解析(2)

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】结合轴对称图形的概念进行求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．

故选：A．

2．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC＝BD B．∠1＝∠2 C．AD＝BC D．∠C＝∠D

【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．

【解答】解：A、∵AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，

∴根据SAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；

B、∵∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，∠1＝∠2，

∴根据ASA能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；

C、根据AD＝BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本选项正确；

D、∵∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，

∴根据AAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；

故选：C．

3．如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC等于（　　）

A．15 B．17 C．23 D．113

【分析】根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．

【解答】解：∵两个正方形的面积分别是64和49，

∴AB＝BD＝8，DC＝7，

根据勾股定理得：AC＝＝17．

故选：B．

4．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　）

A．三条边的垂直平分线的交点

B．三条高线的交点

C．三条边的中线的交点

D．三条角平分线的交点

【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．

【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．

故选：A．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝20°，DE⊥AC于E．则∠EDC的大小是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°

【分析】根据等腰三角形的性质得出∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，求出∠ADC＝90°，根据DE⊥AC和三角形的内角和定理求出∠ADE＝70°，代入∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE求出即可．

【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝20°，

∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝70°，

∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．

故选：A．

6．如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（　　）

A．45° B．60° C．55° D．75°

【分析】通过证△ABD≌△BCE得∠BAD＝∠CBE；运用外角的性质求解．

【解答】解：等边△ABC中，有

∵

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD＝∠CBE

∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠ABP+∠PBD＝∠ABD＝60°．

故选：B．

7．如图，点D为△ABC边AB的中点，将△ABC沿经过点D的直线折叠，使点A刚好落在BC边上的点F处，若∠B＝46°，则∠BDF的度数为（　　）

A．88° B．86° C．84° D．82°

【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．

【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，

∴AD＝DF，

∵D是AB边的中点，

∴AD＝BD，

∴BD＝DF，

∴∠B＝∠BFD，

∵∠B＝46°，

∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣46°﹣46°＝88°．

故选：A．

8．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2 的值为（　　）

A．36 B．9 C．6 D．18

【分析】根据角平分线的定义、外角定理推知∠ECF＝90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．

【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，

∴CM＝EM＝MF＝3，EF＝6，

由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，

故选：A．

二．填空题（共8小题）

9．已知等腰三角形△ABC的一个外角等于130°，则底角为　50°或65°　．

【分析】根据已知可求得与这个外角相邻的内角，因为没有指明这个内角是顶角还是底角，所以分两情况进行分析，从而不难求得其底角的度数．

【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为130°，

∴与这个外角相邻的角的度数为50°，

∴当50°角是顶角时，其底角为65°；

当50°角是底角时，底角为50°．

故答案为：50°或65°．

10．如图，一个无盖的圆柱纸盒：高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是　10cm　．

【分析】先画出圆柱展开图形，最短路程是AB的长，AC是底面圆周长的一半，则AC＝πr，BC是高8cm，根据勾股定理计算．

【解答】解：如图所示，AC＝πr＝2×3＝6cm，

由勾股定理得：AB＝＝＝10cm，

故答案为：10cm．

11．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于　70°或20°　．

【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°，当∠A为钝角时，∠B等于20°．

【解答】解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：

①当∠A为锐角时，

∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，

∴∠A＝40°，

∴∠B＝＝＝70°；

②当∠A为钝角时，

∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，

∴∠1＝40°，

∴∠BAC＝140°，

∴∠B＝∠C＝＝20°．

故答案为：70°或20°．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CE⊥AB于E，AC＝8，BC＝6，则DE＝　1.4　．

【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB＝10，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易求CD＝5，再根据三角形面积公式可求CE，再由勾股定理求出DE即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝100，

∴AB＝10，

∵CD是△ABC的中线，

∴CD＝AB＝5，

∵S△ABC＝×6×8＝×10•CE，

∴CE＝4.8，

∴在Rt△CDE中，DE＝＝＝1.4；

故答案为：1.4．

13．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的长度为　17　m．

【分析】根据题意画出示意图，设绳子的长度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．

【解答】解：设绳子的长度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，

在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，

解得：x＝17，

即绳子的长度为17m．

故答案为：17．

14．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．当∠BCD＝　150　°时，△BED是等边三角形．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE＝AC，DE＝AC，从而得到BE＝DE，利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然运算求得答案．

