四、算术平均数、调和平均数和几何平均数之间有何关系？
1、
证明：现以两个变量值来证明。
2、三种平均数同源于一族。其通式为：
………………………………………..①
（1）当k=1时，即为算术平均数。
（2）当k=2时，即为平方平均数。
（3）当k=3时，即为立方平均数。
（4）当k=0时，即为几何平均数。
证明：当k=0时，①式表现为未定式，即：。对①式列两边取对数，
此式仍属于未定式的情况，我们运用罗比塔法则求极限，得：
即有：
(5) 当k= -1时，即为调和平均数。
即：
3、 n个变量值的证明。
(1)证明：现以n＝4个变量值时，证明。
同样方法可用来证明时，上式也成立。当m＝1，m＝2时，上式显然成立。
当m＝k＋1时，可用数学归纳法证明：
现在假设n不等于2的幂次，我们总可以找到一个适当的自然数r，使得n＋r是2的幂，就是使得：。例如：当n＝5时，可取r＝3，就得
。
这样，对于任何自然数来说，
用不等式两边自乘n＋r次，便有：
(2)
同理：
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