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水流问题数学建模

发布时间：2020-04-03 来源：文档文库

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估计水塔的水流量
1问题提出
某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供．水塔高12.2米，直径17．4米．水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每大水泵工作两次．现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率．按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8．2米时，水泵自动启动加水；当水位升；高到一个最高水位，约10．8米时，水泵停止工作．
可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率．表4．2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录时刻（t）0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 /h 水位（t）9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686 /m 时刻（t）7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 /h 水位（t）8.525 8.388 8.220 —— —— 10.820 10.500 /m 时刻（t）12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 /h 水位（t）10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 /m 时刻（t）19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908 /h 水位（t）8.433 8.220 —— 10.820 10.591 10.354 10.180 /m 试建立合适的数学模型，推算任意时刻的用水率、一天的总用水量和水泵工作功率．
2问题分析与数据处理
由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t，又称水流速度．如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f(t在若干个点的函数值，则f(t的计算问题就可以转化为插值问题．
1．假设
1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响．
2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时
3）水塔为标准圆柱体．
考虑到假设2）结合表4．2中具体数据，推断得出 4）水泵第一次供水时间段为［8．967，10．954］，第二次供水时间段为「20．839，22．958］．

2．体积计算
4近似地取3.141592654。得到不同时刻水塔中水的体积如表4.3 时刻0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 （t）/h 体积2301.1 2254.0 2213.3 2169.8 2135.8 2095.9 2065.4 (t 时刻7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 （t）/h 体积2027.1 1994.6 1954.6 —— —— 2572.9 2496.8 (t 时刻12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 （t）/h 体积2427.8 2362.7 2295.4 2237.3 2182.9 2121.3 2059.7 (t 时刻19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908 （t）/h 体积2005.3 1954.6 —— 2572.9 2518.4 2462.0 2420.7 (t 3．水流速度的估算
水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数（微商）由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只有一个离散的函数值表4．3，因此考虑用差商代替微商，这也是离散反映连续的常用思想．为提高精度，采用二阶差商，即f(ti2vi
水塔是一个圆柱体，体积为VD2h．其中D为底面直径，h为水位高度。具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差商．
中心差商公式
向前和向后差商公式
时刻（t）0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 /h 51.1204 流速47.6041.5038.2236.4434.6833.88(t/ m/s 90 72 42 74 95 58 时刻（t）/h 流速(t/ m/s 时刻7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 34.9411 12.954 36.9837 13.875 38.4487 14.982 —— ——
70.5862 72.5251 19.037 15.903 16.826 17.931
（t）/h 流速(t/ m/s 72.7683 65.3094 61.7918 60.9942 22.958 57.2190 23.880 55.7095 24.986 57.2190 25.908 时刻19.959 20.839 22.015 （t）/h 58.3251 57.5553 ——
流速(t/ m/s 59.0599 54.6395 48.1906 44.8752 3模型建立与求解
模型及计算结果
问题已经转变为根据流速f(t的一个函数值表，产生函数f(t在整个区间（二十四小时）上的函数或函数值，插值和拟合是两种最常用的方法．如果建立拟合模型，需要根据散点图的趋势，选择适当的拟合函数形式．如果采用插值模型，可以考虑分段线性插值。三次样条插值等等．
MATLAB程序： functionwater_tower D=17.400;
t1=[00.9211.8432.9493.8714.9785.9007.0067.9288.967];
t2=[10.95412.03212.95413.87514.98215.90316.82617.93119.03719.95920.839];
t3=[22.95823.88024.98625.908]; t4=[9.98110.925]; t5=[22.015];
stage1=[9.6779.4799.3089.1258.9828.8148.6868.5258.3888.220]; stage2=[10.82010.50010.2109.9369.6539.4099.1808.9218.6628.4338.220]; stage3=[10.82010.59110.35410.180]; stage=[stage1stage2stage3]; t=[t1,t2,t3]; n1=length(t1; v1=zeros(1,n1; v1=pi/4*D^2*stage1; n2=length(t2; v2=zeros(1,n2; v2=pi/4*D^2*stage2; n3=length(t3; v3=zeros(1,n3; v3=pi/4*D^2*stage3; dv1=-gradient(v1,t1; dv2=-gradient(v2,t2;

dv3=-gradient(v3,t3; dv=[dv1dv2dv3]; t=[t1t2t3];
tt=min(t:0.001:max(t; s=interp1(t,dv,tt,'spline'; plot(t,dv,'k+',tt,s,'r'; time=input('ê?è?ê±??'; speed=interp1(tt,s,time; disp('′?ê±á÷?ù?a￡o'; disp(speed;
total=0.001*trapz(s; disp(sum(total; disp('???ùó???á?￡o'