四旋翼飞行器中英文对照外文翻译文献

(文档含英文原文和中文翻译)

译文：

四旋翼飞行器的建模与控制

摘要

迄今为止， 大多数四旋翼空中机器人取材于飞行玩具。 虽然这样的系统可以作为原型，但是它们是还没有健全到能够服务于所有实验机器人平台。 我们已经开发出了 X‐4， 采用定制底盘和带有现成的电机和电池航空电子设备，是一个高度可靠的实验平台。这个飞行器使用嵌入式姿态动力学控制器以稳定飞行。被用来调节飞行器的姿态的控制器是一个线性的单输入单输出系统。

1 介绍

直升机的一个主要难点是为了可靠的飞行，飞行器需要广泛的，和昂贵的维修费用。无人驾驶航空飞行器（无人机） 和微型飞行（MAV）也不例外。 简化飞行器的机械结构能够方便操控这些飞行器。

四旋翼是一种强大且简单的直升机， 因为他们没有传统旋翼飞行器的复杂旋转倾转盘和联系。多数四转子飞行器是根据遥控玩具的组件构建而成的。因此，这些缺少必要的可靠性和性能的飞行器是不可能成为是切实可行的实验平台的。

1.1 目前的四旋翼平台

最近几个四转子工艺已被开发用于制作玩具或进行研究。因为市场的需求，许多关于四旋翼的研究开始了， 如HMX2‐4 和 Rctoys 的Draganflyer。一成不变的，这些由塑料电机组成的飞行器的机身都带灯光。它们是由镍镉电池或锂聚合物电池供电，并且使用基于速度反馈的mems陀螺仪。这些四旋翼一般没有稳定的稳态。

自动稳定及使用各种硬件和控制方案被用于研究四旋翼。例如，CSIRO的四旋翼飞行器， 是一个Draganflyer的衍生物，它使用视觉伺服和惯性测量单元（IMU）来使飞行器稳定在一个固定的点上。 其他的四旋翼，包括Eidgenossische Technische Hochschule Zurich的‘OS4’，一个带有低纵横比的叶片的带传动的飞行器; CEA 的 “X4‐flyer'1， 一个带有四个电机和叶片的四旋翼]。还有康奈尔大学的自治飞行器， 一个采用的飞机螺旋桨的大型飞行器。

澳大利亚国立大学（ANU） 的 X‐4四旋翼微型飞行器旨在解决小型无人机面对的的问题。X‐4比同类型机器人重很多： 它重 4kg ，并且被设计用于携带 1千克的载荷。它有碳纤维材料和铝底盘和高推力与重量比。所使用的电机和电池是现成的组件。马达直接驱动转子，不需要变速箱，机器人仅具有8个可移动部分。 因此，它是一个在小范围的在飞行中很难发生灾难性故障的坚固的、稳定的四旋翼。它能提供一个实用的有效载荷能力并且续航时间长。

1.2 当前发展的目标

高性能的电机和转速控制器已经被用于X‐4。这些都充分解决推力的产生和电机的调速性能之间的问题。此外，一个包括旋翼拍打的影响的飞行动力学模型被推倒出来。它是一个关于在不同配置和干扰下的四旋翼的轨迹的3d模拟器。

当前研究飞行器的目的在于稳定飞行器滚动，俯仰和偏航等飞行姿态。连续飞行要求俯仰和横滚角保持在零附近， 除了需要积极转换的时候。飞行系统天生的不稳定性需要积极的补偿。特殊的设计引发的不稳定俯仰和横滚用一个控制器可以很容易地解决。

在本文中，我们提出了 X‐4是一个功能健全的空中机器人。 关于四旋翼直升机叶片的动力学正在研究中。我们从数据中估计出系统参数，并建立了数学模型。根据六自由度空气动力学模型我们推导纵向（俯仰/滚动）的解耦动力学和方位模式。控制的方法是优化机械设计来达到解耦动力学中的动态控制并实现线性单输入单输出系统的控制。控制器是为了让飞行器在仿真中更加稳定，然后去证明飞行器在小范围飞行中的倾斜和翻滚的补偿功能

2 X‐4的硬件和构造

由于X‐4巨大的构造使它区别于其他的飞行器。它包括一个底盘， 电机和动力电池以及姿态控制单元和通讯电子设备。每个子系统的描述详细如下：

2.1 机壳

X‐4有铝制的中央框架和炭纤维四臂。规则排列的安装点允许 COG 可以很容易地移动。电机和电池都尽可能地安装在远离中心轴线的地方。 手臂角度略有倾斜，使四臂和转子之间空出更多的间隙。电机顶部是旋转的中心，一个处在驱动杆和叶片之间自由关节点。叶片被电机顶部和底部板紧紧夹住。

