2015年山东省高考数学试卷（理科）答案与解析

A．

（1，3）

B．

（1，4）

C．

（2，3）

D．

（2，4）

考点：

交集及其运算．

专题：

集合．

分析：

求出集合A，然后求出两个集合的交集．

解答：

解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，

则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．

故选：C．

点评：

本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．

A．

1﹣i

B．

1+i

C．

﹣1﹣i

D．

﹣1+i

考点：

复数代数形式的乘除运算．

专题：

数系的扩充和复数．

分析：

直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．

解答：

解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，

可得z=1﹣i．

故选：A．

点评：

本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．

A．

向左平移单位

B．

向右平移单位

C．

向左平移单位

D．

向右平移单位

考点：

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：

三角函数的图像与性质．

分析：

直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．

解答：

解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，

要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．

故选：B．

点评：

本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．

A．

﹣a2

B．

﹣a2

C．

a2

D．

a2

考点：

平面向量数量积的运算．

专题：

计算题；平面向量及应用．

分析：

由已知可求，，根据=（）•=代入可求

解答：

解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，

∴=a2，=a×a×cos60°=，

则=（）•==

故选：D

点评：

本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题

A．

（﹣∞，4）

B．

（﹣∞，1）

C．

（1，4）

D．

（1，5）

考点：

绝对值不等式的解法．

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．

解答：

解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；

②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；

③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．

综上知解集为（﹣∞，4）．

故选A．

点评：

本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．

A．

3

B．

2

C．

﹣2

D．

﹣3

考点：

简单线性规划．

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

解答：

解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

则A（2，0），B（1，1），

若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，

此时，目标函数为z=2x+y，

即y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，

若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，

此时，目标函数为z=3x+y，

即y=﹣3x+z，

平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为﹣6，不满足条件，

故a=2，

故选：B

点评：

本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．

A．

B．

C．

D．

2π

考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．

解答：

解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，

几何体的体积为：=．

故选：C．

点评：

本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．

A．

4.56%

B．

13.59%

C．

27.18%

D．

31.74%

考点：

正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

专题：

计算题；概率与统计．

分析：

由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．

解答：

解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，

所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．

故选：B．

点评：

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

A．

﹣或﹣

B．

﹣或﹣

C．

﹣或﹣

D．

﹣或﹣

考点：

圆的切线方程；直线的斜率．

专题：

计算题；直线与圆．

分析：

点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．

解答：

解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），

故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．

∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，

∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，

化为24k2+50k+24=0，

∴k=或﹣．

故选：D．

点评：

本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．

A．

[，1]

B．

[0，1]

C．

[，+∞）

D．

[1，+∞）

考点：

分段函数的应用．

专题：

创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：

令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．

解答：

解：令f（a）=t，

则f（t）=2t，

当t＜1时，3t﹣1=2t，

由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2，

在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，

即有g（t）＜g（1）=0，

则方程3t﹣1=2t无解；

当t≥1时，2t=2t成立，

由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；

或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．

综上可得a的范围是a≥．

故选C．

点评：

本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．

考点：

归纳推理；组合及组合数公式．

专题：

推理和证明．

分析：

仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．

解答：

解：因为C=40；

C+C=41；

C+C+C=42；

C+C+C+C=43；

…

照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，

可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；

故答案为：4n﹣1．

点评：

本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．

考点：

命题的真假判断与应用．

专题：

函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．

分析：

求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．

解答：

解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，

可得tanx≤1，所以，m≥1，

实数m的最小值为：1．

故答案为：1．

点评：

本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．

考点：

程序框图．

专题：

图表型；算法和程序框图．

分析：

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当n=3时不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．

解答：

解：模拟执行程序框图，可得

n=1，T=1

满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2

满足条件n＜3，T=1+xdx+x2dx=1+=，n=3

不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．

故答案为：

点评：

本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查．

考点：

函数的值域．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，

解答：

解：当a＞1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是增函数，

所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；

当0＜a＜1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是减函数，

所以解得b=﹣2，a=

综上a+b=，

故答案为；﹣

点评：

本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题

考点：

双曲线的简单性质．

专题：

计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．

解答：

解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，

与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，

取A（，），则=，

∵△OAB的垂心为C2的焦点，

∴×（﹣）=﹣1，

∴5a2=4b2，

∴5a2=4（c2﹣a2）

∴e==．

故答案为：．

点评：

本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．

考点：

正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．

专题：

三角函数的图像与性质；解三角形．

分析：

（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．

（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．

解答：

解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣

=sin2x﹣

=sin2x﹣

由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；

由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；

所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；

（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，

由题意知A为锐角，所以cosA=，

由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，

可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．

因此bcsinA≤，

所以△ABC面积的最大值为．

点评：

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．

考点：

二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

专题：

空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．

分析：

（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；

（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．

解答：

解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，BC=2EF，H为BC中点，EF∥BC；

∴EF∥BH，且EF=BH；

∴四边形EFHB为平行四边形；

∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；

∴BE∥平面FGH；

同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；

又DE∥AB；

∴DE∥GH；

∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；

∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；

∴BD∥平面FGH；

（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；

∵CF⊥平面ABC；

∴HE∥平面ABC，并且HG⊥HC；

∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：

H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；

连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；

∴BG⊥AC；

又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；

∴BG⊥CF，AC∩CF=C；

∴BG⊥平面ACFD；

∴向量为平面ACFD的法向量；

设平面FGH的法向量为，则：

，取z=1，则：；

设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；

∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．

点评：

考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．

考点：

数列的求和．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，从而可得{an}的通项公式；

（Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn．

解答：

解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，

当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，

此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，

所以an=．

（Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=，

当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，

所以T1=b1=；

当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），

所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），

两式相减得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n）=﹣，

所以Tn=﹣，经检验，n=1时也适合，

综上可得Tn=﹣．

点评：

本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．

考点：

离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

专题：

概率与统计．

分析：

（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．

解答：

解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；

（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，

随机变量X的取值为：0，﹣1，1，

当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；

当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即；

当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．

则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，

EX=0×+（﹣1）×+1×=．

点评：

本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程．

专题：

创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；

（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．

解答：

解：（Ⅰ）由题意可知，2a=4，可得a=2，

又=，a2﹣c2=b2，

可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，

（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，

Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，

又+=1，即（+y02）=1，

所以λ=2，即||=2；

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①

则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，

由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），

则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•

=2，设=t，则S=2，

将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

由△≥0可得m2≤1+4k2，②

由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，

即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，

由（i）知，△ABQ的面积为3S，

即△ABQ面积的最大值为6．

点评：

本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．

考点：

利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．

专题：

创新题型；导数的综合应用．

分析：

（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．

（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．

（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．

（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．

（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．

（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；

（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出

解答：

解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．

=．

令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．

（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．

（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．

①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．

②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．

∵x1+x2=，

∴，．

由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．

∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

因此函数f（x）有两个极值点．

（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得﹣1＜x1．

∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

因此函数f（x）有一个极值点．

综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；

当0≤a时，函数f（x）无极值点；

当a0时，函数f（x）有两个极值点．

（II）由（I）可知：

（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

∵f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．

（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

又f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．

（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，

∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．

又f（0）=0，

∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；

（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．

因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，

可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，

ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．

点评：

本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．