条件概率

　条件概率

word/media/image1.gif学习目标word/media/image2.gif　1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.

知识点一　条件概率

100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格.

令A＝{产品的长度合格}，

B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}

思考1　试求P(A)、P(B)、P(AB)

答案　P(A)＝84b049a96930a1797f78474c08cdf225.png，P(B)＝2b69d79d69575297929fa1e3341b360b.png，P(AB)＝3f17eaf0735660608748a2dae175da33.png.

思考2　任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率.

答案　事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝75118dcf32432c6005fcc47ec7f19123.png.

思考3　P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系.

答案　P(A|B)＝41a9726b73f9ee9e362801d2d10d00a8.png.

知识点二　条件概率的性质

(1)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.

(2)如果B和C是两个互斥的事件，则

P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).

类型一　利用定义求条件概率

例1　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.

(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；

(2)求P(B|A).

解　由古典概型的概率公式可知：

(1)P(A)＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png，

P(B)＝56f023c1727affa1ee249fa674e02e89.png＝277ac576276b12dbeb791dc4094bb7ef.png＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png，

P(AB)＝3f46976610722caa08b67c3026b18719.png＝b5e70c706b96c149a60e596364edf656.png.

(2)P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝dcae26d3f54f0bcd1f358629ba51e5ba.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png.

反思与感悟　1.在本题中，首先结合古典概型分别求出事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系.

2.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤是：

(1)分析题意，弄清概率模型；

(2)计算P(A)，P(AB)；

(3)代入公式求P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png.

跟踪训练1　从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于________.

解析　70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png

解析　P(A)＝509154afb8b7ef9ee71c06a6d7c3e73a.png＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png，P(AB)＝ae0f0759a6d419336f4f2f1a77747962.png＝b5e70c706b96c149a60e596364edf656.png，

∴P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝dcae26d3f54f0bcd1f358629ba51e5ba.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png.

类型二　缩小基本事件范围求条件概率

例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.

解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个.在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝3f02246a7b03cd74ed1824f3e9d2a421.png＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png.

反思与感悟　将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝91ad4cae0916cf48990d465af7af4112.png，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的.

跟踪训练2　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.

解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.根据分步乘法计数原理得n(A)＝Adc4dd92d36c8d2b9366d9b3d7ef7374e.pngAd8094ddbf057911f1dac44c4110227ad.png＝20，

n(AB)＝A48b4acde86d7eff4d47b5d3f5000f3a5.png＝12.

所以P(B|A)＝91ad4cae0916cf48990d465af7af4112.png＝14a557b403f7d38fd8d5bd2bfd9d9d55.png＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png.

类型三　条件概率的性质及应用

例3　在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.

解　设事件A为“该考生6道题全答对”，

事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，

事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”，

事件D为“该考生在这次考试中通过”，

事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，

则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C.

由古典概型的概率公式及加法公式可知

P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝92d7bf573a242ccaff43563c524d7f7d.png＋dd58692bf00204e96a3f678803708019.png＋c18793c56c085d2e795ff0290ec01dd0.png＝5967c0a14544b862f90ddc9cf531c126.png.

P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)

＝c203150bd80c557b0a8f1d73eaf67f8e.png＋b09899cd4e449bd9cad82191fea47cc3.png＝c9e6880bd4c7d83fd2028eb5132cfd6b.png＋e6e93336d720028f94867d9b74bfadfb.png＝5479cb8029fa509f0d57eeb5983de5e5.png.

所以他获得优秀成绩的概率是5479cb8029fa509f0d57eeb5983de5e5.png.

反思与感悟　当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率.

跟踪训练3　1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是多少？

解　记事件A＝“最后从2号箱中取出的是红球”，

事件B＝“从1号箱中取出的是红球”，

则P(B)＝963b8eedb3be51e08054a0bd0e312b1c.png＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，P(92a9e6f2c1b071f1ee8d3344e08bc8fc.png)＝1－P(B)＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，

P(A|B)＝6f4b34ce9f7be6380faa160bbb2ad3a2.png＝66299ad68ec77f344b595e94e2a2ee28.png，P(A|92a9e6f2c1b071f1ee8d3344e08bc8fc.png)＝35113123d0e04ed73a2facdff16dfd4e.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，

从而P(A)＝P(AB)＋P(A 92a9e6f2c1b071f1ee8d3344e08bc8fc.png)

＝P(A|B)P(B)＋P(A|92a9e6f2c1b071f1ee8d3344e08bc8fc.png)P(92a9e6f2c1b071f1ee8d3344e08bc8fc.png)

＝66299ad68ec77f344b595e94e2a2ee28.png×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png＋7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＝0d5c94ab340659b5796f91baed0d636b.png.

