辽宁铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

一、本题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

．（文）已知命题甲为＞；命题乙为，那么（ ）

．甲是乙的充分非必要条件

．甲是乙的必要非充分条件

．甲是乙的充要条件

．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

（理）已知两条直线∶＋＋＝，直线∶＋＋＝，则＝是直线的（ ）

．充分不必要条件 ．必要不充分条件

．充要条件 ．既不充分也不必要条件

．（文）下列函数中，周期为的奇函数是（ ）

． ．

． ．

（理）方程（是参数，）表示的曲线的对称轴的方程是（ ）

． ．

． ．

．在复平面中，已知点（，），（，），（，），（，）．给出下面的结论：

①直线与直线平行；

②；

③；

④．

其中正确结论的个数是（ ）

．个 ．个 ．个 ．个

．（文）在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为∶，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）

．∶ ．∶ ．∶ ．∶

（理）已知数列的通项公式是，其中、均为正常数，那么与的大小关系是（ ）

． ．

． ．与的取值相关

．（文）将张互不相同的彩色照片与张互不相同的黑白照片排成一排，任何两张黑白照片都不相邻的不同排法的种数是（ ）

． ． ． ．

（理）某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：

表 市场供给量

表 市场需求量

根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ）

.（，）内 ．（，）内

．（，）内 ．（，）内

．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）

． ． ． ．

．若曲线在点处的切线平行于直线＝，则点的坐标为（ ）

．（，） ．（，）

．（，） ．（，）

．已知函数是上的偶函数，且在（∞，上是减函数，若，

则实数的取值范围是（ ）

．≤ ．≤或≥

．≥ ．≤≤

．如图，、分别是三棱锥的棱、的中点，＝，＝，＝，则异面直线与所成的角为（ ）

．° ．° ．° ．°

．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）

． ．

． ．

．双曲线的虚轴长为，离心率，、分别是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的右支交于、两点，且是的等差中项，则等于（ ）

． ． ． ．．

．如图，在正方形中，、、、是各边中点，是正方形中心，在、、、、、、、、这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（ ）

．个 ．个 ．个 ．个

二、填空题：本题共小题，共分，把答案填在题中的横线上

．若是数列的前项的和，，则．

．若、满足则的最大值为．

．有、、、、五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，、两位同学去问成绩，教师对说：“你没能得第一名”．又对说：“你得了第三名”．从这个问题分析，这五人的名次排列共有种可能（用数字作答）．

．若对个向量，…，存在个不全为零的实数，，…，，使得成立，则称向量，，…，为“线性相关”．依此规定，能说明（，），（，），（，）“线性相关”的实数，，依次可以取（写出一组数值即中，不必考虑所有情况）．

三、解答题：本大题共小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

．（分）已知，求的值．

．（分）已知等比数列的公比为，前项的和为，且，，成等差数列．

（）求的值；

（）求证：，，成等差数列．

．（分）一个口袋中装有大小相同的个白球和个黑球．

（）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；

（）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．

注意：考生在（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（甲）计分．

甲．（分）如图，正三棱柱的底面边长为，点在边上，△是以点为直角顶点的等腰直角三角形．

（）求证点为边的中点；

（）求点到平面的距离；

（）求二面角的大小．

乙．（分）如图，直三棱柱中，底面是以∠为直角的等腰直角

三角形，＝，＝，为的中点，为的中点．

（）求直线与所成的角；

（）在线段上是否存在点，使⊥平面，若存在，求出；若不存在，说明理由．

．（分）已知双曲线：（＞，＞），是右顶点，是右焦点，点在轴正半轴上，且满足、、成等比数列，过作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线，垂足为．

（）求证：；

（）若与双曲线的左、右两支分别相交于点、，求双曲线的离心率的取值范围．

．（分）设函数，，且方程有实根．

（）证明：＜≤且≥；

（）若是方程的一个实根，判断的正负并加以证明．

参考答案

．（文）（理） ．（文）（理） ． ．（文）（理）

．（文） （理） ． ． ． ． ． ． ．

． ． ．

．只要写出，，（≠）中一组即可，如，，等

．解析：

．

．解析：（）由，，成等差数列，得，

若＝，则，，

由≠ 得 ，与题意不符，所以≠．

由，得．

整理，得，由≠，，得．

（）由（）知：，

，所以，，成等差数列．

．解析：（）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为，摸出两个球共有方法种，

其中，两球一白一黑有种．

∴ ．

（）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为，摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为，

∴ （）＝×＋＋×＝

法二：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”．

∴

∴ “有放回摸两次，颜色不同”的概率为．

．解析：（甲）（）∵ △为以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴ 且．

∵ 正三棱柱， ∴ 底面．

∴ 在底面内的射影为，⊥．

∵ 底面为边长为的正三角形， ∴ 点为边的中点．

（）过点作⊥，由（）知⊥且⊥，

∴ ⊥平面 ∵ 在平面内， ∴ ⊥，

∴ ⊥平面，由（）知，，且．

∴ ． ∴ ．

∴ 点到平面的距离为底面边长为．

（）过点作⊥于，连， ∵ ⊥平面，

∴ 为在平面内的射影，

∴ ⊥，∠是二面角的平面角．

在直角三角形中，，

，

∴ ∠＝°， ∴ 二面角的大小为°

（乙）解：（）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵ ＝，∠＝°，

∴ ．

∴ （，，），（，，），（，，），

（，，），（，，），（，，）．

∴ ，，，，，，

∴ ，，，，，．

∴ ，， ∴ ，

∴ ． 故与所成的角为．

（）假设存在点，要使⊥平面，只要且．

不妨设＝，则（，，），，，，，，，

，，， ∵ ， ∴ 恒成立．

或，

故当或时，平面．

．解析：（）法一：：，

解得，． ∵ 、、成等比数列，

∴ ， ∴ ， ，，，，

∴ ，． ∴

法二：同上得，．

∴ ⊥轴．． ∴ ．

（） ∴ ．

即 ， ∵ ，

∴ ，即 ，． ∴ ，即 ．

．解析：（）． 又＜＜，

故 方程（）＋＝有实根，

即有实根，故△＝

即或

又＜＜，得＜≤，由知．

（），．

∴ ＜＜ ∴ ．

∴ ． ∴ 的符号为正．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e6179225a7e9856a561252d380eb6294dd88227a.html