嫦娥三号

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

嫦娥三号成功实现软着陆已成为外界所关注的焦点，嫦娥三号从绕月圆轨道进入着陆预备轨道后，需要经过主减速，快速调整，粗避障，精避障，缓速下降，自由落体六个阶段来完成卫星软着陆。在高速飞行的情况下，为保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，需要对着陆轨道与控制策略进行设计，在嫦娥三号的着陆过程中还要考虑到燃料的消耗问题。为解决此类问题，我们建立了数学模型。

针对问题一：通过能量守恒定律可以求出卫星在月球近月点的速度为1.673千米/秒在远月点的速度为1.633千米/秒，其运行方向顺着其运行轨道运动。以月球中心做圆心建立三维坐标，根据材料给出的预定着陆点位置根据材料给出的预定着陆点位置通过线性约束，求出近月点与预着陆点水平距离为357.939千米，结合物理知识逆推出卫星近月点的位置（19.51E 28.32S 15km），并根据已求出的近月点坐标得出远月点坐标（160.49E 28.32S 100km）。

针对问题二:为保证嫦娥三号探测器能够安全、可靠的实现软着陆这一过程，我们建立动力学模型，为实现燃料最优软着陆，建立燃料最优控制模型，其中在软着陆最后阶段，嫦娥三号关闭发动机，卫星进行初速度为0米/秒的自由落体运动

针对问题三:在整个运动过程中忽略了月球自传对卫星着陆的影响，与此同时卫星四周的姿态调整发动机在姿态调整过程中也有耗能，从而导致误差产生。对嫦娥三号运行参数，消耗比，t/W,运动时间等进行误差分析，敏感性分析。

关键词 逆推法 动力学模型 pontryagin极大值原理 优化模型 MATLAB

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和误差分析。

二、模型假设

（1）假设嫦娥三号的软着陆不受月球自转影响；

（2）假设嫦娥三号水平调位耗能极低可约为零；

（3）月球、日地引力摄动等因素均可忽略不计；

（4）忽略除地球以外的其他因素对飞船运动的影响。

三、符号说明

四、问题理解与模型分析

1、确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（1）用能量守恒法计算出近月点及远月点的速度。

（2） 先大致估计月球着陆经过的水平路程，并根据给定的预定软着陆位置及运行轨道用线性约束求出水平路程、时间、速度角度等。

2、确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。在满足每个阶段在关键点所处的状态的前提下；尽量减少软着陆过程的燃料消耗，可以看做一个针对燃料节省的最优化问题。

（1）建立动力学模型。

（2）建立最优控制模型。

设计主减速段制导控制律（采用燃料最优制导律）针对主减速阶段，卫星主发动机运作进行减速，整个阶段卫星进行抛物体运动，并在此阶段内实现速度从1.7千米/秒降到0米/秒。1主减速模式，卫星主发动机运作进行减速，整个阶段卫星进行抛物体运动设计快速调整段制导律（采用重力转弯制导）设计粗避障段制导律（参考火星动力下降段制导律，可采用D’Souza 制导，或多项式制导， 将平坦区域作为目标着陆点，从而避开岩石）分析星下光学敏感成像图片，启动姿态调整发动机进行水平位移，粗步避开大陨石坑，并进行减速运动，在末阶段实现卫星悬停于目标位置上方。同设计精避障段制导律（参考火星动力下降段制导律，可采用D’Souza 制导，或多项式制导， 将平坦区域作为目标着陆点，从而避开岩石）分析高分辨率三维成像启动姿态调整发动机进行水平位移，精细避开月面障碍物，主发动机产生恰好抵消自身重力的推力，维持稳定下降，经过调整，实现水平速度为0米/秒

3、对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

（1） 误差主要包括：推进剂比冲误差、发动机推力误差等主要误差及月球自转对卫星着陆的影响。

（2） 可在这些参数标称值的基础上加上或减去10%的偏差，画出轨迹，分析着陆轨迹对这些参数的敏感性。

五、模型的建立与求解

5.1、问题一的模型建立

5.1.1模型准备

嫦娥三号探测器在近月点（高度15km）开始软着陆，进入动力下降阶段，当距离月面大约2km的时候其水平速度变为零，经姿态调整之后，探测器垂直降落至月面。为此，建立起以下两个坐标系：惯性坐标系和月固坐标体系(图1和图2)，以方便解决问题。