【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，

∴BE＝AC，DE＝AC，

∴BE＝DE，

∴△BED是等腰三角形；

∵AE＝ED，

∴∠DAE＝∠EDA，

∵AE＝BE，

∴∠EAB＝∠EBA，

∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，

∠EAB+∠EBA＝∠BEC，

∴∠DAB＝∠DEB，

∵∠BCD＝150°，

∴∠DAB＝30°，

∴∠DEB＝60°，

∴△BED是等边三角形．

故答案为：150．

15．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为　45　（度）．

【分析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大小．

【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．

∵AE＝AC，

∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．

在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，

∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，

解得x＝45°，

∴∠DCE＝45°．

故答案为：45．

16．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4＝　3.65　．

【分析】由条件可以得出AC＝CF＝1，FH＝LH＝1.1，PR＝SR＝1.2．由正方形的性质可以得出∠ACB＝∠CED，∠FHG＝∠HLM，∠PRN＝∠RST，就可以得出△ABC≌△CDE，△FGH≌△HML，△PNR≌△RTS，就可以得出AB＝CD，BC＝DE，FG＝HM，GH＝ML，PN＝RT，NR＝ST，由勾股定理就可以AB2+BC2＝AC2，FG2+GH2＝FH2，NP2+NR2＝PR2，由正方形的面积公式就可以得出结论．

【解答】解：如图，

∵斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，

∴AC＝CF＝1，FH＝LH＝1.1，PR＝SR＝1.2．∠ACD＝∠FHL＝∠PRS＝90°，

∴∠ACB＝∠CED，∠FHG＝∠HLM，∠PRN＝∠RST，

∴△ABC≌△CDE，△FGH≌△HML，△PNR≌△RTS，

∴AB＝CD，BC＝DE，FG＝HM，GH＝ML，PN＝RT，NR＝ST，

由勾股定理，得

AB2+BC2＝AC2，FG2+GH2＝FH2，NP2+NR2＝PR2，

∴S1+S2＝1.0，S2+S3＝1.21，S3+S4＝1.44，

∴S1+S2+S2+S3+S3+S4＝1+1.21+1.44＝3.65，

∴S1+2S2+2S3+S4＝3.65．

故答案为：3.65．

三、解答题

17．利用网格作图，

（1）请你在图①中画出线段AB关于线段CD所在直线成轴对称的图形；

（2）请你在图②中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．请画出所有情形；

（3）请你先在图③的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．

【分析】（1）做BO⊥CD于点O，并延长到B′，使B′O＝BO，连接AB即可；

（2）轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合；

（3）先作出∠A的平分线AP，再作线段BC的垂直平分线DE，与AP相交于点Q，连接BQ，CQ，则QB＝QC．

【解答】解：（1）、（2）如图所示：

；

（3）如图所示：

18．如图，一架2.5米长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7米．

（1）求OA的长度．

（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？

【分析】（1）在直角△ABO中，已知AB，BO可以求AO；

（2）在△A′OB′中，再利用勾股定理计算出OB′的长，进而可得BB′的长．

【解答】解：（1）∵在直角△ABO中，AB为斜边，AB＝2.5米，BO＝0.7米，

∴AO＝＝2.4（米）；

（2）∵在直角△A′OB′中，A′B′为斜边，A′B′＝AB＝2.5米，OA′＝2.4﹣0.4＝2米，

∴OB′＝＝1.5（米），

∴BB′＝OB′﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．

答：梯足将滑出0.8米．

19．如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF，DE交于点O．求证：

（1）△ABF≌△DCE；

（2）△AOD是等腰三角形．

【分析】（1）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，然后求出BF＝CE，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠EDC，然后求出∠DAF＝∠EDA，然后根据等腰三角形的定义证明即可．

【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，

∵BE＝CF，BF＝BC﹣FC，CE＝BC﹣BE，

∴BF＝CE，

在△ABF和△DCE中，，

∴△ABF≌△DCE（SAS）；

（2）∵△ABF≌△DCE，

∴∠BAF＝∠EDC，

∵∠DAF＝90°﹣∠BAF，∠EDA＝90°﹣∠EDC，

∴∠DAF＝∠EDA，

∴△AOD是等腰三角形．

20．【新知理解】

如图①，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．

作法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求．

【解决问题】

如图②，AD是边长为6cm的等边三角形ABC的中线，点P、E分别在AD、AC上，则PC+PE的最小值为　3　cm；

【拓展研究】

如图③，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD．（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）

【分析】（1）作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE＝PF，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，得出当CF⊥AB时，PC+PE＝PC+PF＝CF（最短），最后根据勾股定理，求得CF的长即可得出PC+PE的最小值；

