二次函数的图像与性质
一、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.的性质：
上加下减。
3.的性质：
左加右减。
4.的性质：
二、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标
；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到
处，具体平移方法如下：
word/media/image23_1.png
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿
轴平移:向上（下）平移
个单位，
变成
（或
）
⑵沿轴平移：向左（右）平移
个单位，
变成
（或
）
三、二次函数与
的比较
从解析式上看，与
是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
，其中
．
四、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式
，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
轴的交点
、以及
关于对称轴对称的点
、与
轴的交点
，
（若与
轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与
轴的交点.
五、二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为
，顶点坐标为
．
当时，
随
的增大而减小；当
时，
随
的增大而增大；当
时，
有最小值
．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为
，顶点坐标为
．当
时，
随
的增大而增大；当
时，
随
的增大而减小；当
时，
有最大值
．
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（
，
，
为常数，
）；
2. 顶点式：（
，
，
为常数，
）；
3. 两根式：（
，
，
是抛物线与
轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，
作为二次项系数，显然
．
⑴ 当时，抛物线开口向上，
的值越大，开口越小，反之
的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，
的值越小，开口越小，反之
的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，
的正负决定开口方向，
的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，
决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，
，即抛物线的对称轴在
轴左侧；
当时，
，即抛物线的对称轴就是
轴；
当时，
，即抛物线对称轴在
轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，
，即抛物线的对称轴在
轴右侧；
当时，
，即抛物线的对称轴就是
轴；
当时，
，即抛物线对称轴在
轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，
决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴
在
轴左边则
，在
轴的右侧则
，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与
轴的交点在
轴上方，即抛物线与
轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与
轴的交点为坐标原点，即抛物线与
轴交点的纵坐标为
；
⑶ 当时，抛物线与
轴的交点在
轴下方，即抛物线与
轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与
轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
八、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
2. 关于轴对称
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是
；
关于原点对称后，得到的解析式是
；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是
；
关于顶点对称后，得到的解析式是
．
5. 关于点对称
关于点
对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数图像参考：
word/media/image77_1.png
word/media/image78_1.png
word/media/image79_1.png
word/media/image80_1.png
word/media/image81_1.png
word/media/image82_1.png
十一、
【例题精讲】
一、一元二次函数的图象的画法
【例1】求作函数的图象
【解】
以为中间值，取
的一些值，列表如下：
【例2】求作函数的图象。
【解】
先画出图角在对称轴的右边部分，列表
【点评】画二次函数图象步骤：
(1)配方； (2)列表；
(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质
【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】
由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为
；
∴当
时，
函数在区间上是减函数，在区间
上是增函数。
【例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值。
，
∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为
∴当
时，函数取得最大值
函数在区间上是增函数，在区间
上是减函数。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例3
(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：
【二次函数题型总结】
1.关于二次函数的概念
例1 如果函数是二次函数，那么m的值为 。
例2 抛物线的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。
2.关于二次函数的性质及图象
例3 函数的图象如图所示，
则a、b、c，，
，
的符号
为 ，
例4 已知a－b＋c=0 9a＋3b＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在（ ）
（A） 第一或第二象限 （B）第三或第四象限 （C）第一或第四象限 （D）第二或第三象限
3.确定二次函数的解析式
例5 已知：函数的图象如图：那么函数解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4.一次函数图像与二次函数图像综合考查
例6 已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).
例7 如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）（1）求 B、C、D三点的坐标；（2）抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式；
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【练习题】
一、选择题
1. 二次函数的顶点坐标是( )
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）
2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C.
D.
3.函数
和
在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
4.已知二次函数
的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当
和
时,函数值相等;③
④当
时,
的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数
的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于
的一元二次方程
的两个根分别是
（ ）
Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
6. 已知二次函数的图象如图所示，则点
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7.方程的正根的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. B.
C.或
D.
或
二、填空题
9．二次函数的对称轴是
，则
_______。
10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值
随自变量
的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。
12．抛物线的顶点为C，已知直线
过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13. 二次函数的图象是由
的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).
三、解答题：
15.已知二次函数图象的对称轴是
,图象经过(1,-6),且与
轴的交点为(0,
).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?
16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式（0
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.
17.如图，抛物线
经过直线
与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与
轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：
5 ：4的点P的坐标。
一，选择题、
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C
二、填空题、
9． 10．
＜-3 11．如
等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15
三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为,由题意可得
解得 所以
(2)或-5 (2)
16．（1）由已知得，，解得
当
时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，
＝
，可知顶点的横坐标
，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．
17．（1）直线与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则
解得
所以此抛物线解析式为．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与
轴的另一个交点C（－1，0）.设P
，则
.化简得
当＞0时，
得
∴P（4，5）或P（－2，5）
当＜0时，
即
，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ef1b4d22a8956bec0875e346.html
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