2019届神州智达高三诊断性大联考(二)(质检卷Ⅱ)数学(文)试题
一、单选题
1.已知集合
A.
【答案】A
【解析】分别求出集合
【详解】
解:由已知得
故选:A
【点睛】
考查集合的运算,是基础题.
2.已知
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】求出复数,然后根据复数的几何意义判断即可.
【详解】
解:
故
故选:A
【点睛】
考查复数的运算及其几何意义,是基础题.
3.某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下面叙述正确的是
A.乙的记忆能力优于甲的记忆能力
B.乙的创造力优于观察能力
C.甲的六大能力整体水平优于乙
D.甲的六大能力中记忆能力最差
【答案】C
【解析】从六维能力雷达图中我们可以得到甲的各种能力的大小、乙的各种能力的大小以及甲、乙的各项能力的大小关系等,从而可判断A,B,D.而整体水平的优劣取决于六种能力的数字之和的大小,计算可得孰优孰劣.
【详解】
从六维能力雷达图上可以得到甲的记忆能力优于乙的记忆能力,故A错.
乙的创造力为3,观察能力为4,乙的观察能力优于创造力,故B错.
甲的六大能力总和为
故甲的六大能力整体水平优于乙,故C正确.
甲的六大能力中,推理能力为3,为最差能力,故D错.
综上,选C.
【点睛】
本题为图形信息题,要求不仅能从图形中看出两类数据之间的差异,还要能根据要求处理所给数据.
4.在
A.
【答案】C
【解析】先把
【详解】
解:
故选:C
【点睛】
考查向量的线性运算和中点向量公式,是基础题.
5.已知
A.
【答案】C
【解析】根据
【详解】
解:由
得
又由
故选:C
【点睛】
考查等差数列的有关运算,是基础题.
6.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数
A.
【答案】D
【解析】根据题意,列表表示两次出现的点数情况,然后找出满足
【详解】
解:根据题意,列表表示两次出现的点数情况:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | ||||||
2 | ||||||
3 | ||||||
4 | ||||||
5 | ||||||
6 | ||||||
共
则
故选:
【点睛】
考查古典概型的概率运算,是基础题.
7.已知
A.
【答案】A
【解析】根据
【详解】
解:若
则
又
故选:A
【点睛】
考查双曲线的性质及有关运算,是基础题.
8.已知函数
A.
【答案】D
【解析】先根据
【详解】
解:函数
故当
故选:D
【点睛】
考查奇函数的性质及曲线在某一点处的切线斜率的求法,是基础题.
9.立体几何中,用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.已知正方体
A.
【答案】D
【解析】先判断出正方体的内切球直经就是其棱长,显然截面面积最大是对角面.
【详解】
解:当截面为正方体的对角面时,截面面积最大,
由已知得正方体棱长为
故选:D
【点睛】
考查正方体的截面问题的有关计算,是基础题.
10.已知函数
A.
【答案】A
【解析】根据
【详解】
解:由函数
知函数
由
知
由题意得
故满足题意的
故选: A
【点睛】
考查
11.如图,在三棱锥
A.
C.
【答案】C
【解析】根据
【详解】
解:
由题意可知,
设三棱锥外接球的半径为
则
故选:C
【点睛】
本题考查三条侧棱两两互相垂直的三棱锥的外接球的表面积的求法,三条侧棱两两互相垂直的三棱锥可以由长方体分割得到,这样便于理解,本题是基础题.
12.已知函数
A.
【答案】B
【解析】作出函数
由图可知
点睛:本题考查函利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,数零点的判定,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,较难; 作出函数的图象,可知
二、填空题
13.已知函数
【答案】
【解析】先求
【详解】
解:
【点睛】
本题考查偶函数的有关性质,是基础题.
14.已知点
【答案】
【解析】先画出可行域,然后表示出
【详解】
由约束条件作出可行域如右图阴影部分所示,
当直线
【点睛】
考查线性规划的有关知识,是基础题.
15.已知数列
【答案】
【解析】先表示出
【详解】
解:由己知得,
因为数列
所以
故答案为:4.
【点睛】
已知等比数列求其中参数,考查等比数列的性质,是基础题.
16.已知点
【答案】
【解析】表示出直线
【详解】
解:由题意得
设直线
由
故
因此过
同理过
因此
则
且
故线段
故答案为:
【点睛】
本题考查抛物线的性质、曲线上过某一点的切线的斜率的求法及基本不等式的应用,是中档题.
三、解答题
17.已知
(1)求角
(2)若
【答案】(1)
【解析】由
由
【详解】
解:由正弦定理得,
由余弦定理,得
则
又
又由余弦定理,得
【点睛】
本题主要考查正、余弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,属于中档题.
18.炼钢是一个氧化降碳的过程,由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
104 | 180 | 190 | 177 | 147 | 134 | 150 | 191 | 204 | 121 | |
100 | 200 | 210 | 185 | 155 | 135 | 170 | 205 | 235 | 125 | |
10400 | 36000 | 39900 | 32745 | 22785 | 18090 | 25500 | 39155 | 47940 | 15125 | |
(1)据统计表明,
(2)建立
(3)根据(2)中的结论,预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.
参考公式:回归方程
参考数据:
【答案】(1)可以认为
【解析】(1)代入公式计算r,再作判断,(2)根据数据计算
【详解】
(1)由题得
(2)
所以回归方程为
(3)当
即大约需要冶炼172min
【点睛】
函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关,则直接根据用公式求
19.在如图所示的四棱锥
(1)证明:
(2)若
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(1)由正三角形的性质可得
详解:(1)证明:取
∵底面
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∵
∴
(2)法一:设
在正三角形
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
法二:设
在正三角形
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
连接
∵在
∴由余弦定理得
∴在
点睛:解答空间几何体中垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化,转化时要正确运用有关的定理,找出足够的条件进行推理;证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论
20.已知椭圆
(1)求椭圆
(2)记
【答案】(1)
【解析】根据椭圆
分两种情况:
【详解】
解:
解得
故椭圆
此时
当直线
设其方程为
显然直线
联立
故
因为
故
故
故
故
点
令
故
故
【点睛】
知识:椭圆方程、韦达定理的应用、直线和椭圆的位置关系及弦长公式的求解、求函数的最值的方法等.能力:考查了逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.是难题.
21.已知函数
(1)当
(2)已知当
【答案】(1)
【解析】(1)把
(2)构造新函数
【详解】
解:
当
令
令
所以
所以函数
因为
又因为
所以
所以当
所以函数
所以有
当
所以函数
所以
综上,
【点睛】
知识:利用导数求函数的单调区间、最值,不等式恒成立求参数的取值范围.能力:推理论证能力、分析问题、解决问题的能力、运算求解能力.试题难度大.
22.已知平面直角坐标系
(1)求曲线
(2)若直线
【答案】(1)曲线
【解析】(1)用公式直接代入即可.
(2)设出
【详解】
解:
即
也就是
即得
即得
故曲线
其轨迹是以
将
化简并整理,得
设
则
因此
故所求的
【点睛】
知识:极坐标方程转化为普通方程和参数方程中参数的几何意义求距离.能力:逻辑思维能力和运算求解能力.中档题.
23.已知函数
(1)当
(2)若函数
【答案】(1)
【解析】(1)根据绝对值不等式解法,分两种情况讨论即可.
(2)把
【详解】
解:
当
当
解得
所以
所以当
所以
若
解得
即实数
【点睛】
知识:考查绝对值不等式的解法和已知两个集合的关系求其中参数.能力:考查运算求解能力和逻辑思维能力.中档题.
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