2019年省重点高中自主招生数学试卷及答案

2019年重点高中自主招生考试

数 学 试 题 卷

本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）

1．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则．小刚每天从家骑自行车上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ )

A． B． C． D．

2．若关于x的一元一次不等式组  有解，则m的取值范围为（ ▲　）

A． B． C． D．

3．点M（，），N（，）是所给函数图像上的点，则能使成立的函数是 （ ▲ ）

A． B． C． D．

4．据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克)，那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（ ▲ ）

A．64 B．71 C．82 D．104

5．十进制数2378，记作，其实=，

二进制数1001=．有一个（为整数）进制数，把它的三个数字顺序颠倒得到的进制数是原数的3倍，则=（ ▲ ）

A．10 B．9 C．8 D．7

6．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形PKRF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为2，则△DEK的面积为（ ▲ ）

A．4 B．3 C．2 D．

7．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F。当线段EF最小时，（ ▲ ）

A． B． C． D．

8．二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（ ▲ ）

A． B． C． D．

9．已知，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ABC=30°，∠ADC=45°. 若D是BC边的中点，则∠ACB的度数为（ ▲ ）

A． B． C． D．

10．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=，∠B =，∠AOB=，AB=，BC=，

CD=，DA=，则此四边形的面积为（ ▲ ）（用含，，，的代数式表示）

A． B． C． D．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．已知是64的立方根，是的平方根，则的算术平方根为 ▲ ．

12．直线：，当变化时，原点到这条直线的距离的最大值为 ▲ ．

13．如图，在“镖形”ABCD中，AB= ，BC=16，∠A=∠B=∠C=，则点D到AB的距离为 ▲ ．

14．已知实数满足，，则 ▲ ．

15．AB为半圆O的直径，C为半圆弧的一个三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，则= ▲ ．

16．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB中点，F在线段BC上，且，AF分别与DE、DB交于点M、N．则MN= ▲ ．

三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题12分，第24题14分，满分80分）

17．市种子培育基地用A，B，C 三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广．如图是根据试验数据绘制的统计图：

（1）请你分别计算A，B，C三种型号的种子粒数；

（2）请通过计算加以说明，应选哪种型号的种子进行推广？

18．若实数满足.

（1）求的值； （2）求证：

19．某位市民想为贫困山区的孩子们献一份爱心，准备购买一批书包捐赠给他们．经调查有这样的一批书包，原售价为每只220元．甲商店用如下方法优惠出售：买一只单价为218元，买两只每只都为216元，依次类推，即每多买一只，则所买每只书包的单价均再减2元，但最低不能低于每只116元；乙商店一律按原售价的75%出售．

（1）若这位市民需购买20只书包，应去哪家商店购买花费较少？

（2）若此人恰好花费6000元，在同一家商店购买了一定数量的书包，请问是在哪家商店购买的？数量是多少？

20．如图，在△ABC中，∠BAC=， D是AB上一点，AC=BD，P是CD中点。求证：AP=BC。

21．已知二次函数在（）时的最小值为，最大值为．求的值。

22．如图，Rt△ABC中，∠BAC=，AD是高，P为AD的中点，BP的延长线交AC于E，EF⊥BC于点F。若AE=3，EC=12，试求EF、BC的长。

23．如图①，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，点M为上一动点（不包括A，B两点），射线AM与射线EC交于点F．

（1）如图②，当F在EC的延长线上时，求证：∠AMD=∠FMC．

（2）已知，BE=2，CD=8．

①求⊙O的半径；

②若△CMF为等腰三角形，求AM的长（结果保留根号）．

24．一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，且（为任意正整数），青蛙从开始，经过次跳动的位置依次为，，，……，．