1.设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，P(A)＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，则P(B|A)＝(　　)

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png B.87bc5a1433797cd59faab34303b962f4.png C.29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png D.66299ad68ec77f344b595e94e2a2ee28.png

答案　A

解析　P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝8ed28ead86f869417462eb5b16a76636.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

2.把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于(　　)

A.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png B.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png C.fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png D.bc763c40c1afc46fbe981d117a65141c.png

答案　B

解析　P(AB)＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，P(A)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，

∴P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

3.某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________.

答案　fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png

解析　记事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，

则P(A)＝81574cea789b340c94322d1713f410df.png，P(AB)＝b27a07f65f7c4bab95623894892a918e.png，P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png.

4.假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________.

答案　6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png

解析　一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题目假定可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png.

1.条件概率：P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝91ad4cae0916cf48990d465af7af4112.png.

2.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率.用古典概型公式，则P(B|A)＝c04d3e388293cc4ef9040120cb11c6b5.png，P(AB)＝6c6deeb13658be3b44643f49361a465b.png.

一、选择题

1.已知P(B|A)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，P(AB)＝1202315a28def658ed55ad9be1ac022d.png，则P(A)＝(　　)

A.50287030ae62d34edcba8f9e889d5c97.png B.7e7ce48946ff10428ace5fe6795492aa.png C.265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png D.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png

答案　C

解析　由P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png得：P(A)＝b491d06b9e919be25f0a8f6f1303ddbe.png＝10ba862b3e1734135b34117e50dc3b2c.png＝265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png.

2.某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子成长为幼苗的概率为(　　)

A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72

答案　D

解析　设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒水稻种子出芽后能成长为幼苗”为事件B|A，P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，

由条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，则这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

3.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是(　　)

A.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png B.126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png C.fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png D.07a259d3e3c2ccb207739fa1a11ea8be.png

答案　C

解析　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，

则n(A)＝Afa7ded9a3ede97f06a33b55d7597a276.png，

n(AB)＝Aff43305573ff0c51c118ccd88561677a.png，

P(B|A)＝370d72382e318e8ebdb4d40868a076a5.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png.

4.一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第1次取得一等品的条件下，第2次取得的是二等品的概率是(　　)

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png B.7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png C.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png D.6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png

答案　A

解析　设事件A表示“第1次取得的是一等品”，B表示“第2次取得的是二等品”.

则P(AB)＝a0c02b51a872ac34c1137e8cb49bcba0.png＝a90658887586a2212d073c9b8e9396c7.png，P(A)＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png.

由条件概率公式知

P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝165c87ab1d9c865be3574d163c64a0cf.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

5.在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝867ec34c694be1de5a9aba949aa80b2e.png，B＝6eba17d8a38f7797e910f310f167a276.png，则P(B|A)等于(　　)

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png B.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png C.7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png D.265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png

答案　A

解析　P(A)＝2f175dfce0516fb157ad49ce00161b85.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.∵A∩B＝03b889b75a76cf9266093d1a69d76a9c.png，

∴P(AB)＝0ef023b7a9891099ef98991f13d6c3e4.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，∴P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝f5ca65bf2ea8dfa24d8f1301247b57bf.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

6.抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率为(　　)

A.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png B.7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png C.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png D.2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png

答案　B

解析　红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，其中两颗骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件.

所以所求概率为c8a457d797c5b74447f8ee20c27ada22.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

二、填空题

7.某校高二(1)班有学生56人，其中篮球爱好者25人.全班分成4个小组，第一组有学生16人，其中篮球爱好者7人.从该班任选一人作学生代表.①选到的是第一组的学生的概率是________；②已知选到的是篮球爱好者，他是第一组学生的概率是________.

答案　①bd924a527027043a59f7cf2ce4d28e0b.png　②2367094f06c24044bd6ecf658920ba9a.png

解析　设事件B表示“选到第一组学生”，事件A表示“选到篮球爱好者”.

