春风又绿江南岸

春风又绿江南岸

——透视2005年江苏高考数学卷

祁 平（苏州市教育科学研究院 215003）

伴随着新课改的脚步，今年的江苏高考数学卷（以下简称试卷）向我们“迎面走来”，这是江苏高考自主命题的第二年。试卷重视数学基础的考查，在能力立意上也下了很大功夫。在体现课改精神（理念）、时代特征和数学文化方面，试卷也作了积极的、可喜的、成功的尝试。

1 再次强调“基础”——数学是需要基础的

高考数学是考查数学基础的考试。为高校选拔合格的新生，必须测试其必备的数学基础；作为数学学科的特点，基础更具有其特殊的意义。

为此，试卷首先在选择题部分“低开平走”。如试题⑴简单的集合运算，试题⑵求函数的反函数等等。试题1到试题7均很普通，又很基础，与2004年江苏卷非常一致。试题8－10，仍立足基础。试题8重点考查基本概念：线线关系、线面关系和面面关系。通过长方体模型，迅速判断命题①、命题②是假命题，命题③是真命题；通过建立三棱柱模型，发现命题④也是真命题。试题⑼、⑽考查基本运算，要求考生对数学概念准确理解、把握，灵活应用。

其次，试卷在填空题部分增加了2个填空题，进一步增加了对基础问题的考查。如⒀题要求考生写已知命题的否命题，试题⒁要求考生写曲线在点（1，3）处的切线方程，试题⒂求函数定义域等等。这此试题对基础的理解、要求、运用，也体现了不同的层次。试卷的最后5个大题在不同程度上也考查了数学的基本概念、基本运算、基本数学思想方法。重视数学基础的考查，无论对数学学科本身还是中学数学教学的导向都是很有意义的，很有必要的。试卷也为当前的中学数学课程改革提了个醒：数学是需要基础的，数学教学应重视基础训练。缺乏基础的能力是脆弱的。

建议1：解答题第一大题（解析几何）是否能给定坐标系，让考生进入熟悉的情景，突出考查重点“求轨迹方程的基本方法”及“基本运算能力”。则将大大增加考生在此问题上的得分率，同时也减少阅卷的工作量。

建议2：试题21（立体几何）应将题设中改为，，可能试题更为科学合理。第1、第2小题的得分率也将大大提高。阅卷中发现，许多考生在第1小题花了很多功夫，被“平面几何”卡住，从而影响了对立体几何的基本问题的考查。不少考生为此还耗费了大量时间。因为考生没想到在平几上会严重受阻，一会儿用传统方法，一会儿用“向量法”，方法多了，反而不知所措。从而留下一片混乱的场面，也影响22、23题的探索。修改后的试题只要连接， 创建等腰，

从而，由此，可迅速获得第1、2小题的思路。

建议3：将试题21的第1，第2小题交换位置，难度也降低了。

今年的试卷省平均分约下降17分，第一个原因是全省增加了近9万考生，另一原因试题21负有“不可推卸的责任”。

2 能力立意力度不减——数学是最有效培养人能力的学科

高考是注重能力考查的考试，要测量考生已有的和潜在的学习能力。而数学能力（思维能力、运算能力、空间想像能力以及实践能力和创新意识）对人的发展（学习和工作）非常重要。为此，试卷虽没有刻意在知识网络的交汇处设计试题，但卷一、卷二在“能力立意”上下了功夫。

如试题⑽ 若 则 .

考生若有敏锐的观察能力，从全局（整体）上思考问题，不难发现：

则

否则，运算量较大。

又如试题⑾：点P（-3，1）在椭圆的左准线上。过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为：

（A） （B） （C） （D）

要求考生视野开阔，有一定的综合运用数学知识的能力。

在获得方程的同时，必须迅速建立入射光线的方程：，它与的交点为A.