图1: 惯性坐标系

惯性坐标系是以月心为原点、以月球赤道面为参考面，其中轴指向月球赤道相对于白道的升交点，轴指向月球自转方向，轴由右手坐标系决定。且x轴、y轴的方向都指向纬数增大的方向。

图2: 月固坐标系

月固坐标系（右手坐标系）是以月球赤道面为参考平面，其中指向月球赤道面与起始子午面的交线方向，指向月球自转轴方向。

5.1.2 能量守恒定律

设A，B分别为嫦娥三号运动的近月点和远月点 ，和分别表示嫦娥三号经过这两点的速度，由于速度沿轨迹的切线方向，可知与轨迹形成椭圆长轴垂直，且A，B两点距月心的距离分别为：

在A，B两点分别取极短的相等时间，则嫦娥三号与月球在这两段时间内扫过的面积分别为，，根据开普勒第二定律：

,

代入得：

。

嫦娥三号运动的总机械等于其动能和引力势能之和，故当嫦娥三号分别经过A，B两点时的机械能为:

，，

由于嫦娥三号在运动过程中只受万有引力作用，所以遵循机械能守恒定律，并结椭圆中可得:

.

最后求得近月点和远月点的速度分别如下：

，，

其两者方向均沿切线方向。

5.1.3线性约束法与逆推法

嫦娥三号在着陆准备轨道上携带大量燃料的运行质量为2.4t，根据资料显示在完成主减速运动其重量将锐减1.5吨。后其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其产生的加速度在0.652m^2/s到8.33m^2/s左右，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m，与此同时，通过计算得出嫦娥三号在近月点速度为1673米/秒，已知月球加速度为g /6。

分析：远月点与近月点在同一轨道面两侧，故可以用近月点推出远月点位置；由于近月点与预着陆点的水平距离就是卫星主减速抛物体运动阶段的水平位移，抛物体运动轨迹在轨道面内，故可以用着陆点位置推出近月点位置。

根据惯性坐标系（图1），原点在月心，参考平面是月球赤道面，以月球的0W为y轴，以0N为x轴，

在近日点离坐标原点15000米做主减速，水平速度由原来的1.7公里/S,减速到0m/s，垂直速度由原来的0m/s 加速到57 m/s

忽略嫦娥三号运动过程中出月球引力外的其他影响因素，假设：从近月点开始到3000米水平位置，主发动机所产生加速度y恒定，其作用方向与水平位置的方向的夹角m,x=sin(m)恒定，z为主减速时间

列式：

；

；

；

；

=n；

近月点与预软着陆点的水平距离

结果为357.939km。

已知嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m，( 44.12N, 19.51W， 384400km)。带入求得：

近月点的位置为（19.51W 28.32N 15km）

远月点的位置为（160.49E 28.32S 100km）

5.2、针对问题二的模型建立

5.2.1模型准备

月球表面坏境和地球表面环境相差悬殊，其月球表面的地形、地貌以及石块和陨石坑会给着陆器安全着陆打了不可预见的危险，为保证嫦娥三号探测器能够安全、可靠的实现软着陆这一过程，嫦娥三号在国际上首次提出了一种接力避障模式将避障过程分为 4 个任务段： 接近段、悬停段、避障段和缓速下降段， 分别实现粗避障、高精度三维成像、精避障和着陆位置保持功能， 形成了大范围粗避障、小范围精避障和着陆位置保持的接力避障过程。

1、 动力学模型

月球软着陆过程中，探测器在距月球100km的环月停泊轨道，然后根据所选定的着陆位置，在合适的时间给着陆器一个有限的脉冲，使得着陆器转入仅约点为 15km，远月点为100km的月球椭圆轨道，这一阶段称为霍曼转移段。当着陆器运行到近月点时，制动发动机开始工作，其主要任务是抵消着陆器的初始动能和势能，使得着陆器接近地面时，相对月面速度为零，及实现所谓的软着陆，这一阶段成为动力下降段，着陆器的大部分燃料都是消耗在此阶段。

