中考数学考点归纳总结(42个考点)

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中考数学考点归纳总结

考点一:实数及有关概念
一.实数的分类:
正有理数有理数有限小数和无限循环小数.负有理数实数

正无理数无理数无限不循环小数.负无理数
注意:在理解无理数时,要注意“无限不循环”,归纳起来有四类:1)开方开不尽的数,如332等;
2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;4)某些三角函数,如sin60o二.绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|0。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a0;若|a|=-a,则a0
三.相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零).从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如ab互为相反数,则有a+b=0a=-b,反之亦成立。
四、倒数
如果ab互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1-1。零没有倒数。
五、科学记数法和近似数1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2.科学记数法

3
2等;

科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1|a|10n为整数.确n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
六、平方根
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。正a的平方根记做“a
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“a正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
a(a0
a2a
a(a0七、立方根
如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:3a3a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点二:实数的计算
一.实数大小的比较1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。2)求差比较:设ab是实数,ab0ab,ab0ab,

ab0ab
3)求商比较法:设ab是两正实数,
aaa
1ab;1ab;1ab;bbb
4)绝对值比较法:设ab是两负实数,则abab5)平方法:ab是两负实数,则a2b2ab二、实数的运算
1、加法交换律abba
2、加法结合律(abca(bc3、乘法交换律abba4、乘法结合律(abca(bc
5、乘法对加法的分配律a(bcabac6、实数的运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。三、非负数的性质1a02a203a0(a0
4、如果几个非负数的和等于零,那么这几个非负数都同时等于零.
考点三:整式及其运算
一、单项式:
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,所有字母指数的和叫做单项式的次数,数字因数叫做单项式的系数.单独的数、字母也是单项式.
二、多项式:
由几个单项式组成的代数式叫做多项式,多项式里次数最高的项的次数叫做

这个多项式的次数,其中不含字母的项叫做常数项.
三.整式:
单项式和多项式统称为整式.四.同类项:
多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.五.幂的运算法则
(1同底数幂相乘:am·anamn(mn都是整数,a0(2幂的乘方:(amnamn(mn都是整数,a0(3积的乘方:(abnan·bn(n是整数,a0b0(4同底数幂相除:am÷anamn(mn都是整数,a0六.整式乘法
单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数一起作为积的一个因式.
单项式乘多项式:m(abma+mb
多项式乘多项式:(ab(cdac+ad+bc+bd七.乘法公式
(1平方差公式:(a+b(a-b=a2-b2(2完全平方公式:(a±b2=a2±2ab+b2八.整式除法
单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式,将这个多项式的每一项分别除以这个单项式,然后把所得的商相加.

考点四:因式分解
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法
1)提公因式法:abaca(bc2)运用公式法:a2b2(ab(ab
a22abb2(ab2a22abb2(ab2
3)分组分解法:acadbcbda(cdb(cd(ab(cd4)十字相乘法:a2(pqapq(ap(aq3、因式分解的一般步骤:
1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式。
2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的项数:2项式可以尝试运用公式法分解因式;3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式;4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
3)分解因式必须分解到不能再分解为止,每个因式的内部不再有括号,且同类项合并完毕,若有相同因式写成幂的形式,这样才算分解彻底;
4)注意因式分解中的范围,如x4-4=x2+2x2-2)在实数范围内分解因式,继续进行分解:x4-4=x2+2x2-2=x2+2x+2(x-2,题目不作说明,表明是在有理数范围内因式分解.
5)分解要彻底。作为结果的代数式的最后运算必须是乘法;要分解到每个因式都不能再分解为止,每个因式的内部不再有括号,并且同类项合并完毕,若有重因式应写成幂的形式.这些统称分解彻底.