运用入射角等于反射角可获得

. 图

则 选（A）

应当肯定，试题⑾不拘泥于学科知识的束缚，很好地反映了能力与潜能的本质特征。

再如试题⒇第Ⅲ题：假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

这里考察了思维的严谨性、灵活性，要求考生分析问题时能抓住主要矛盾的主要方面，即射击的前二次情况要重点分析（这二次射击至少有一次击中目标），最后三次是确定的（第三枪击中，第四、五均未击中），由此 . 这样的试题没有留下人为的应用题的痕迹，要求考生有较强的分析问题和解决问题的能力，也鼓励教师教学中能培养学生善于用哲学的眼光来研究问题，这是数学教育与素质教育理应关注的内容。

从“基础”的考查到“能力”的考查，试卷布局平稳，没有大起大落，时而也出现一些亮丽的风景。如试题⒃，试题⒅，试题(21)第Ⅲ小题，试题(22)第Ⅱ小题。试题21（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角的大小很具挑战性。熟练运用三维向量是一种较好的方法。运用异面直线上两点间距离公式，过程也较为自然、简便。特别是试题(23)，给考生广阔的思考空间。

下面给出试题(23)的一个较为自然的思路。

试题(23)：设数列的前项和为，已知 且

其中、为常数.

(Ⅰ)求与的值；

(Ⅱ)证明数列为等差数列；

(Ⅲ)证明不等式对任何正整数都成立.

分析：首先令易得考查了学生对数列递推关系式的理解和待定系数法的应用能力。

第Ⅱ小题要证明为等差数列，这是多么熟悉的问题！欣喜的是命题组提供了一个新的情景：即 ① ，要求考生在新的背景下，充分发挥自己联想、构造、转化等数学能力，要从“似曾相见”到“蓦然回首”，考生要经历较高水平的探索过程。

由①希望出现的表达式，运用 ① 可得

即 ②

继续运用

则

即 ③

代③中 得： ④

④-③得

即 .

又

故为等差数列.

应该评论的是，在获得②时，问题已转化为熟悉的高考试题：“已知，求证成等差数列”。这正是：“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”。捕捉信息，处理信息的能力显然很重要，试题也给高水平考生留有空间，用数学归纳法完成这一证明更为简洁。（留给读者）

试题(23)符合2005年考试大纲精神：“对数学问题‘观察、猜测、抽象、概括、证明’是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融合的程度越高，显示出的创新意识也越强。

调查中发现许多优秀考生在完成了试题23(Ⅱ)的证明后，在对试题23(Ⅲ)的探索中显得苍白无力，缺乏思维的灵活性。

由(Ⅱ)可得 ， 要证：， 只要证明：

，即只要证： ⑤

这些考生对⑤平方，开始漫长而复杂的运算，走上了“不归路”。

换元，问题就显而易见了。

设

则⑤转化为，

即只要证 ⑥

这里：

⑥成立。

对运算能力，2005年考试大纲特别强调了在“运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”，换元，就是调整运算的第一步！Ⅲ的难度低于去年，也缺少引人入胜的创意。

由此，我深深感到二个遗憾。第一，优秀学生的数学能力、数学素质还不令人满意，思维的灵活性到哪里去了？应引起我们深深地思考。第二，试题23(Ⅲ)没有“迷人的风光”，对高层次理性思维的考查显得缺乏深度。它应该体现，数学的选拔功能与力量，应该体现数学是人类智慧的最高成就，是人类心灵的最独特的创作，应该让优秀的、高水平的数学考生永远记住这“迷人的风光”。

3 关注课改，体现数学文化

我省义务教育阶段的课程改革已进行了三年，下半年，全省高中课改又将全部进入，新高一全部试用新课标教材。试卷注意了即将启用的新教材，加大了对前几年为新教材作过渡（准备）而新增的内容（导数，向量，概率等）的考查力度。

