概率论与数理统计知识点总结（免费）

《概率论与数理统计》

第一章 概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系word/media/image1.gif则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生

word/media/image2.gif称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件word/media/image3.gif发生

word/media/image4.gif称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件word/media/image5.gif发生

word/media/image6.gif称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件word/media/image7.gif发生

word/media/image8.gif，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

word/media/image9.gifword/media/image8.gif，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件

2．运算规则 交换律word/media/image10.gif

结合律word/media/image11.gif

分配律word/media/image12.gif

word/media/image13.gif

徳摩根律word/media/image14.gif

§3．频率与概率

定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数word/media/image15.gif称为事件A发生的频数，比值word/media/image16.gif称为事件A发生的频率

概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率

1．概率word/media/image17.gif满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A word/media/image18.gif

（2）规范性：对于必然事件S word/media/image19.gif

（3）可列可加性：设word/media/image20.gif是两两互不相容的事件，有word/media/image21.gif（word/media/image22.gif可以取word/media/image23.gif）

2．概率的一些重要性质：

（i）word/media/image24.gif

（ii）若word/media/image20.gif是两两互不相容的事件，则有word/media/image21.gif（word/media/image22.gif可以取word/media/image23.gif）

（iii）设A，B是两个事件若word/media/image25.gif，则word/media/image26.gif，word/media/image27.gif

（iv）对于任意事件A，word/media/image28.gif

（v）word/media/image29.gif （逆事件的概率）

（vi）对于任意事件A，B有word/media/image30.gif

§4等可能概型（古典概型）

等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同

若事件A包含k个基本事件，即word/media/image31.gif，里word/media/image32.gifword/media/image33.gif

§5．条件概率

（1） 定义：设A,B是两个事件，且word/media/image34.gif，称word/media/image35.gif为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件

1。非负性：对于某一事件B，有word/media/image36.gif

2。规范性：对于必然事件S，word/media/image37.gif

3可列可加性：设word/media/image38.gif是两两互不相容的事件，则有word/media/image39.gif

（3） 乘法定理 设word/media/image40.gif，则有word/media/image41.gif称为乘法公式

（4） 全概率公式： word/media/image42.gif

贝叶斯公式：word/media/image43.gif word/media/image44.gif

§6．独立性

定义 设A，B是两事件，如果满足等式word/media/image45.gif，则称事件A,B相互独立

定理一 设A，B是两事件，且word/media/image40.gif，若A，B相互独立，则word/media/image46.gif

定理二 若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与word/media/image47.gif

第二章 随机变量及其分布

§1随机变量

定义 设随机试验的样本空间为word/media/image48.gif是定义在样本空间S上的实值单值函数，称word/media/image49.gif为随机变量

§2离散性随机变量及其分布律

1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量

word/media/image50.gif满足如下两个条件（1）word/media/image51.gif，（2）word/media/image52.gif=1

2． 三种重要的离散型随机变量

（1）word/media/image53.gif分布

设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是word/media/image54.gif，则称X服从以p为参数的word/media/image53.gif分布或两点分布。

（2）伯努利实验、二项分布

设实验E只有两个可能结果：A与word/media/image55.gif，则称E为伯努利实验.设word/media/image56.gif，此时word/media/image57.gif.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。

word/media/image58.gif满足条件（1）word/media/image51.gif，（2）word/media/image52.gif=1注意到word/media/image59.gif是二项式word/media/image60.gif的展开式中出现word/media/image61.gif的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。

（3）泊松分布

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为word/media/image62.gif word/media/image63.gif其中word/media/image64.gif是常数，则称X服从参数为word/media/image65.gif的泊松分布记为word/media/image66.gif

§3随机变量的分布函数

定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数word/media/image67.gif

称为X的分布函数

分布函数word/media/image68.gif，具有以下性质(1) word/media/image69.gif是一个不减函数 （2）word/media/image70.gif （3）word/media/image71.gif

§4连续性随机变量及其概率密度

连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数word/media/image72.gif，使对于任意函数x有word/media/image73.gif则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度

1 概率密度word/media/image72.gif具有以下性质，满足（1）word/media/image74.gif；

（3）word/media/image75.gif；（4）若word/media/image72.gif在点x处连续，则有word/media/image76.gifword/media/image72.gif

2,三种重要的连续型随机变量

(1)均匀分布

若连续性随机变量X具有概率密度word/media/image77.gif，则成X在区间(a,b)上服从均匀分布.记为word/media/image78.gif

(2)指数分布

若连续性随机变量X的概率密度为word/media/image79.gif 其中word/media/image80.gif为常数，则称X服从参数为word/media/image81.gif的指数分布。

（3）正态分布

若连续型随机变量X的概率密度为word/media/image82.gifword/media/image83.gif的正态分布或高斯分布，记为word/media/image84.gif

特别，当word/media/image85.gif时称随机变量X服从标准正态分布

§5随机变量的函数的分布

定理 设随机变量X具有概率密度word/media/image86.gif又设函数word/media/image87.gif处处可导且恒有word/media/image88.gif，则Y=word/media/image89.gif是连续型随机变量，其概率密度为word/media/image90.gif

第三章 多维随机变量

§1二维随机变量

定义 设E是一个随机试验，它的样本空间是word/media/image48.gif和word/media/image91.gif是定义在S上的随机变量，称word/media/image49.gif为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量

设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数word/media/image92.gif称为二维随机变量（X，Y）的分布函数

如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。

我们称word/media/image93.gif为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律。

对于二维随机变量（X，Y）的分布函数word/media/image94.gif，如果存在非负可积函数f（x，y），使对于任意x，y有word/media/image95.gif则称（X，Y）是连续性的随机变量，函数f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。