2.2 驱动系统

在 X‐4 的电机设计被设计成用于托起四旋翼，并留有30%的余量（大于超过 520 千克）。 叶片是三层的碳纤维，由ANU设计制造。.它的几何结构设计成这样是为了让转子在欠负荷下处在最佳的工作状态。ANUX2旋桨使用的是为电机特制的截面

无线电遥控的飞行器是由Jeti Phasor 30-3三相无刷电机驱动的他们提供的高扭矩的性能可以直接驱动转子，省去了齿轮。电机可以通过超过300 瓦，额定电流可达 35 A。

电机通过定制电机控制板整流。这些是由澳大利亚联邦科学与工业研究组织的昆士兰州开发中心高级技术信息和通信技术小组发明的。该板立基于各地的飞思卡尔 HC12D60A 微处理器和东芝 TB9060 无刷电机转速控制芯片。

能量由 24 锂聚合物 2000 毫安电池提供。 每个单元有 3.7 伏的标称电压， 范围从 4.2V 完全充电， 并在枯竭时下降到 3V。 每个单元可以提供高达 20A 的电池。电池被连接到 带有6 平传，每个平传由四个单元串联而成的电源总线上，也就是说，每个转子有14.8v的标称电压和120A的电流消耗。这可以使飞行器达到预期的在盘旋速度下11分钟的飞行时间。

2.3控制

该工艺是通过板载嵌入式 HC12 稳定控制器完成的。 该控制器从CSIRO Eimu惯性测量单元读取姿态数据：角速度和加速度和50Hz下的估计角度位置。 该控制器根据CAN 总线上的电机控制单元输出转子转速， 也在 50 Hz。

2.4命令和遥测

根据相关机器人的用法和X-4的状态信息，信息是由连接到一台运行 Linux的笔记本电脑基站上的长距离蓝牙模块传输的 。 蓝牙单元具有100M的有效距离。飞行器的遥测数据从基站上下载下来并显示在屏幕上。 用户可以通过笔记本电脑键盘和一个JR‐X3810 无线手机发出命令。

无线手机也能通过机上的无线电接收机触发独立于蓝牙通信信道的安全开关。即使在数据通信丢失的情况下，紧急切断开关可以通过禁用电机控制电路板立即停止转子。

3 四转子动力学

[Pounds et al, 2004]中描述的动态模型加入了基于四旋翼刚体动力学的摆动转子。X-4的当前构型不包含hub-springs的原始模型。因此摆动方程式可以被大大简化。

右

手惯性系记为I={Ex， Ey， EZ }， 其中 x 是飞行器的前面方向上和 z 是在重力的方向上。方程如下：

其中 m是质量，I是转动惯量， g 是重力加速度， ρ 是密度空气中， r是转子半径， A 是转子桨盘的区域。sk(x)是累死与sk(a)b = a × b的斜对称矩阵，sx和cx代表sin x和cos x。

其中 d 是传单的臂长， h 为齿轮之上转子的高度。

向量 Ti 和Qi是转子的旋翼拉力和扭矩， 和Mi是当下转子的推力矢量——一个摇摇欲坠的转子， 目前转子摆动完全是由于推力矢量从周围车辆的重心位移作用。 纵向的一次谐波和第 i 个转子的横向振荡角度由 a1si 和 b1si表示。 非幅员推力和扭矩系数， CT 和 CQ， 这里视为常数。 第 i 个转子的速度由!i给出。 该无量纲的推力系数和扑方程将在3.1 和 3.2 进行更详细的讨论。

3.1俯仰和横滚阻尼转子

一个四转子在它的桅杆和 COG 之间必然有一个水平位移。 当飞行器横摆和纵摇的时候，转子将承受一个垂直速度，导致流入角的变化。通过Prouty， CT与垂直速度的相关性表示如下：

其中， a 是极性电梯斜率， tatip 是转子尖端的几何桨叶角， Vi 是转子的诱导速度， 并且是坚固的圆盘叶片的表面面积和转子圆盘区的比例。

极性电梯斜率本身是转子叶片角度的函数。 对于一些螺旋桨这是高度非线性翼型件等的关系，因此可以更好地表示为围绕一个设定点的变种， CT0：

其中 CT 是诱导改变流入的变化条件。 从公式 12 可以推出：

其中 a0 是在设定点的升降斜率。

3.2摇摆的桨叶

当转子水平翻转时，叶片上升和前后移动之间有一定的区别， 这将导致转子尖端路径平面倾斜。通过得到的转子平面的产生角将同时解决常数和正弦分量的叶片离心空气动力学静电重力矩制度。摆动是很重要的， 因为以前的模拟X‐4 表明， 对于飞行器，倾斜转子对稳定性有显著的影响旋翼

