度论、凸分析等）,其理论框架的基础和出发点都是对函数、泛函、映射等赖以存在的集合或空间的研究,这一特点在凸分析中表现的尤为明显.在优化理论研究中,凸分析起到基石作用,凸分析以研究凸集为出发点,建立凸集与凸函数的密切联系,给出凸函数的一些结果及应用.

本课题的研究方向为指数凸函数，研究内容可概括为凸函数的性质及应用与指数凸函数的性质及应用，二者之间存在着平行关系，是运筹学与控制论的一个研究分支.

通过对相关文献的大量研究(见国内外研究现状) ，我们发现该方向的研究目前有如下特点：

1.从应用层面上的指数凸函数,多属平行推广，论证方法和技巧仅仅是形式上的改变，并没在本质上的进行深入探讨.

2.就目前对凸分析理化的研究虽然很深入，但是对于指数凸函数的研究，还没有形成专门的理论.

3. 指数凸函数理论并不完善，关于指数凸函数及其相应的指数凸集的内在联系方面还没有形成一般性理论，基本上处于空白阶段,这在一定程度上制约了优化理论的发展.

基于上述该方向的目前研究特点，并注意到凸分析等分析类数学分支的研究模式，为了给非凸优化问题的应用提供强有力的基础理论支撑,和新的发展动力，使之向着理论化和科学化方向持续发展，在已有凸函数理论和指数凸集的初步研究基础上，将指数凸函数与凸函数概念到性质有机地结合起来，开展二者的结构理论研究是十分必要和切实可行的.

致 谢

从开始进入论文的开课到论文的顺利完成，整整经过了四个多月的时间.在这几个月里，有很多的老师、同学、朋友给了我无数的帮助，在这里我真心的谢谢他们！

首先感谢我要感谢我的父母，是他们的辛苦劳作的血汗钱，和对我的教导才让我考上佳木斯大学.四年来对我的培养，是他们教会我学习方法、锻炼了我的思考能力，指明了我未来奋斗的方向，使我进一步明确人生的目标.

其次，我要感谢我的指导老师-黄金莹老师，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我学习、工作中的榜样；黄老师循循善诱的教导和不拘一格的思路给与我无尽的启迪.在撰写整个毕业论文的过程中，黄老师为我们考虑到了每一个细节，尤其是在开题报告和毕业论文的拟定修改上，黄老师更是不厌其烦的为我们做好每一步的细心指导.没有黄老师，我的论文也不可能这么顺利的完成.

最后，我要感谢每一位给过我帮助的老师和同学，在我撰写论文的过程中同样给了我大量有益的建议，再次向他们表示衷心地感谢，感谢他们对我的支持和帮助.

肖坤

2015年6月

参考文献

[1] 刘文武.凸函数的一个等价性质.高等数学研究. 2010（01）：181

[2] 时贞军，岳丽.凸函数的若干新性质及应用.应用数学.2005（1）：78

[3] 王华.关于凸函数性质的总结，经营管理者.2009（12）：82

[4] 陈华友，周礼刚，刘金培.数学模型与数学建模.北京科学出版社2014,77-81

[5] 黄金莹，赵宇.几何凸函数的导数判别法.佳木斯大学学报.2005，23（2）：253-255

[6] 王良成.凸函数的Jensen不等式链.数学实践与认知.2001（6）：23

[7] WANG L C .New inequalities of Hadamard-type for Lipschilzian mappings. Inequal Pure Appl Math.2005：201-211

[8] 张廖民.应用凸函数性质证明几个不等式.商洛学院学报.2006,22（2）：115-121

[9] 黄金莹.数学分析专题研究.西安交通大学出版社.2014,91-95

[10] A MCD .Mercer.A variant of JENSENS inequality.Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics.2003：104-109

[11] 赵宇，黄金莹.几何凸函数的导数判别法.佳木斯大学学报.2005,12（6）：91-93

[12] 蒲义书，陈露.凸函数概述.高等数学研究.2006（04）：63

[13] 唐远妹.均值不等式的推广及应用.广西教育学院学报.2009,27（6）：102-111

[14] 张小明.关于几何凸函数的Hadamard型不等式.数学的实践与认知，2004，34（9）：171-176

[15] 彭建文，朱道立.严格B-预不变凸函数.数学物理学报，2006，（2）：253-255

附录1

定理4.1 若函数是上的一个函数，是凸集（例如）.则在上的凸集当且仅当

对于任意的.

定理4.2 若函数是从到上的一个函数，在上的凸集当且仅当

无论何时.

另一个有用的形式推断可以通过应用定理2.2.

定理4.3 （詹森不等式）若函数是从到上的一个函数，在上的凸集当且仅当

证明：一个基本的练习

凹函数，当然，满足相反的不等式下的假设.仿射函数满足方程的不等式.因此在空间上的仿射函数，是空间到空间的仿射变换.

然而不等式在定理4.1中通常是作为一个函数的凸性的定义，它的凸集定义区间在，这种方法造成了一定的难度，然而，当在在其定理4.2可以作为凸性在一般条件下的定义，但在本节开始给出的定义似乎更可取，因为它强调了几何凸函数的基础.

由定理4.6和定理4.6.1，我们有一个明确的理论系统的非线性的不等式.但凸性在其它不等式方面的理论分析，因为各种经典不等式可以视为定理4.3的特殊情况，例如，在自然数上的负对数，如上例6对于一个由正数组成的凸组合，我们有

由定理4.3知，不等式两边同时乘以并取对数，我们有

特别是，当，

这就是著名的在正数集上算数平均不等式与几何平均不等式.

有时，一个非凸函数可以转化为凸非线性变化量.一个突出的例子是代数函数的类从正象限的形式

当，且对任意的（这些函数出现在一个重要的应用程序结束于§30）.这个类中的一个特定函数

令，将代入

当.把它看成下面的，和的任何函数之和的形式都是凸的.注意，相同的变化的量转换集的超平面

一个在空间上的函数，如果对每一个，有

很显然，正齐次的相当如空间的引言.一个正齐次的凸函数的例子，不是一个简单的线性函数.

定理4.7 无论是齐次函数在当且仅当到，如果

对任意的.

证明：这是隐含的由定理2.6知,因为次可加性条件下相当于是封闭的.

推论4.7.1 如果是一个正齐次的凸函数，有

任意的.

推论4.7.2 如果是一个正齐次的凸函数，有，对任意的都成立.

证明：

定理4.8 一个正齐次的函数在子空间上是线性的，如果当且仅当，对任意的，.

证明：假设后者成立，有

对任意的.

不仅对，对任意的，我们有

由定理4.7和推论4.7.2，因此

因此在上是线性的，特别是.

某些正齐次的凸函数在§13的特征和在§15的支撑函数的凸集，判断函数的凸集.凸函数是正齐次的函数当，将考虑在推论15.3.1和推论15.3.2中.

附录2

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