①根据古典概型概率的计算公式可得P(B)＝a69405f28cb28a8be2b0a79a81bfd3ee.png＝bd924a527027043a59f7cf2ce4d28e0b.png；

②要求的是在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A).不难理解，在事件A发生的条件下(即以选到的学生是篮球爱好者为前提)，有25种不同的选择，其中属于第一组的有7种选择，因此，P(B|A)＝2367094f06c24044bd6ecf658920ba9a.png.

8.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________.

答案　e5336cd7f55767ddcfdbca340f36e6b6.png

解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，

则D＝B∪C，且B与C互斥，

又P(A)＝caba5a39c63f38aafac4c2b353083ca2.png＝2ea3d60c0bd2b11faadabd44c04a26dd.png，

P(AB)＝49302cfaa020331402d2c10422ee597c.png＝126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png，

P(AC)＝bb8896d99f0a6166b192d610ac95cae9.png＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png，

故P(D|A)＝P(B∪C|A)

＝P(B|A)＋P(C|A)

＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＋9c9be1cf69f65b7d057092829614853b.png＝e5336cd7f55767ddcfdbca340f36e6b6.png.

9.如图，四边形EFGH是以O为圆心、1为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则

word/media/image3.gif

(1)P(A)＝________；

(2)P(B|A)＝________.

答案　(1)5d4c69f52ae760bf58e73cd8f483d3c3.png　(2)70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png

解析　正方形的面积为2，圆的面积为π.

(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，

∴P(A)＝5d4c69f52ae760bf58e73cd8f483d3c3.png.

(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，

∴P(AB)＝ec0a30a916a98f4a995a124320887ecd.png，∴P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png.

10.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示，现从这20名学生中随机抽取1人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(A|B)的值为________.

答案　ff10a18ede6db4ede5fddd8c82a4b83e.png

解析　事件B中含有的基本事件有9个，

事件AB包含的基本事件有5个，

∴P(A|B)＝dc6f93b5ab4d531716f754b3ebf4d741.png＝ff10a18ede6db4ede5fddd8c82a4b83e.png.

11.先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝________.

答案　7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png

解析　根据题意，事件A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件.

∴事件A发生的概率为P(A)＝2bcf0ee5a369eab923e74c7c2afbdc3a.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，而A，B同时发生，基本事件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6个基本事件，∴事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝17b017217444d09f781c58136bf9f355.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png，

∴P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝66fe8cad6948c8700f24d987e0a6e45e.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

三、解答题

12.从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率.

解　设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B是“取出的数是3的倍数”.

则P(C)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，且所求概率为

P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)

＝533c678130165ec0a749c93190d9fbbd.png＋bf464cb974762d0466008b0f7882341f.png－cac7c63216dcda124be705ee94685462.png

＝2×314637a698aa0601086e6028a143dbea.png

＝cb7bef217a8bf698cdff6746b2a4436f.png.

13.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求

(1)第1次抽到红球的概率；

(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；

(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率；

(4)抽到颜色相同的球的概率.

解　设A＝{第1次抽到红球}，B＝{第2次抽到红球}，

则第1次和第2次都抽到红球为事件AB.

从5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为

n(Ω)＝Aae2bb4cafc6c300305605e45d54f82c5.png＝20，

(1)由分步乘法计数原理，n(A)＝Aa6a107c68b3cc406458912dcee090652.png·Adc4dd92d36c8d2b9366d9b3d7ef7374e.png＝12，

于是P(A)＝7da455e92764b8ea68e3a789df9739ab.png＝14a557b403f7d38fd8d5bd2bfd9d9d55.png＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png.

(2)P(AB)＝39725e74ba833b56e442a4db1d4263b1.png＝49d1b4db78e7e23c278e1e7ab909b9f3.png＝a90658887586a2212d073c9b8e9396c7.png.

(3)方法一　在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率为P(B|A)＝3389f5111d32cb533e97645ce20c5bf0.png＝165c87ab1d9c865be3574d163c64a0cf.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

方法二　P(B|A)＝91ad4cae0916cf48990d465af7af4112.png＝8db185e41909a263e0689b1045d8f254.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

(4)抽到颜色相同球的概率为

P＝P(两次均为红球)＋P(两次均为白球)

＝8eca59ccddd07a592c61668081035a57.png＋52437a946e6c659a21c26ea89511a42e.png＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e396ab9b0a1c59eef8c75fbfc77da26924c596e5.html