相比于直升机的刚体动力学，转子转动的动力学发展很快，发生在一次转子变革中。 因此，叶片震动方程式可以被写成飞行器二位速度的瞬时函数

四旋转子飞行不限于纵向运动。当飞行器反复无常的移动时，转子的震动不应该和飞行器的物理前端一致。

第 i 个转子由于平面运动的震动是通过计算飞行器移动过程中的大小和方向并且定义一个参考系，bi，使其与参考方向对其得出。 我们计算了转子移动时的纵向和横向震动角度（u1si 和 v1si）， 然后在提坐标框架中重新表达它们（a1si 和 b1si，利用旋转矩阵）。通过在局部框架中使用标准震动方程，我可以避免复杂的计算。

通过第一次计算前进比和转子的方位角方向，发现了每个转子的震动被。 这个结论是源自

其中，Vr(n)i为第 i 个转子速度向量的第 n 个元素，μri 是第 i 个转子前进比， ri 为运动的方位角方向。

在 X‐4的配置省去了以前用弹簧铰链的虚拟偏移量。 因此，这个运动方程的描述可以大大简化：在本地框架的第 i 个转子的纵向和横向振荡角度解决方案，有：

分别为， 其中 是第 i 个转子无量纲化流量， 近似的

其中是锁数：

其中是是桨叶的转动惯量。

通过介于和 框架映射转换成体坐标框架进而导出由于飞行器运动时机体框架的摆动角度方程：

飞行器俯仰与翻滚角速度产生的摆动角度被加入到这个体坐标框架中：

表1：空气动力学的参数和相关误差

4 模型参数化和稳定性

基于这个模型建立的控制器需要实体系统的参数是精确的。大多数修饰语可以被自由的选择，比如一些、最重要的h变量等等，以用来口述系统的飞行性能。飞行器模型的每一个动态响应的定义参量都存在误差。我们通过分析外壳内的系统行为来选择旋翼机上cog高度的最优值。

4.1 测量值和不确定性

通过测量值或者来源于实验的数据，我们建立的一整套的参数估计方法及相关误差。通过其他已知值计算出参数的情况下，相关误差也可以被计算出：

• 空气动力学参数

通过测量、计算、仿真过着参考资料，转子、叶片和空气动力学参数可以被推导出。他们被列在表1中。

•零件和放置位置

飞行器的零件和放置位置在表2中给出。主要这张表只包括一些主要零件，不包括螺丝和紧固件。

•通过先前处理点质量计算出转动惯量，对角线的惯性矩阵有表3给出

图4 ：x-4的剖面图

表2：元件质量和阈值

4.2 自然稳定性分析

一个直升飞机或者四旋翼的显性动力学一车辆的纵向动力学相关。直升飞机的徘徊运动与每一个轴都是解耦的。四旋翼的对称性意味着其占用重要地位的动力学方程可以用一个单一方程表示。我们通过深入了解这些动力学方程的自然稳定性来寻求控制系统的最佳几何框架。

在早期的工作中，我们应用Prouty的派生物来分析四旋翼的近徘徊动力学。这些实验跟深入的指出通过分析四旋翼的额外关系和消除弹簧引起的震动并没有被运用到当前的X-4飞行器中。

通过直升飞机的基本动力学方程驱使 了x的转变和在没有控制输入下的倾斜和翻转。稳定性导数矩阵如下：

X是长度, 是俯仰角，s是拉普拉斯变换的微分算子。我们通过将与修改了直升飞机的处理方式，同时由于转子在俯仰时的垂直运动我们加入了：

这里

这个系统矩阵行列式的特征方程是：

特征多项式的指数解表示了系统的动态行为。因为

并且

所以对于这个自然的开环的动力学系统是不可能让x-4稳定的。

Routh的判别式使用特征多项式来表达不稳定性的本质.R.D.表示如下

这里ＡＢＣＤ是２９的系数。如果结果是正的，飞行器将稳定。负的则不稳定。０的话俯仰动力学将是中性的。这样的话

这个表达式中只有ｈ是可变量。对于一个传统的直升飞机，当ｈ>0时，飞行器具有不稳定的极对数。如果转子反向（在cog之上），飞行器将会没有震荡的偏离。如果转子和cog在同一平面上，飞行器将最低限度的稳定。这种特性可以在一个3D模拟器中精确的模拟出来

表2 ：对角线惯性原理

表3 ：动力学方程的开环零极点

4.3 参数模型

通过使用飞行器的物理值，平移和翻转的解耦动力学方程可以被计算出来。参数的误差范围将根映射到一个复平面上。飞行器的线性微分方程如下：

可以用一个单一的传递函数来解这个方程，且转子的速度变量

这里

摆动角度的可以用一个关于和的方程表示：

根据先前的参数和误差，零极点在表4中被给出。Cog之上的转子高度是误差的的最大贡献者，超过80%的几点误差估算。因此，关于转子高度的转子高度对于动态模型是至关重要的。