月球表面附件没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项。并且，从近地点（15km左右）到完成软着陆的时间比较短，大概为几百秒范围内，从而可以忽略诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计，从而，这一过程可以在二体模型下描述。如图1所示：

图3：月球软着陆及坐标系

其中，原点O为月心，o-y指向动力下降段的开始制动点，o-x

指向着陆器的开始运动方向。

其动力学方程如下：

根据动力下降段的起点位置可以确定动力学方程的初始条件，由于起点位于霍曼转移轨道的近地点，从而其初始条件可如下：

终点条件为实现软着陆，即：

其中R为月球半径，终端条件中对终端极角及终端时间无约束。

优化变量为制动发动机推力方向角，

优化的性能指标为在满足上述初始条件和终端条件的基础下，使得软着陆过程中燃料消耗最少，即实现燃料最优软着陆。

2、燃料最优即软着陆结束后，探测器剩余质量最大，设t为软着陆结束时刻，应用pontryagin极大值原理，取终端性能指标为： (1)

取系统状态方程变量为：，，和为探测器在

月固坐标系中的坐标。则系统状态方程可表示如下： （2）

其中，和为的三个分量，为月球自转角速度，

令，式（2）可以表示成：

取共轭变量为:

构造哈密顿函数如下：

. (3)

其中、和是控制变量，燃耗最优就是要找出一组容许的控制，使探测器着陆时剩余质量最大。根据极大值原理，使最大就是使最大。由的表达式

可以取开关函数为：

（4）

设和取值范围不受限，可得极值条件 （5）

因此，由（4）（5）可以得到最优控制率如下：

其中：

软着陆最优轨道的初始条件和终端条件可表示如下：

其中的分别表示预定着陆点在月固坐标系中的位置。

设探测器初始质量为；制动发动机最大推力2000N；比冲=300*9.8m/s；初始速度=1115m/s =-981.8m/s =816m/s；月球自转角速度=2.6617*10E-6rad/s

月球引力常量，近月点距月心距离=1753km，月球半径=1738km，登月点选择月面上的雨海，位置是北纬，西经

下图为最优软着陆曲线：

1500

1000

500

0

0 200 400 600

1600

1500

1400

0 200 400 600

0

-500

-1000

0 200 400 600

-60

-70

-80

-90

0 200 400 600

-60

-70

-80

-90

0 200 400 600

0

-20

-40

0 200 400 600

其中，图（1）（3）（5）分别表示在月固坐标系中探测器的速度变化，图（2）（4）（6）为软着陆最优控制律，从中可知燃料最优轨道一条始终制动的轨道并在制动期间以最大推力进行工作。推力方向角变化平缓符合工程实际。从图可以看出，软着陆开始后探测器的高度是单调下降的，542.3s后，从距离月面14.88km高度将至月面。在此期间，质量随发动机工作不断减少，软着陆后探测器质量为312.087kg，最终登月点为北纬西经距预定着陆点1.627km

5.2.2模型建立

嫦娥三号自主避障软着陆

在动力下降段着陆制导问题，进行粗避障制导，考虑基于加速度的性能指标:

满足给定初末时刻和状态约束

， ，

结合嫦娥三号的运动过程，可选取哈密尔顿函数为：

其中和分别为位置和速度矢量对应的协状态矢量。

在动力下降的过程中，假设加速度是一个常量，所以由上述最优问题的协态方程和控制方程可知：

定义剩余时间:，则有协态方程的解为：

则有对应最优制导律解为 （1）

积分可得探测器速度和位置矢量：

（2）

（3）

结合方程（2）和方程（3）可得协态向量的解：

（4）

（5）

将（4）与（5）代入（1）得:

