2003年高考数学试卷（全国理）

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2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(理工农医类)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知385a6a4de4b7fb5b1675c26f36b76b2c.png （ ）

A．74be9009964746fd6030af234932cd9d.png B．e0f210f4176042a3530271e0d55036b1.png C．f65374af079059290d94480c74ece7ee.png D．a8d71726a09479ee093ca79e48b6f09a.png

2．圆锥曲线614c5a1a65a8dd82252f6335aef4d6ce.png （ ）

A．dd5cdc42a02c982dd237af52b9965812.png B．f337883ca8c50fbb604aef1091d222aa.png C．18a24279d73dea563a262e77fd4c34d2.png D．10a9e5b11ff452de618631a19ec61432.png

3．设函数ce0692261b7c5604200a1ab4e68720a4.png （ ）

A．（－1，1） B．（－1，+b63148f54c8e3d3cfd0603baae351208.png）

C．fe6782abd227ee2158404b1e40339fd3.png D．7870928f67eb82d85dd61709c4db324b.png

4．函数1f5cc8a451cef1070f5cd652ab10ad92.png的最大值为 （ ）

A．12c23528a899cb3ac176b76655a1f184.png B．c8168f582ccafb1cc49f0ef6d5a66f3b.png C．d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png D．2

5．已知圆3c6874d7a0d32b604d658b83179c3f2c.png的弦长为68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png时，则a= （ ）

A．d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png B．e817de627d14f1cbdfb9318af4ae0a47.png C．c8168f582ccafb1cc49f0ef6d5a66f3b.png D．4bc3c43b38c136cb7a40b233c50b591e.png

6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

A．53186bee022e1b461950c99e4625ccaf.png B．4680c0bc4145727be0baafc7de59c68e.png C．8962633e66ded65a76eb6369ba77388e.png D．afb803af606d99f0d05a181c0c15bf70.png

7．已知方程0b4ace06490cd704acac835c90b94948.png的四个根组成的一个首项为eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png的等差数列，则

fdad65bb4ceb46ad0845ae3cab9381e5.png （ ）

A．1 B．9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png C．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png D．0580caa35cb38096c461dc12b333d6da.png

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为cef30c705f32a49830a1f536c0cf5a43.pngM、N两点，MN中点的横坐标为364884397654caffb3435431929bc5e4.png则此双曲线的方程是 （ ）

A．77067df1ab3821b3a68396523ef837f3.png B．d4a0816948e090011c0b779fc646a3d7.png

C．40b0782eeb1739aac8fc96fa74d00019.png D．d84e59b89977a7d45820155fa669fc41.png

9．函数3639346dee31c9eddc47bf5bc8c85b20.png （ ）

A．8bcfed1ddd8dc15ff5f65737434b0ce3.png B．ed2a4275d24fe2c9fbac02f42982c5d1.png

C．540c823b02ec0a07e0759f7b01993cc6.png D．e68cd5ec3799c8fbf2f587f2fd9db9d5.png

10．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（72c445776f13d228de08050e10ab97b6.png的取值范围是 （ ）

A．1638c26881d6d15973c35e2e16247c2a.png B．e4aeb004915778e71290bd927daee8f5.png C．9625f6cf338e2a41545b3ac16cf2f040.png D．073fb8d8f6d3572d6da978d80bd6ef8e.png

11．d8ce7b6e76263e515841e0ea0a3d86b1.png （ ）

A．3 B．7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png C．6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png D．6

12．一个四面体的所有棱长都为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．331bf0b12546409e15021243132fc7574.png B．431bf0b12546409e15021243132fc7574.png C．342034171783cf99d17b7478a223ece69.png D．631bf0b12546409e15021243132fc7574.png

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．fafd1e6238e9f0ef1c5e1be2fc842a44.png展开式中f81fed6f26bb1667dea76ed572714052.png的系数是 .

14．使2aeadee681dbe6cccf76e48a5a41caf3.png成立的9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的取值范围是 .

15．如图，一个地区分为5个行政区域，

现给地图着色，要求相邻区域不得

使用同一颜色，现有4种颜色可

供选择，则不同的着色方法共有

种.（以数字作答）

16．下列五个正方体图形中，2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为具所在棱的中点，能得出2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png⊥面MNP的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60°，且78a34d09eaf74d03a598186ef75d8408.png是425a78d383c3e5e5f9f095de1d5c5115.png和9ef6a66a3a3070787cc55b97f1e1aad7.png的等比中项. 求425a78d383c3e5e5f9f095de1d5c5115.png.

18．(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.