（1）写出一种跳动4次的情况，使，且；

（2）若，，求；

（3）对于整数，如果存在一种跳动次的情形，能同时满足如下两个条件：

①，②+++=2．

求整数被4除的余数．

数学试题参考答案及评分

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

说明：第14题第一空2分，第2空3分

三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题12分，第24题14分，满分80分）

17．（本题6分）

解：（1）A型号种子数为：1500×36％＝540（粒），----------------------------------------- 1分

B型号种子数为：1500×24％＝360（粒）， ------------------------------ 2分

C型号种子数为：1500×（1-36%-24％）＝600（粒），-------------------3分

答：、、三种型号的种子分别有540粒，360粒，600粒 ．

　　 （2）A型号种子发芽率＝×100％≈77.8％．----------------------------------- 4分

B型号种子发芽率＝×100％≈88.9％．---------------------------------- 5分

C型号种子发芽率＝×100％=80％．

∴选B型号种子进行推广． ------------------------------------------- 6分

18．（本题8分）

解：（1）由得，……① --------------------2分

∴，即 ------------------------- 4分

（2）由①得，, ∴，--------------6分

又由题意得，，

∴两边同除以得，，∴，

∴，即 ------------------------- 8分

19．（本题8分）

解：（1）在甲商店购买所需费用：（元）

在乙商店购买所需费用：，应去乙商店购买----2分

（2）设此人买只书包

①若此人是在甲商店购买的

则，解得---------------------------------------4分

当时，每只书包单价为

当时，每只书包单价为不合舍去----------------6分

②若此人在乙商店购买磁，则有，解得不合舍去--------7分

故此人是在甲商店购买书包，买了50只-------------------------------------------------8分

20．（本题8分）

证明：延长AP至点F，使得PF = AP，连结BF，DF，CF--------------------------1分

P是CD中点

∴四边形ACFD是平行四边形，--------------------------------------------2分

∴DF=AC=BF，

DF∥AC，----------------------------------------------------------------4分

∴∠FDA=CAB=60°-------------------------------------------------------5分

∴△BDF是等边三角形-------------------------------------------------6分

可证△ABC≌△BAF ----------------------------------------------------7分

∴AP=AF=BC------------------------------------------------------8分

21．（本题12分）

解：（1）当时，则 ，解得；------------------3分

（2）当时，则，解得（矛盾，舍去）----6分

（3）当时，则，解得，

由，得---------------------------------------------------9分

（4）当时，，所以是一元二次方程的两根，它的两根一正一负，与矛盾，不可能。

综上所述：或， -------------------------------12分

22．（本题12分）

解：延长BA、FE交于点G，

AD是高，EF⊥BC

AD∥EF

△BAP∽△BGE，△BPD∽△BEF----------------------------------2分

----------------------------------------------------3分

P为AD的中点，即AP=PD

EG=EF---------------------------------------------------------------6分

∠GAE=∠EFC=，又∠GEA=∠FEC

△GAE∽△CFE-------------------------------------------------------7分

EF=6--------------------------------------------------------------------9分

EF=EC ，∠EFC=

∠C=

BC== ----------------------------------------------12分

23．（本题12分）

（1）证法一：连结BM

AB是直径，AB⊥CD于E

∠AMB=， -----------------------------------2分

∠CMB=∠DMB

∠AMD=∠FMC．----------------------------------------------------------------4分

证法二：连结AD

AB是直径，AB⊥CD于E

∠AMD=∠ADC--------------------------------------------2分

四边形ADCM内接于⊙O

∠ADC+∠AMC=

∠AMC+∠FMC=

∠FMC=∠ADC

∠AMD=∠FMC．----------------------------------------------------------------4分

（2）①设⊙O的半径为，连结OC

BE=2，CD=8

OE=，CE=4

----------------------------------------------------------------6分

解得： -------------------------------------------------------------------------7分

②由（1）知：∠AMD=∠FMC

同理可得：∠MAD=∠FCM

∠MDA=∠MFC

当FM=MC时，AM=MD

如图①，连结MO并延长交AD于H

则AH⊥AD，AH=HD=2，AO=5

OH=

AM== ----------------------------------9分

当FM=FC时，连结DO并延长交AM于G

此时△AOG≌△DEO

AG=DE=4

AM=8----------------------------------------------------------------------------------11分

当MC=FC时，AM=AD=AC=，此时M、F均与C重合

△CMF不存在---------------------------------------------------------------------------12分

综上所述：AM=8或

24．（本题14分）

解：（1）这样的跳动之一是：0，1，2，1，0（也可以是0，1，0，1，0）-----------2分

（2）从经2013步到达，不妨设向右跳了步，向左跳了步，

则，------------------------------------------------------5分

解得： -----------------------------------------------------------6分

即向左跳动仅一次，若这次跳动在1999次及以前，则=7+1998-1=2004；--------------------------------------------7分

若这次跳动在1999次后，则=7+1999=2006--------------------------------------------------8分

（3）因为这个次跳动的情形，能同时满足如下两个条件：

①，②+++=2．

经过步跳动到达，假设这步中向右跳了步，向左跳了步，

则，（的正整数）--------------------9分

+++=2+（）+（）+

=2+2（）

=2+2（）

=2+2（）

2（+++）=+4（）

2（+++）=+4（）

4（+++

4（+++-------------------------------------------------11分

能被4整除，所以被4除的余数为0或1---------------------------------14分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f3132facb5daa58da0116c175f0e7cd1842518e2.html