最有自然稳定性的分析证明了h对于决定动力系统的特性也是很重要的。H的根轨迹表明了开环极点在显著变化。类似于自然例子，当cog在转子下面时，系统表现出不稳定性，当cog在转子上面时会出现明显的分歧，和cog在同一平面时，表现出中性。

Prouty建议直升机可以从反向配置的转子中受益，因为相比震荡的不稳定性，人造飞行器的纯粹的分歧点更容易被解决。

4.4 最佳灵敏度的设计

自动补偿器的使用使得人造飞行器更加直观，并且系统的震荡也是可接受的。此外，我们使用最基础的控制限制来配置飞行器的控制性能。

为了达到良好的性能，我们希望控制器具有很强的抗干扰能力以及快速响应能力。然而因为波得积分的水床效应使得控制器的灵敏函数跳过所有频率并指向一个固定的设计目标:这表明任何系统灵敏度的减少都会造成其他频率段里灵敏度的增加。

因此，在任何控制器应用之前，降低下伏系统的波得积分是迫切需要的，波得积分可以与系统开环函数的极对数相连。表示如下：

S是系统的灵敏度函数，pi是开环极点，w是频率。

计算h从-0.05到0.05之间的波得积分。当四旋翼与重心一致使，波得积分是0。在这种配置下，俯仰动力是中性的。

当四旋翼移开cog时，积分量级会急剧下降。考虑到h和飞机模型之间的相关误差，以及h和灵敏度之间的相关联系，更正和确认转子高度对于飞行器的性能是至关重要的。

对于x-4飞行器，h=0是转子最理想的位置。然而，h不断变化的根轨迹表明在h点附近，飞行器的构造经理有意义的带有误差的变化。因此，我们把cog设在稍微远离四旋翼的地方，这样的话小小的误差不会对稳定性造成影响。

5.控制和仿真

大量的控制技术已经被成功的运用到四旋翼飞行器中，包括PID、LQ和PD2 等控制技术。Bouabdalla发现在模型不确定性方面，由于方法简便，PID与LQ表现的更好。对于那些对于h的变化很敏感的全震动模型，PID是值得追求的。

除了姿态动力学，x-4也有重要的电机动力学。电机动力学的表现与刚体动力学相关—对于四旋翼的姿态控制，电机的快速响应是很重要的。为了达到这个目的，转子速度控制正在发展中以提高转子电机系统的性能。电机的线性开环传递函数HM-CL ：

3.实际上，x-4的转子被设在h=-0.07m的地方，这样的话它可以被人随意的控制

图7离散的程序块图

u是速度输入参考值

5.1 离散化模型

控制器工作在50hz的频率下，一个姿态数据可以最快被更新的 频率，并且对于控制设计，飞行器的姿态数据被以ts=0.02s离散。IMU同时传回了角度与速度数据，这有助于不正确的PID控制器的实现。完整的离散化模型：

这里是转子速度运行状态的变种，850弧度/秒。Z=1这个额外的零点是用零极点半离散化方法得到的。

5.2控制设计

所推荐的控制器包括0角度跟踪误差的积分和一个复杂的零点对来稳定飞行器。控制器的传递函数C：

因为电机力学的快速性，主导几点与姿势结构有相互作用。如果转子慢一点的话，非主导几点将会靠近单位圆，导致震荡及潜在的不稳定性。抵消迟钝的电机零极点与给飞行器供电的锂电池的动力相关。足够的的增加将导致极点靠近单位圆，减少影响。

5.3 干扰抑制

姿态动力的干扰将表现为由子速度产生的气动效应的形式。由于电机速度输出的干扰，我们使用为电机速度控制器服务的敏感模型。我们希望将x-4的位置变化控制在0.5米内。

图8螺旋角灵敏度函数波特图

我们将通过滤色片的白噪声作为电机输出干扰的模型F：

螺旋角的灵敏度w：

这里HM是电机，CM是电机补偿器。螺旋角灵敏度的峰值在0.4弧度/秒的点。

螺旋角被整合到x轴上。由方程35和40得到传递函数X：

在角敏感峰值点的单元干扰会产生一个0.01米的位置变化，正好在目标范围内。然而，由于动力的积分，x的敏感峰值将会出现在直流电的低频段（wd<0.01rad.s-1）;在此范围内的正弦曲线将会产生0.78m的位置偏差和微不足道的角度偏差。既然偏差很小—600s一段—终将会在位置测量时被轻易的补偿。

5.4仿真

完整的控制系统的仿真是在Matlab的 Simulink中完成的。它包括对控制器进行多重抽样的非线性系统，电机的磁化饱和，测量的量子化以及电机控制器的回转极限性。

