第三节 不等式选讲 ( 选修 4-5
考纲解读
1. 了解绝对值的几何意义, 会利用绝对值的定义解不等式, 利用绝对值不等式证明不等式和求最值 . 2. 了解柯西不等式及其几何意义,会用它来证明不等式和求最位 3. 了解基本不等式,会用它来证明不等式和求最值.
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4. 会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式
命题趋势探究
本节内容为新课标新增内容, 是高考选考内容 . 题型以含绝对值的不等式的解法和证明
为重要考点,不等式的应用为次重要考点,不等式证明放在一般位置,难度为中档
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知识点精讲
一、不等式的性质
1. 同向合成
( 1) a ( 2) a ( 3) a
b, b c b,c
d
a
c ;
a c b d ; d
0 ac
bd .
b 0,c
(合成后为必要条件)
2. 同解变形
( 1) a ( 2) a
b b
a c b c 0, ac
c ; bc
0
c
a
0, ac bc ;
( 3) a b 0
1 b
1 a
b 0 .
(变形后为充要条件)
3. 作差比较法
a b
a b 0, a b a b 0
二、含绝对值的不等式
( 1) a
0,| x | a
a x a ; a 0,| x |
a
x a, 或x a
( 2) | a | | b |
a2 b2
( 3) | x a | | x b | c 零点分段讨论
三、基本不等式
( 1) a2 b2
2ab (当且仅当等号成立条件为 a b )
( 2) a
0, b
0, a
2
b 2 ab (当且仅当等号成立条件为 a b );
a 0, b
0, c
0, a b
c
3 abc (当且仅当 a
b
c时等号成立)
3
( 3)柯西不等式
(a2 b2 (c2 d 2 (ac bd 2 (当且仅当 ad bc 时取等号)
a2 b2 c2
d 2
①几何意义: | a b |≤| a || b | | ad bc | ②推广: (a12 a22 当向量 a = ( a1 , a2 ,
an2 ( b12
b22 bn2 ( a1 b1 a2 b