其中，可以根据任务预先给定，也可以基于条件计算，其最优解为：

由附件三、四得下图：

5.3误差分析

如果不考虑月球引力的影响, 地月转移轨道误差传递矩阵中元素在接近月球时的剧变是由月球的引力导致的, 由(3 ) 式中状态转移矩阵的计算公式, 在很短的时间内假设A 为常数, 则可以得到状态转移矩阵的表达形式: 由于矩阵尸是为因子的函数, 若考虑月球引力的作用，这里的r 即为探测器的月心距. 不考虑月球的引力作用,可以看做，则指数项相当于, 不存在发散现象. 在考虑月球引力作用的情况下, 当探测器接近月球时, r 值不断减小,不断增加, 因此误差传递矩阵中的元素会以指数形式发散, 且发散速度不断增加。对月球探测器的转移轨道而言, 误差主要有两种类型: 一类是系统差(主要为力学模型误差);另一类为入轨、测量与控制误差. 设计算月球探测器运行使用的力学模型为

， （1）

其中为探测器的状态量，为右函数. 记用来设计标称转移

轨道的力学模型为： （2）

上式中即为力学模型误差. 只要足够小，对探测器的转移轨道引起

的误差可以忽略不计. 在力学模型(2) 式下误差的线性传播公式为

其中为单位矩阵，和表示初始时刻和其后某个时刻t 探测器的实际状态量相对标称转移轨道的状态偏移量,为状态转移矩阵，进行误差分析就是分析由初始误差引起的终了时刻误差的变化。

无论入轨误差还是测量或控制误差, 记它们在时刻的值为(例如测量误

差, 不同方向的观测误差(例如径向或者横向) 可以分配到的各个分量上, 入轨误

差和控制误差与之类似).如果误差传递时间不长并且初始误差量级不大, 则(3)式很好地

描述了随的变化关系(即在各个方向不同的分布会引起

在不同方向的变化). 如果传递时间较长(由于转移轨道的强不稳定性, 传播时间过长会使

得丢掉的非线性项随积分时间的增长而增长) 或者初始误差过大, 则(3) 式不再

适用, 此时需要积分完整的运动方程以研究初始误差导致的t 时刻的误差。

六、模型的评价与改进

1、模型的优点

（1）文中提出从近月点开始到3000米水平位置，主发动机所产生加速度y恒定，其作用方向与水平位置的方向的夹角m,x=sin(m)恒定，将渐变的角度及组退加速度确定，将问题简化；

（2）做三维坐标并用逆推法推出近月点远月点位置，表述精确；

（3）考虑运动状态，燃料最省，障碍躲避等因素，分析全面；

（4）选取多种参数进行误差分析，敏感性分析对比鲜明。

2、模型的缺点

本文建模将加速度角度大小优化，同时忽略月球自转影响，导致结果存在一定误差。

3、模型的改进

在对问题二的解决过程中，无论是理论上的分析还是程序的编程问题都遇到了很大的麻烦，而且仅靠确定加速度方向大小的约束条件最终得出的结果有一定误差。经搜索资料可知，针对上述情况，目前有种积分特征线性约束法，可以从分考虑主发动机阻推力的可变性，得出的结果更为精确。

在对最有控制的建模中，对用料最省进行了概括性分析，相对而言略显粗糙。对其运动过程分阶段处理，将更加详细，使结果更加准确。

七、模型的推广

本次嫦娥三号软着陆问题的解决我们运用了三种模型进行解答，但其中的每一个模型都可以推广到现实生活中去，这就很好的体现了数学建模的意义所在，

我们可以通过对一个问题的解答，而将其运用到更多的现实事件中。根据搜索资料得，以优化模型为例，可运用于经济，控制等诸多领域，并将发挥更大的作用。

八、参考文献

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[5] 北京晨报 嫦娥三号成功落月体重“暴瘦”2000公斤http://news.sohu.com/20131215/n391802061.shtml。2014.9.12

[6] 赵玉晖，侯锡云，刘林。月球探测中转移轨道误差分析和中途修正计算。天文学报2013.5

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[8] 王建伟，李兴。近日点和远日点速度的两种典型解法.物理教师2013

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e410ee2afe4733687e21aa71.html