在仿真中，闭环系统有一个2秒的脉冲响应和一个0.2弧度的最大角度测量偏差。一个w=0.01rad.s-1的正弦信号输入产生的角度偏差将被归入模型的非线性烦扰并且没有被传送到输出。很可能慢干扰下的误差测量将会由于量子化的传感器而丢失。

图9 x-4飞行器的俯仰和翻滚模型

6 飞行器的安装和性能

在飞行条件下测试设计好的飞行控制器之前，我们先在装置内部测试了一下。在此配置下，当飞行器在空中水平运动时，没有出现震动现象，可以自由的俯仰和翻滚。实际上，x-4有两个额外的稳定的震荡极点：z=0.9664+±0.0331，这是从机械的交叉耦合中得到的。转子可以在初始测试时保持在低速状态，在这个速度下，系统的变化与转子速度成比例。这将导致全速系统传递函数的简化：

这需要重新布置实轴上控制器的零点：

在实际应用时，发现转子低俗运行时可以可靠运行（w<450 rads-1）。在俯仰和翻滚时，飞行器可以自稳，并且保持水平。为了测试动力性能，22个步进动作进行了超过800秒，每一个步进动作都进行了分析。步进动作被分成10级，并进行了反反复复的测试，以测试方向乖离率。用飞行器使飞行器0度翻转并且在试验台上锁定偏航。

图10：每一步的低速参考值（黑色）数据（蓝色）和预测值（绿色）

从数据可以看出，在这个转子速度下，与2.25秒的上升时间，30%的超调量和15秒的稳定时间相比，系统有1.25秒的上升时间，30%的超调量和40秒的稳定时间。分布实验表明了两个不同极点有0.4hz的震荡和±1的角度误差。这个震荡将会导致X-4在飞行过程中产生±0.027m的水平位移。

研究表明，当转子速度上升时，系统将会表现半稳定的无序行为，并将导致飞行器脱缰成为可能。我们相信不稳定性是由于转子的高频噪声破坏了IMU加速计数据的正确性。我们相信给传感器附加电隔离将会使全速运行成为可能。

7 结论

我们自主研发了一个大型的四旋翼飞行平台，并且作为代表，被用在了当前的机器人研究当中。对飞行姿态的研究使我们能够调整机械构造以达到最佳控制和干扰抑制。我们设计了一个控制器来稳定翻滚模式下的显性解耦，并且使用以带干扰输入的模型来估计飞行器的性能。最终结果表明，在低速飞行下，补偿器成功的规范了飞行姿态。

原文:

Modelling and Control of a Quad-Rotor Robot

Paul Pounds, Robert Mahony, Peter Corke

Australian National University, Canberra, Australia

CSIRO ICT Centre, Brisbane, Australia

paul.pounds@anu.edu.au, mahony@ieee.org, peter.corke@csiro.au

Abstract

To date, most quad-rotor aerial robots have

been based on flying toys. Although such

systems can be used as prototypes, they are

not sufficiently robust to serve as experimental

robotics platforms. We have developed the X-4

Flyer, a quad-rotor robot using custom-built

chassis and avionics with off-the-shelf motors

and batteries, to be a highly reliable experi-

mental platform. The vehicle uses tuned plant

dynamics with an onboard embedded attitude

controller to stabilise flight. A linear SISO con-

troller was designed to regulate flyer attitude.

1 Introduction

A major limitation of helicopters is the need for exten-

sive, and costly, maintenance for reliable flight. Un-

manned Air Vehicles (UAVs) and Micro Air Vehicle

(MAV) rotorcraft are no exception. Simplifying the me-

chanical structure of a flying machine produces clear

benefits for the logistics of operating these devices.

Quad-rotors are robust and simple helicopters as they

do not have the complicated swashplates and linkages

found in conventional rotorcraft. The majority of four-

rotor aerobots are constructed from remote-control toy

components. As a result, these craft lack the necessary

reliability and performance to be practical experimental

platforms.

1.1 Existing Quad-Rotor Platforms

Several quad-rotor craft have been developed recently,

for use as a toy or for research. Many research quad-

rotors began life as a commercially available toy, such

as the HMX-4 and RCtoys’ Draganflyer. Unmodified,

these craft typically consist of light airframes with plastic

rotors. They are powered by NiCd or Li-Poly cells and

use rate feedback from MEMS gyros. These quad-rotors

generally have no attitude stability.

Research quad-rotors add automatic stability and use

a variety of hardware and control schemes. CSIRO’s

Figure 1: X-4 Flyer Mark II.

quad-rotor flyer, for example, is a Draganflyer deriva-

tive that uses visual servoing and an Inertial Measure-

ment Unit (IMU) to stabilise the craft over a blob tar-

get. Other quad-rotors include Eidgenossische Technis-

che Hochschule Zurich’s ‘OS4’ [Bouabdallah et al, 2004],

a belt-driven flyer with low-aspect ratio blades; CEA’s

‘X4-flyer’1, a small quad-rotor with four blades per mo-

tor [Guenard et al, 2005]; and Cornell’s Autonomous

Flying Vehicle, a large craft using hobby aeroplane pro-

pellers.