（2）根据轴对称的性质进行作图．方法1：作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，连接BP，则∠APB＝∠APD．方法2：作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，连接DP，则∠APB＝∠APD．

【解答】解：（1）【解决问题】

如图②，作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE＝PF，

当点F，P，C在一条直线上时，PC+PE＝PC+PF＝CF（最短），

当CF⊥AB时，CF最短，此时BF＝AB＝3（cm），

∴Rt△BCF中，CF＝＝＝3（cm），

∴PC+PE的最小值为3cm，

故答案为：3；

（2）【拓展研究】

方法1：如图③，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB＝∠APD．

方法2：如图④，作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，点P即为所求，连接DP，则∠APB＝∠APD．

21．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．

（1）求BC的长；

（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．

【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝CE，再根据AD+DE+AE＝BD+DE+CE即可得出结论；

（2）先根据线段垂直平分线的性质得出OA＝OC＝OB，再由△OBC的周长为16cm求出OC的长，进而得出结论．

【解答】解：（1）如图，

∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，

∴AD＝BD，AE＝CE，

∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC，

∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE＝6cm，

∴BC＝6cm；

（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，

∴OA＝OC＝OB，

∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC＝16，

∴OC+OB＝16﹣6＝10cm，

∴OC＝5cm，

∴OA＝OC＝OB＝5cm．

22．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．

（1）求证：MN⊥DE；

（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．

【分析】（1）连接ME、MD，由直角三角形的性质可求得DM＝EN，则由等腰三角形的性质可证明MN⊥DE；

（2）由条件可求得MD、ND，在Rt△MND中可求得MN，则可求得△MDE的面积．

【解答】（1）证明：连接ME、MD，

∵BD⊥AC，

∴∠BDC＝90°，

∵M是BC的中点，

∴DM＝BC，

同理可得EM＝BC，

∴DM＝EM，

∵N是DE的中点，

∴MN⊥DE；

（2）解：

∵BC＝10，ED＝6，

∴DM＝BC＝5，DN＝DE＝3，

由（1）可知∠MND＝90°，

∴MN＝＝＝4，

∴S△MDE＝DE•MN＝×6×4＝12．

23．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）请说明：DE＝DF；

（2）请说明：BE2+CF2＝EF2；

（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．

【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出∠B＝∠C＝∠BAD＝∠DAC＝45°，AD＝BD，求出∠BDE＝∠ADF，根据ASA证△BDE≌△ADF即可；

（2）根据AAS证△ADE≌△CDF，推出AE＝CF，根据勾股定理求出即可；

（3）求出EF长，根据勾股定理求出DE和DF，根据三角形的面积公式求出即可．

【解答】（1）证明：连接AD，

∵等腰直角三角形ABC，

∴∠C＝∠B＝45°，

∵D为BC的中点，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝∠BAD＝45°＝∠B，∠ADC＝90°，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF＝90°，

∴∠ADF+∠FDC＝90°，∠FDC+∠BDE＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中

，

∴△BDE≌△ADF，

∴DE＝DF．

（2）证明：∵△BDE≌△ADF，

∴BE＝AF，

∵∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴∠EDA+∠ADF＝∠ADF+∠FDC＝90°，

∴∠EDA＝∠FDC，

在△ADE和△CDF中

，

∴△ADE≌△CDF，

∴CF＝AE，

∴EF2＝AE2+AF2＝BE2+CF2，

即BE2+CF2＝EF2．

（3）解：EF2＝BE2+CF2＝100，

∴EF＝10，

根据勾股定理DE＝DF＝5，

△DEF的面积是DE×DF＝×5×5＝25．

答：△DEF的面积是25．

24．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．

（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长

（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，

①求证：EF＝EG．②求AF的长．

（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG＝10时，求AF的长．

【分析】（1）根据翻折的性质可得BF＝EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；

（2）①根据翻折的性质可得∠BGF＝∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF＝∠EFG，从而得到∠EGF＝∠EFG，再根据等角对等边证明即可；

②根据翻折的性质可得EG＝BG，HE＝AB，FH＝AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解；