19．（本小题满分12分）

已知caa396f82d3c84efc2849c13a0600a6c.png 设

P：函数f186ebdb3a38a05092385beb4c12e207.png在R上单调递减.

Q：不等式61ef9b127f1a3e50521549b9482c4bbe.png的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的取值范围.

20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南946eeadb36f65f8b5e84c74f47659944.png方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21．（本小题满分14分）

已知常数904dbe7d83b40f0c7990781c1373b9c0.png在矩形ABCD中，AB=4，BC=40cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且2bec7b9d3c105cdd209f0ee742a319ea.png，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）设af8d1f7409deedc22c2f56b01bb1f45e.png中所有的数从小到大排列成的数列，

即213ab94f0052e4ff7508370e19e5bd90.png

将数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

5 6

9 10 12

— — — —

— — — — —

（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i）求486338e933b3145b566c578a9ce25952.png.

（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）

设6ebc329e9e87df4fc4aef30e73444ece.png中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知a00187756af8804dbf45e9a48ee9b93d.png

绝密★启用前

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数 学(理工农医类)答案

一、选择题

1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A

二、填空题

13．beced682ae6ebce4cd53dd664c010b2a.png 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤

三、解答题：

17． 解：设d206f71279d4807fa614b59c9204d8ee.png，则复数56e5ccf653f2f35b33d398faa0d7b133.pngef740061a993cf0eec35239e8fec847b.png由题设

d64e7e2ca1243298e54b1a308c4a79c9.png

18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

48b389d96e9bb2a62b0ff97b6011a95c.png

（Ⅱ）解：afccc79474c6109ea1488a069daa618e.png

e47fe8485cb0c1d5b602fb47d673a6e7.png

19．

解：函数f186ebdb3a38a05092385beb4c12e207.png在R上单调递减8362f399d06a18d538da4ede1b4b8d24.png

不等式a8db41b6dd862274ad10981a961c3112.png

eaf80c1f385ca7af419cc64b01d50b49.png

20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：（1）台风中心P（959a3285040ec571587840d4ec6d2d09.png）的坐标为b1b7401e020fc2b4419d3cba715d6f59.png

此时台风侵袭的区域是c9bb31c285323594184be5484eddf0a1.png

其中0d30dc823595e1c74e3c1fd884348cec.png若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

10c527ae5fe705c0ab9f95fa973e6cb4.png即0555c9e233be9b4855877ff6ed329253.png

ae3f5219e77d990085b3f55e898e46b0.png

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设8c3f892931b88234e29d71bdbfe9138d.png

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：4b610a5ebc160178046b026d2814b5ec.png①

直线GE的方程为：c5a1b37eea63ec4b27fb71418ff1ac7d.png②

从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程7b683bd816f61cec287e9955d9342da6.png

整理得8e836c76036babdc4b4ce4b88d0ea7c9.png 当a204babfafb31bcc468dfab422b22db8.png时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当ba09ecb9ff37700ad34a8422877a4738.png时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。

当9a0698840eae33eeaa605bd2c6b2136b.png时，点P到椭圆两个焦点（d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的距离之和为定值d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png。

当96edfc41632b728a7620ecd6fc1bb3c2.png时，点P 到椭圆两个焦点（0，09cda698db4bb206b4d543c442c1c219.png 的距离之和为定值20cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png.

22．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48

（i i）解：设8497926f60b0319e7f16f8e31952927e.png，只须确定正整数a6266832bf401bb211bdb0cef4a67641.png

数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png中小于193d66f5e2eaadca91ac10d2b7919282.png的项构成的子集为 8d49dc22b11f49b3a3b5977e51035c69.png

其元素个数为984f82cc7cdd1253add3e8d70fcf8a60.png满足等式的最大整数6d523d2156a1f903c9cd55ab12627d5f.png为14，所以取dc8957541e720664e959420ea608780d.png

因为100－bd495ed3331c4fe3eaeeb3896020e942.png

（Ⅱ）解：226c236647a87d1fde6969f39ca2df6e.png令41157d5f7a9eb0da4a769ad47e64f536.png

因453e2b0827b26cc55b7c4bcae1e2a4fe.png

现在求M的元素个数：fc5387826b1bcbe96132a1aa66f39ec7.png

其元素个数为78e32d7aba6e55057fcd3c11f9279ade.png： 7bdd33d20efc38c701098d6486a938a9.png

某元素个数为ab742c9eee937e5a1a38e7b8e1e2399f.png

某元素个数为b3a8eadcc9722e0d5e9dd131973fc789.png

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f4f6002f534de518964bcf84b9d528ea81c72fa8.html