The Australian National University’s (ANU) X-4

Flyer quad-rotor MAV (cf. Fig. 1) aims to address the

problems faced by small-scale UAVs. The X-4 is much

heavier than similar robots: it weighs 4 kg total and is

designed to carry a 1 kg payload. It has a strong carbon-

fibre and aluminium chassis and a high thrust-to-weight

ratio. The motors and cells used are off-the-shelf compo-

nents. The motors directly drive the rotors, eliminating

the need for a gearbox – the robot has only eight moving

1. Although similarly named, the ANU X-4 Flyer and CEA

X4-flyer are quite different craft

parts. As a result, the flyer is rugged and reliable with

little scope for catastrophic failure in flight. It promises

a practical payload capacity with a substantial flight du-

ration.

1.2 Goals of Current Development

High-performance rotors and speed controllers have been

developed for the X-4 Flyer. These have adequately

solved the problems of thrust generation and dynamic

motor speed performance [Pounds et al, 2005], [Pounds

et al, 2007]. In addition, a model of the flight dynamics,

including rotor flapping effects, was derived. A 3D simu-

lator of the craft generated state trajectories of the robot

for a variety of configurations, subjected to disturbances.

Current work on the flyer aims to stabilise the aircraft

in roll, pitch and yaw. Continuous flight requires the

pitch and roll angles to remain around zero, except when

actively translating. The natural instability of flying sys-

tems requires active compensation. The special design

for the chassis results in purely divergent instability in

pitch and roll that a controller can readily correct.

In this paper we present the X-4 Flyer as a fully-

functional aerial robot. The dynamics of quad-rotor

helicopters with blade flapping are studied. We estimate

the system parameters from data to produce a numerical

plant model. Based on a 6DOF aerodynamic model we

derive decoupled dynamics in longitudinal (pitch/roll)

and azimuthal modes. The control approach is to opti-

mise the mechanical design for control of these dynamics

and implement linear SISO control in the decoupled dy-

namics. We describe the controller used to stabilise the

craft in simulation and then go on to demonstrate the

function of the roll and pitch compensation in tethered

flight.

2 X-4 Hardware and Construction

The X-4 Flyer is set apart from other quad-rotor vehi-

cles by its larger construction. It consists of a chassis,

motors and power cells, and attitude control and com-

munications avionics. Each subsystem is described in

detail below:

2.1 Chassis

The X-4 has an aluminium centre frame with carbon

fibre-foam sandwich arms. Regularly spaced mounting

points allows the CoG to be shifted easily. Motors and

batteries are mounted as far from the central axis as

possible. The arms angle down slightly to provide more

clearance between the bottom of the arms and flap-

ping rotor tips. The rotor mounts are teetering hubs,

a freely pivoting joint between the drive shafts and ro-

tor blades, machined from aluminium. The blades are

screw-clamped between the rotor mount top and bottom

plates.

2.2  Drive System

The X-4’s rotors are designed to lift the flyer with an ad-

ditional 30 per cent control margin (greater than 5.2 kg).

The blades are three-ply carbon fibre and were designed

and fabricated at the ANU. The geometry is designed so

that the rotor tips flex to the optimal operating angle

under load. The ANUX2 airfoil used is a custom section

made specially for the rotors.

The rotors are driven by Jeti Phasor 30-3 three-phase

brushless motors for radio-controlled aircraft. They offer

high torque performance that allows for direct drive of

the rotors, eliminating the need for gearing. The motors

can pass more than 300 W and are rated up to 35 A.

Custom motor control boards commutate the motors.

These were developed by the CSIRO Queensland Centre

for Advanced Technology ICT group. The boards are

based around the Freescale HC12D60A microprocessor

and Toshiba TB9060 brushless motor speed control chip.

Power is provided by 24 Li-Poly 2000 mA·h high-

discharge cells. Each cell has a nominal voltage of 3.7 V,

ranging from 4.2 V fully charged and dropping to 3 V at

depletion. Each cell can deliver up to 20 A. The batter-

ies are connected to a power bus of six parallel sets of

four cells in series; that is, 14.8 V nominal voltage and

120 A of current draw per motor. This gives the flyer an

expected flight time of 11 minutes at hover speed.

2.3  Control

The craft is stabilised by an onboard embedded HC12

controller. The controller reads attitude from a CSIRO

Eimu IMU that provides angular rate and acceleration

measurements and angular position estimates at 50 Hz.

The controller outputs rotor speed references to the mo-

tor control cards over the CANbus, also at 50 Hz.