考点五:分式及其计算
1、分式的概念
一般地,用AB表示两个整式,A÷B就可以表示成有字母,式子
A
的形式,如果B中含B
A
就叫做分式。其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分B

式和整式通称为有理式。
B0时,分式分式
A
的值等于0.B
AA
有意义,当B=0时,分式无意义;当A=0B0BB
2、分式的性质1)分式的基本性质:
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
AA×MAA÷M
用式子表示为:(M是不等于零的整式
BB×MBB÷M2)分式的变号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。3、分式的运算法则
acacacadad;;bdbdbdbcbc
anan
(n(n为整数;bbabab;cccacadbc

bdbd
4.最简分式
如果一个分式的分子与分母没有公因式,那么这个分式叫做最简分式.5.分式的约分、通分
把分式中分子与分母的公因式约去,这种变形叫做约分,约分的根据是分式的基本性质.
把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式,这种变形叫做分式的通分,通分的根据是分式的基本性质.通分的关键是确定几个分式的最简公分母.
6.分式的混合运算
在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算.若有括号,先算括号里面的.灵活运用运算律,运算结果必须

是最简分式或整式.
7.分式的化简求值
分式的化简求值题要先化简,再求值.通常情况下有两种情况:一是把字母的值代入化简后的最简分式或整式求值;二是用整体思想,把代数式的值整体代入化简后的最简分式或整式求值.

考点六:二次根式
1、二次根式
式子a(a0叫做二次根式,二次根式必须满足:含有二次根号“被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式
若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质1(a2a(a0

0a(a
2a2a
a(a03abab(a0,b04
aa
(a0,b0bb

5、二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)

考点七:整式方程(组)及应用
一、一元一次方程的概念1、方程
含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质
1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方
0x为未知数,a0程,其中方程axb叫做一元一次方程的标准形式,a
未知数x的系数,b是常数项。
.一元二次方程1、一元二次方程
含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式
ax2bxc0(a0,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x的二次
多项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。
三、一元二次方程的解法

1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(xa2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知,xab的平方根,当b0时,xabxab,当b<0时,方程没有实数根。
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式
a22abb2(ab2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有x22bxb2(xb2
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax2bxc0(a0的求根公式:
bb24ac2
x(b4ac0
2a
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
四、二元一次方程组1、二元一次方程
含有两个未知数,并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方.
2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
两个(或两个以上)二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。

4二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法1)代入法(2)加减法6、三元一次方程
把含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组
由三个(或三个以上)一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组。

考点八:一元二次方程
一元二次方程及有关概念
1.一元二次方程:只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.
2.一般形式:ax2+bx+c=0(其中abc为常数,a0,其中ax2bxc分别叫做二次项、一次项和常数项,ab分别称为二次项系数和一次项系数.
3.一元二次方程必须具备三个条件:(1必须是整式方程;(2必须只含有1个未知数;(3所含未知数的最高次数是2.
【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a0.因为当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.
4.一元二次方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
二、一元二次方程的解法:
解一元二次方程的基本思想——转化,即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.
直接开平方法;配方法;公式法;因式分解法.三、一元二次方程的根的判别式

对于一元二次方程ax2bxc0(a0(1b24ac0方程有两个不相等的实数根;(2b24ac0方程有两个的实数根;(3b24ac0方程没有实数根.四、一元二次方程的根与系数的关系
b
若一元二次方程ax2bxc0(a0的两根分别为x1x2则有x1x2
a
cx1x2
a
五、一元二次方程的应用
1.列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题的步骤相同,即审、设、列、解、验答五步.
2.列一元二次方程解应用题中,经济类和面积类问题是常考类型,解决这些问题应掌握以下内容:
(1增长率等量关系:A.增长率=
增长量
×100%
基础量
B.a为原来量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+mn=b;m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量时,则有a(1-mn=b.
(2利润等量关系:A.利润=售价-成本;B.利润率=利润成本×100%.(3面积问题
考点九:分式方程
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”它的一般解法是:1)去分母,方程两边都乘以最简公分母

2)解所得的整式方程
3验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法:
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。

考点十:方程(组)的应用
1列方程(解应用题的一般步骤(1审题;(2设未知数;
(3找出包含未知数的等量关系式;(4列出方程(组;(5求出方程(组)的解;(6检验并作答.2.各类应用题的等量关系(1行程问题:路程=速度×时间;相遇问题:两者路程之和=全程;
追及问题:快者路程=慢者先走路程(或相距路程+慢者后走路程.(2工程问题:工作量=工作效率×工作时间.3)几何图形问题
面积问题:体积问题还有其他几何图形问题:如线段、周长等4)增长率问题:
如果基数用a表示,末数用A表示,x表示增长率,时间间隔用n表示,那么增长率问题的数量关系表示为:a(1±xn=A
(5利润问题利润=销售价-进货价