（3）设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

【解答】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，

∴BF＝EF，

∵AB＝8，

∴EF＝8﹣AF，

在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，

即42+AF2＝（8﹣AF）2，

解得AF＝3；

（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，

∴∠BGF＝∠EGF，

∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，

∴∠BGF＝∠EFG，

∴∠EGF＝∠EFG，

∴EF＝EG；

②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，

∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，

∴EF＝EG＝10，

在Rt△EFH中，FH＝＝＝6，

∴AF＝FH＝6；

（3）解：

法一：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，

∵E到AD的距离为2cm，

∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，

在Rt△ENG中，GN＝＝＝8，

∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，

∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，

∴∠KEM＝∠NGE，

又∵∠ENG＝∠KME＝90°，

∴△GEN∽△EKM，

∴＝＝，

即＝＝，

解得EK＝，KM＝，

∴KH＝EH﹣EK＝8﹣＝，

∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，

∴△FKH∽△EKM，

∴＝，

即＝，

解得FH＝，

∴AF＝FH＝．

法二：如图4，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，过点K作KL∥CD交BC于点L，连接GK，

∵E到AD的距离为2cm，

∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，

在Rt△ENG中，GN＝＝＝8，

设KM＝a，

在△KME中，根据勾股定理可得：KE2＝KM2+ME2＝a2+4，

在△KEG中，根据勾股定理可得：GK2＝GE2+KE2＝102+a2+4，

在△GKL中，根据勾股定理可得：GK2＝GL2+KL2＝（8﹣a）2+82，

即102+a2+4＝（8﹣a）2+82，

解得：a＝，故KE＝，

∴KH＝EH﹣EK＝8﹣＝，

设FH＝b，

在△KFH中，根据勾股定理可得：KF2＝KH2+FH2，

∵KF＝KA﹣AF＝BL﹣AF＝（BG+GN﹣KM）﹣AF＝10+8﹣﹣b＝﹣b，

即：（﹣b）2＝（）2+b2，

解得：b＝，

∴AF＝FH＝．

25．在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：

操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．

（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为　12cm　；

（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为　36°　；

操作二：如图2，李静拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．

【分析】操作一：（1）由翻折的性质可知：BD＝AD，于是AD+DC＝BC，从而可知△ACD的周长＝BC+AC；

（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，由翻折的性质可知∠CBA＝2x，然后根据直角三角形两锐角互余可知：x+2x+2x＝90°．

操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：DE＝DA，最后根据BE＝AB﹣DE﹣AD计算即可．

【解答】解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD＝AD，

∴AD+DC＝BC＝7．

∴△ACD的周长＝CD+AD+AC＝BC+AC＝7+5＝12cm．

故答案为：12cm．

（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x．

由翻折的性质可知：∠BAD＝∠CBA＝2x，

∵∠B+∠BAC＝90°，

∴x+2x+2x＝90°．

解得；x＝18°．

∴2x＝2×18°＝36°．

∴∠B＝36°．

故答案为：36°．

操作二：在Rt△ABC中，AC＝＝6．

由翻折的性质可知：ED＝AD，DC⊥AB．

∵，

∴10CD＝6×8．

∴CD＝4.8．

在Rt△ADC中，AD＝＝＝3.6．

∴EA＝3.6×2＝7.2．

∴BE＝10﹣7.2＝2.8．

26．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．

（1）当t＝3秒时，求△ABP的面积；

（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？

（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．

【分析】（1）求出P运动的距离，得出O在BC上，根据三角形面积公式求出即可；

（2）分为三种情况：P在BC上，P在DC上，P在AD上，根据勾股定理得出关于t的方程，求出即可；

（3）求出BP＝2t﹣4，CP＝10﹣2t，根据AP2＝AB2+BP2＝42+（2t﹣4）2和AD2+CP2＝AP2得出方程62+（10﹣2t）2＝42+（2t﹣4）2，求出方程的解即可．

【解答】解：（1）

当t＝3时，点P的路程为2×3＝6cm，

∵AB＝4cm，BC＝6cm

∴点P在BC上，

∴（cm2）．

（2）

（Ⅰ）若点P在BC上，

∵在Rt△ABP中，AP＝5，AB＝4

∴BP＝2t﹣4＝3，

∴；

（Ⅱ）若点P在DC上，

则在Rt△ADP中，AP是斜边，

∵AD＝6，

∴AP＞6，

∴AP≠5；

（Ⅲ）若点P在AD上，

AP＝5，

则点P的路程为20﹣5＝15，

∴，

综上，当秒或时，AP＝5cm．

（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上，

∵BP＝2t﹣4，CP＝10﹣2t，

∴AP2＝AB2+BP2＝42+（2t﹣4）2

由题意，有AD2+CP2＝AP2

∴62+（10﹣2t）2＝42+（2t﹣4）2

∴t＝＜5，

即t＝．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e90a6eadb207e87101f69e3143323968001cf445.html