2.4  Command and Telemetry

Human directions to the robot and information about

the X-4’s state are transmitted over a long-range Blue-

tooth serial module connected to a laptop base station

running Linux. The Bluetooth unit has a range of up

to 100 m. Telemetry from the flyer is logged by the

base station and displayed on-screen. The user can is-

sue commands via the laptop using the keyboard and a

JR-X3810 radio handset.

The radio handset can also trigger a safety kill switch

on the X-4, independently of the Bluetooth communi-

cations channel, using an onboard radio receiver. In an

emergency the kill switch can stop the rotors instantly

by disabling the motor control boards, even if data com-

munications is lost.

3  Quad-Rotor Dynamics

The dynamic model described in [Pounds et al, 2004]

added articulated flapping rotors to the basic quad-rotor

Figure 2: Flapping Quad-Rotor Free-body Diagram.

rigid body dynamics model. The current configuration

of the X-4 Flyer does not incorporate the hub-springs

originally included in the model. As a result, the flapping

equations can be substantially simplified:

The right-hand inertial frame is denoted by

I= {Ex, Ey, Ez}, where x is aligned with the front of the

craft and z is in the direction of gravity, and ξ = (x, y, z)

is the origin of the body fixed frame A ={Ea, Ea, Ea}.

The frame A is related to I by the rotation matrix

R : A → I. V and Ω are the linear and angular ve-

locities of the frame in A (cf. Fig. 2).

The equations are:

ξ = RV (1)

mV = −mΩ × V + mgRTe3 + Ti (2)

N,S,E,W

R = R · sk (Ω) (3)

IΩ =  −Ω × IΩ + [Qi + Mi] (4)

N,S,E,W

−sa1si

Ti  = CTρAr2ω2  ca1sisb1si (5)

cb1sica1si

Qi  = CQρAr3ωi|ωi|e3 (6)

Mi  = Ti × Di (7)

where m and I are the mass and rotational inertia of the

flyer, g is acceleration due to gravity, rho is the density of

air, r is the rotor radius, and A is the rotor disc area. In

equation 6, ω is multiplied by its magnitude to preserve

tation matrix R is constructed with the yaw-pitch-roll,

η = (φ, θ, ψ) Euler angles. Rotors are indexed by their

corresponding compass directions: North, South, East

and West (N SEW ), where N indicates the front rotor.

Correspondingly, Di is the rotor displacement from the

flyer centre of mass:

DN  =  0  d  h              (8)

DS  =  0  −d h            (9)

DE  =  d  0  h             (10)

DW  =  −d 0 h           (11)

where d is the arm length of the flyer and h is the height

of the rotors above the CoG.

Vectors Ti and Qi are the rotor thrust and torque,

and Mi is the moment due to the thrust vector of the

ith rotor – for a teetering rotor, the moment produced

by the rotor flapping is due solely to the thrust vector

acting around a displacement from the vehicle’s centre

of gravity. The first harmonic of the longitudinal and

lateral flapping angles of the ith rotor are denoted by a1si

and b1si. The non-dimensionalised thrust and torque

coefficients, CT and CQ, are treated as constants here.

The speed of the ith rotor is given by ωi. The non-

dimensionalised thrust coefficient and flapping equations

are discussed in more detail in Sections 3.1 and 3.2.

3.1  Pitch and Roll Rotor Damping

A quad-rotor necessarily has a horizontal displacement

between its masts and CoG. When the craft rolls and

pitches, the rotors experience a vertical velocity, leading

to a change in the inflow angle. From Prouty [Prouty,

2002, pp 101], CT can be related to the vertical velocity,

Vc, by:

ωr            (12)

where a is the polar lift slope, thetatip is the geometric

blade angle at the tip of the rotor, vi is the induced

velocity through the rotor, and σ is the solidity of the

disc - the ratio of the surface area of the blades and the

rotor disc area.

The polar lift slope is itself a function of the rotor

blade angle of attack, α. It is highly nonlinear for some

airfoils and so the relation can be better expressed as a

variation around a set point, CT0:

CTi = CT0 + ∆CTi            (13)

where ∆CT is the change induced by the changing inflow

conditions. From Equation 12, this is written as:

the sign of rotation for counter-rotating rotors.

Here sk(x) is the skew-symmetric matrix such that

sk(a)b = a × b for vectors in 3 . The sx and cx no-

tations represent sin x and cos x respectively. The ro-

∆CTi = − a0 σ

where a0 is the lift slope at the set point.

(14)

Figure 3: Blade Flapping Angle Rotation.

3.2 Blade Flapping

Vri  = V + Ω × Di             (15)

ωiR                  (16)

Vr(1)i           (17)

where Vr(n)i is the nth element of the ith rotor’s velocity

vector, µri is the ith rotor’s advance ratio and ψri is the

azimuthal direction of motion.