如试题（12）强调了数学的操作性、实践性。试题（16）考查了估算的能力。新课改对估算、算法有明确要求。试题（17）要求考生深刻体会向量的基本概念。试卷将解析几何放在解答题第一题位置，“削弱”了解析几何的地位，或许这与新课标教材必修部分不含圆锥曲线有关。试题（20）考查了新增内容“概率”的应用问题。试题（22）要求考生对新增内容“导数”有更高层面地认识和应用。19题至23题5个大题中，有2题为前几年新增的内容。另外，第21题也为新教材留有空间。这充分反映命题组已作了认真研究，精心设计，为新课改的实施起了积极地引领作用。试卷似春风，大江两岸的高中课改一定会出现生机勃勃的景象。

试题21（Ⅲ）用向量方法，可有效简化运算过程，但要求考生有较强的有图想像和无图想像的能力。篇幅有限，解答从略。

作为文化的数学，它应该给学生的心灵留下些什么呢？试卷在注重选拔功能的同时，关注新课改的理念，体现数学文化。

首先体现了人文精神。作为文化的数学，其教育是塑造健全人格的教育，应该关心他人，热爱社会……试卷在试题（9）、试题（20）中三次用加点号提醒考生，防止阅题太快而犯低级错误（即非数学原因犯错），让考生感受到人文关怀。

在应用题的命题上如试题（12）、试题（20）简单明了，尽可能让考生在较短时间内理解题意，也尽可能不要让考生是由于题中若干信息表达不太贴近考生，产生一些歧义而失分。一流的数学大师总在提醒人们：简单就是美。希尔伯特的二十三个著名问题，每一个的表达都是简洁明快！那种拖泥带水，题干冗长，牵强附会，编造痕迹明显的应用题该退出舞台了！它是对数学的污辱。它不是让学生欣赏数学的风光美景，除了让学生讨厌数学，它还有什么功能？近几年，全国的高考卷均重视这一问题，掌握一个原则，没有优秀的应用题，试卷宁可空缺这一内容。因此，我们要加强学习，深刻领会数学的本质。正确认识数学在人类社会的发展中起着重要的作用，它始终关注社会，它与人类文明的联系应用是积极的，多层面的。因此，教学中要注重培养学生关注社会、勇于创新的精神，注重培养学会数学地思维，使学生深刻理解数学的应用之美，而不是片面的将“应用”作为热点问题“大讲特讲”，努力使课堂教学充满生命活力。

在体现数学的科学价值、数学思想和品德教育方面（心理品质），试题（22）是一个典型的考题，我们不妨品味一下。

试题（22）已知 函数

(Ⅰ)当时，求使成立的的集合；

(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.

Ⅰ略

对于(Ⅱ)小题，要求考生有较强的转化意识。由于()==（在策略上，标准答案是先讨论的范围），作出()的图象问题便驾轻车熟。

如何作出()=的图象是问题关键，而作的图象考生十分熟悉。

函数()的零点为，为此，对讨论：

当＞0时，

由可得()的草图为

则的草图为

由

故在＜0时最小值为

当时，得，

()的草图为

故的草图为

∵

由上图，当0＜时，在上逆增，故

当1＜时，如图（4），

当＞2时，由于＞＞1

由图（4）函数在，或时取最小值

当 即时，

时，y取最小值

即时，

当时，

综上，所求函数的最小值

上述探索的过程，要求考生能较高水平地运用分类讨论的思想。“分类讨论”是一种哲学思想，科学合理运用，使问题的分析有序化、简单化。其次，要求考生掌握导数这一新增的微积分中的精华部分在函数等方面的应用。在运用函数思想、转化思想、分类讨论思想的过程中，“明智的克制”，“理智的诚实”这一心理品质也很重要，考生要及时修改自己在分类讨论中的错误（或不合理的部分），在逆境中要冷静地分析问题，把握全局，抓主要矛盾的主要方面，不断绕过障碍，从而走向胜利的彼岸。

“美就是真，真就是美”。2005年江苏卷在体现数学基础，体现数学能力，体现课改精神与数学文化方面作了成功地探索。春风又绿江南岸，我们相信，2005年江苏卷必将对新课程背景下数学教学的改革起到导向，并产生深远的影响！

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e9ea5c5865ec102de2bd960590c69ec3d4bbdb72.html