第一章 概率论的基本概念练习题
1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。
2. 在掷两颗骰子的试验中,事件分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。
3. 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件:
(1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报;
(3)只订一种报; (4)正好订两种报;
(5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报;
(7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅;
(9)三种报纸不全订阅。
4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:, , , , , .
5. 设事件满足,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:,,.
6. 若事件满足,试问是否成立?举例说明。
7. 对于事件,试问是否成立?举例说明。
8. 设,,试就以下三种情况分别求:
(1), (2), (3).
9. 已知,,求事件全不发生的概率。
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口,试求下列事件的概率:“三个都是红灯”=“全红”; “全绿”; “全黄”; “无红”; “无绿”; “三次颜色相同”; “颜色全不相同”; “颜色不全相同”。
11. 设一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意抽取3件(分三种情况:一次拿3件;每次拿1件,取后放回拿3次;每次拿1件,取后不放回拿3次),试求:
(1) (1)取出的3件中恰有1件是次品的概率;
(2) (2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。
12. 从中任意选出3个不同的数字,试求下列事件的概率:
,。
13. 从中任意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数的概率。
14. 一个宿舍中住有6位同学,计算下列事件的概率:
(1)6人中至少有1人生日在10月份;
(2)6人中恰有4人生日在10月份;
(3)6人中恰有4人生日在同一月份;
15. 从一副扑克牌(52张)任取3张(不重复),计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
16. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件,结果不是三等品,求取到的是一等品的概率。
17. 设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件产品中有1件不合格品,求另一件也是不合格品的概率。
18. 为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时,系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下,系统II仍有效的概率为0.85,求
(1) (1)两种报警系统I和II都有效的概率;
(2) (2)系统II失灵而系统I有效的概率;
(3) (3)在系统II失灵的条件下,系统I仍有效的概率。
19. 设,证明事件与独立的充要条件是
20. 设事件与相互独立,两个事件只有发生的概率与只有发生的概率都是,求和.
21. 证明 若>0,>0,则有
(1) (1) 当与独立时,与相容;
(2) (2) 当与不相容时,与不独立。
22. 已知事件相互独立,求证与也独立。
23. 甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
24. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为,(称为元件的可靠性),假设各元件能否正常工作是相互独立的,计算下面各系统的可靠性。
25. 10张奖券中含有4张中奖的奖券,每人购买1张,求
(1) (1)前三人中恰有一人中奖的概率;
(2) (2)第二人中奖的概率。
26. 在肝癌诊断中,有一种甲胎蛋白法,用这种方法能够检查出95%的真实患者,但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录,每10 000人中有4人患有肝癌,试求:
(1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率;
(2)已知某人经此检验法检验患有肝癌,而他确实是肝癌患者的概率。
27. 一大批产品的优质品率为30%,每次任取1件,连续抽取5次,计算下列事件的概率:
(1)取到的5件产品中恰有2件是优质品;
(2) 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品,这5件中恰有2件是优质品。
28. 每箱产品有10件,其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时,从中任取1件,如果检验是次品,则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误,1件正品被误检是次品的概率是2%,1件次品被误判是正品的概率是5%,试计算:
(1)抽取的1件产品为正品的概率;
(2)该箱产品通过验收的概率。
29. 假设一厂家生产的仪器,以概率0.70可以直接出厂,以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂,并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立),求:
(1)全部能出厂的概率;
(2)其中恰有2件不能出厂的概率;
(3)其中至少有2件不能出厂的概率。
30. 进行一系列独立试验,每次试验成功的概率均为,试求以下事件
的概率:
(1)直到第次才成功;
(2)第次成功之前恰失败次;
(3)在次中取得次成功;
(4)直到第次才取得次成功。
31. 对飞机进行3次独立射击,第一次射击命中率为0.4,第二次为0.5,第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6,若被击中三次,则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。
答案:
第一章 概率论的基本概念习题答案
. 1. 解:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)
(正,正),(正,反);(正,正),(反,反)
(正,正),(正,反),(反,正)
2. 解:;
;
;
;;
3. 解:(1); (2); (3);
(4); (5);
(6); (7)或
(8); (9)
4.解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5.
解:如图:
6. 解:不一定成立。例如:,,,
那么,,但。
7. 解:不一定成立。 例如:,,,
那么,但是。
8. 解:
(1);
(2);
(3)。
9. 解:
=
10.
解:
;;
;;
.
11. 解:一次拿3件:
(1); (2);
每次拿一件,取后放回,拿3次:
(1); (2);
每次拿一件,取后不放回,拿3次:
(1);
(2)
12.
解:
;
或
13.
解:
14.
解:
(1); (2);
(3)
15.
解:
或
16.
解:
令“取到的是等品”,
。
17.
解:
令“两件中至少有一件不合格”,“两件都不合格”
18.
解:令“系统(Ⅰ)有效” ,“系统(Ⅱ)有效”
则
(1)
(2)
(3)
19.
证:
:与独立,与也独立。
:
又
而由题设
即
,故与独立。
20.
解:,又与独立
即。
21.
证明:
(1)因为与独立,所以
,与相容。
(2)因为,而,
,与不独立。
22.
证明:因为、、相互独立,
与独立。
23.
解:
令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾,
那么
令表示最多有一台机床需要工人照顾,
那么
24.
解:令“系统(Ⅰ)正常工作” “系统(Ⅱ)正常工作”
“第个元件正常工作”,
相互独立。
那么
25.解:令“第个人中奖”,
(1)
或
(2)
26.解:
令“被检验者患有肝癌”, “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”
那么,
(1)
(2)
27.
解:令“5件中有件优质品”,
(1)
(2)
28.
解:令“抽取一件产品为正品”
“箱中有件次品”,
“该箱产品通过验收”
(1)
(2)
29.解:令“仪器需进一步调试” ;“仪器能出厂”
“仪器能直接出厂” ;“仪器经调试后能出厂”
显然,
那么
所以
令“件中恰有件仪器能出厂”,
(1)
(2)
(3)
30.
解:(1)
(2)
(3)
(4)
31. 解:令“恰有次击中飞机”,
“飞机被击落”
显然:
而,,,
所以
;
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