The configuration of the X-4 Flyer dispenses with the

sprung virtual hinge offsets used previously. Thus, the

equations describing this motion can be greatly simpli-

fied: the longitudinal and lateral flapping angle solutions

of the ith rotor in the local frame, Bi, are:

When the rotors translate horizontally there is a differ-

ence in blade lift between the advancing and retreating

blades, which causes the rotor tip path plane to tilt. The

resulting angle of the rotor plane is obtained by simulta-

u1si  =    1

v1si  =    1

2

2

µri (4θt − 2λi)         (18)

4 CT 2 µriγ

(19)

3

neously solving the constant and sinusoidal components

of the blade centrifugal-aerodynamic-static weight mo-

ment system. Flapping is important, as previous sim-

ulations of the X-4 have shown that the tilting rotor

can introduce significant stability effects for the vehicle

[Pounds et al, 2004].

The dynamics of rotor flapping are very fast, occur-

ring within one revolution of the rotor [Leishman, 2006],

compared to the rigid body dynamics of the helicopter.

Consequently, the blade flapping equations can be writ-

ten as instantaneous functions of the craft’s planar ve-

locity.

A quad-rotor’s flight is not limited to longitudinal mo-

tion – when the vehicle moves arbitrarily, the flapping

motions of the rotors need not be in line with the nomi-

nal front of the aircraft. When the craft yaws the linear

velocity of the rotor hubs about e3 is added to the motion

of the vehicle.

respectively, where λi is the non-dimensionalised inflow

of the ith rotor, approximated by

λi =  CT/2               (20)

and γ is the Lock Number [Leishman, 2006]:

Ib                  (21)

where Ib is the rotational inertia of the blade about the

flapping hinge.

These are transformed back into the body-fixed frame

by the frame mapping between A and Bi, Ji to derive the

body-frame flapping angles due to motion of the flyer:

sin ψri   cos ψri        (22)

The flapping of the ith rotor due to planar motion is

found by calculating the magnitude and direction of ro-

a1si

v1si              (23)

tor’s translation and defining a local frame of reference,

Bi, aligned in that direction. We calculate the longitu-

dinal and lateral flapping angles in the rotor frame (u1si

and v1si) and then re-express them in the body-fixed

The components of the flapping angles produced by

the craft’s pitch and roll rates [Prouty, 2002] are added

to those of the body-fixed frame:

frame (a1si and b1si using a rotation matrix (cf. Fig. 3).

This allows us to avoid computational complexity by us-

ing standard flapping equations in the local frame.

The per-rotor flapping is found by first computing the

advance ratio and azimuthal direction of the rotor. We

derive this as:

γ

γ

q

p

2

2

p

ω

p

ω

(24)

(25)

Table 1: Aerodynamic Parameters and Associated Error.

4 Model Parameterisation and Stability

Designing a controller based on this model requires pa-

rameters of the physical system to be specified. Most

of these values are dictated by the flight performance of

the system; some, most importantly h, can be chosen

freely. The error associated with each parameter defines

the envelope of the plant model’s dynamic response. We

analyse the system behaviour within this envelope to de-

termine the best value of h, the height of the rotor plane

above the CoG.

4.1 Measured Values and Uncertainty

We have a set of parameter estimates, taken directly

from measurements or derived from experiments, along

with the associated error. In the case of parameters com-

puted from other known values, the associated error was

also computed:

• Aerodynamic parameters

Rotor, blade and aerodynamic parameters are ob-

tained through measurement, computation, simula-

tion or from references. These are listed in Table 1.

• Masses and Displacements

Component masses and distances measured with re-

spect to the rotor plane, (masses ±0.005 kg, dis-

tances ±0.005 m) are given in Table 2. Note that

this table is not a complete listing of all masses, but

includes all major masses – screws and fasteners are

omitted (cf. Fig. 4).

• Rotational Inertia Computed from the previous val-

ues by treating the masses as point masses, the di-

agonal entries of the inertial matrix are given in

Table 3. The CoG is 0.0071 ± 0.005 m above the

rotor plane.

Figure 4: X-4 Component Offsets.

Table 2: Component Masses and Offsets.

4.2  Unforced Stability Analysis

The dominant dynamics of a helicopter, or a quad-rotor,

are associated with the longitudinal dynamics of the ve-

hicle. Around hover, the motion of a helicopter is largely

decoupled in each axis. The symmetry of quad-rotors

means that the important attitude dynamics can be de-

scribed by a single equation. We analyse the natural

stability of these dynamics to provide insight into the

best airframe geometry for controllability of the system.

In earlier work [Pounds et al, 2004], we applied

Prouty’s stability derivation to analyse the near-hover

dynamics of quad-rotors. This treatment furthers that

analysis through the addition of terms specific to quad-

rotors and the elimination of flapping due to hub springs