§2边缘分布

二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数word/media/image94.gif.而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为word/media/image96.gif，依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。

word/media/image97.gif word/media/image98.gif 分别称word/media/image99.gifword/media/image100.gif为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。

word/media/image101.gif word/media/image102.gif分别称word/media/image103.gif，word/media/image104.gif为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。

§3条件分布

定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若word/media/image105.gif

则称word/media/image106.gif为在word/media/image107.gif条件下随机变量X的条件分布律，同样word/media/image108.gif为在word/media/image109.gif条件下随机变量X的条件分布律。

设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为word/media/image110.gif，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为word/media/image104.gif，若对于固定的y，word/media/image104.gif〉0，则称word/media/image111.gif为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为word/media/image112.gif=word/media/image111.gif

§4相互独立的随机变量

定义 设word/media/image94.gif及word/media/image113.gif，word/media/image114.gif分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有word/media/image115.gif，即word/media/image116.gif，则称随机变量X和Y是相互独立的。

对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数word/media/image117.gif

§5两个随机变量的函数的分布

1，Z=X+Y的分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度word/media/image118.gif.则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为word/media/image119.gif或word/media/image120.gif

又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为word/media/image121.gif则word/media/image122.gif和word/media/image123.gif这两个公式称为word/media/image124.gif的卷积公式

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布

2，word/media/image125.gif

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度word/media/image118.gif，则word/media/image126.gif

仍为连续性随机变量其概率密度分别为word/media/image127.gifword/media/image128.gif又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为word/media/image121.gif则可化为word/media/image129.gif word/media/image130.gif

3word/media/image131.gif

设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为word/media/image132.gif由于word/media/image133.gif不大于z等价于X和Y都不大于z故有word/media/image134.gif又由于X和Y相互独立，得到word/media/image133.gif的分布函数为word/media/image135.gif

word/media/image136.gif的分布函数为word/media/image137.gif

第四章 随机变量的数字特征

§1．数学期望

定义 设离散型随机变量X的分布律为word/media/image138.gif，k=1,2，…若级数word/media/image139.gif绝对收敛，则称级数word/media/image139.gif的和为随机变量X的数学期望，记为word/media/image140.gif，即word/media/image141.gif

设连续型随机变量X的概率密度为word/media/image72.gif，若积分word/media/image142.gif绝对收敛，则称积分word/media/image142.gif的值为随机变量X的数学期望，记为word/media/image140.gif，即word/media/image143.gif

定理 设Y是随机变量X的函数Y=word/media/image89.gif (g是连续函数)

（i）如果X是离散型随机变量，它的分布律为word/media/image144.gif，k=1,2，…若word/media/image145.gif绝对收敛则有word/media/image146.gifword/media/image147.gifword/media/image145.gif

（ii）如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为word/media/image72.gif，若word/media/image148.gif绝对收敛则有word/media/image146.gifword/media/image147.gifword/media/image148.gif

数学期望的几个重要性质

1设C是常数，则有word/media/image149.gif

2设X是随机变量，C是常数，则有word/media/image150.gif

3设X,Y是两个随机变量，则有word/media/image151.gif；

4设X，Y是相互独立的随机变量，则有word/media/image152.gif

§2方差

定义 设X是一个随机变量，若word/media/image153.gif存在，则称word/media/image153.gif为X的方差，记为D（x）即D（x）=word/media/image153.gif，在应用上还引入量word/media/image154.gif，记为word/media/image155.gif，称为标准差或均方差。

word/media/image156.gif

方差的几个重要性质

1设C是常数，则有word/media/image157.gif

2设X是随机变量，C是常数，则有word/media/image158.gif，word/media/image159.gif

3设X,Y是两个随机变量，则有word/media/image160.gif特别，若X,Y相互独立，则有word/media/image161.gif

4word/media/image162.gif的充要条件是X以概率1取常数word/media/image163.gif，即word/media/image164.gif

切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望word/media/image165.gif，则对于任意正数word/media/image166.gif，不等式word/media/image167.gif成立

§3协方差及相关系数

定义 量word/media/image168.gif称为随机变量X与Y的协方差为word/media/image169.gif，即word/media/image170.gif

而word/media/image171.gif称为随机变量X和Y的相关系数

对于任意两个随机变量X 和Y，word/media/image172.gif

协方差具有下述性质

1word/media/image173.gif

2word/media/image174.gif

定理 1 word/media/image175.gif

2 word/media/image176.gif的充要条件是，存在常数a,b使word/media/image177.gif

当word/media/image43.gifword/media/image178.gif0时，称X和Y不相关

附：几种常用的概率分布表

第五章 大数定律与中心极限定理

§1． 大数定律

弱大数定理（辛欣大数定理） 设X1，X2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望word/media/image204.gif.作前n个变量的算术平均word/media/image205.gif，则对于任意word/media/image206.gif，有word/media/image207.gif

定义 设word/media/image208.gif是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数word/media/image209.gif，有word/media/image210.gif，则称序列word/media/image208.gif依概率收敛于a，记为word/media/image211.gif

伯努利大数定理 设word/media/image212.gif是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数word/media/image209.gif〉0，有word/media/image213.gif或word/media/image214.gif

§2中心极限定理

定理一（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量word/media/image215.gif相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差word/media/image216.gif（k=1,2，…），则随机变量之和word/media/image217.gif，word/media/image218.gif，

定理二（李雅普诺夫定理） 设随机变量word/media/image215.gif…相互独立，它们具有数学期望和方差word/media/image219.gif记word/media/image220.gif

定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量word/media/image221.gif）的二项分布，则对任意word/media/image222.gif，有word/media/image223.gif

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e88a1e33804d2b160a4ec00a.html