利润率=
利润

进货价
销售价=1+利润率)×进货价6)利息问题利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息
考点十一:一元一次不等式(组
一、不等式的概念1、不等式
用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。3、用数轴表示不等式的方法二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念
一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤:
1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化1
四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
2利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
考点十二:位置与坐标
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。2、点的坐标的概念
点的坐标用ab表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当ab时,ab)和(ba)是两个不同点的坐标。

3、各象限内点的坐标的特征P(x,y在第一象限x0,y0P(x,y在第二象限x0,y0P(x,y在第三象限x0,y0P(x,y在第四象限x0,y04、坐标轴上的点的特征
P(x,yx轴上y0x为任意实数P(x,yy轴上x0y为任意实数
P(x,y既在x轴上,又在y轴上xy同时为零,即点P坐标为005、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征P(x,y在第一、三象限夹角平分线上xy相等P(x,y在第二、四象限夹角平分线上xy互为相反数6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。7、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数8、点到坐标轴及原点的距离1)点P(x,yx轴的距离等于y2)点P(x,yy轴的距离等于x3)点P(x,y到原点的距离等于x2y29、点的平移
P(x,y沿x轴向右(或向左)平移m个单位后对应点的坐标是x±m,yP(x,y沿y轴向上(或向下)平移n个单位后对应点的坐标是(x,y±n.



考点十三:一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果ykxbkb是常数,k0,那么y叫做x的一次函数。特别地,当一次函数ykxb中的b0时,ykxk为常数,k0这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线;一次函数ykxb的图像是经过点0b)的直线;正比例函数ykx的图像是经过原点(00)的直线。
kb与函数图象所在象限:
y=kx(即b等于0yx成正比,此时的图象是是一条经过原点的直线k>0时,直线必通过一、三象限,yx的增大而增大;k<0时,直线必通过二、四象限,yx的增大而减小。y=kx+bk,b为常数,k≠0)时:
k>0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,三象限。k>0,b<0,这时此函数的图象经过一,三,四象限。k<0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,四象限。k<0,b<0,这时此函数的图象经过二,三,四象限。b>0时,直线必通过一、二象限;b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O00)表示的是正比例函数的图像。这时,当k>0时,直线只通过一、三象限,不会通过二、四象限。当k<0时,直线只通过二、四象限,不会通过一、三象限。
3、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式ykxk0)中的常k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式ykxbk0)中的常数kb。解这类问题的一般方法是待定系数法。

4、一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积
b
直线y=kx+bx轴的交点坐标为0y轴的交点坐标为0b;
k
b21b
直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=|·|b=.
2k2|k|

考点十四:反比例函数
1、反比例函数的概念一般地,函数y
k
k是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解x
析式也可以写成ykx1的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0函数y0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
k>0,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,yx的增大而减小。
k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y
k
中,只有一个x
待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图,过反比例函数y
k
y轴的垂线PM(k0图像上任一点Px轴、
x
PN,则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=yxxy

y
k
,xyk,Skx


考点十五:二次函数
一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念
一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0那么y叫做x的二次函数。
yax2bxc(a,b,c是常数,a0叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x3、二次函数图像的画法五点法:
1先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M并用虚线画出对称轴
2)求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式:
1)一般式:yax2bxc(a,b,c是常数,a0
b
对称的曲线,这条曲线叫抛物线。2a

2)顶点式:ya(xh2k(a,h,k是常数,a0
3)当抛物线yax2bxcx轴有交点时,即对应二次好方程
ax2bxc0有实根x1x2存在时,根据二次三项式的分解因式
ax2bxca(xx1(xx2,二次函数yax2bxc可转化为两根式
ya(xx1(xx2。如果没有交点,则不能这样表示。
三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小
4acb2b值),即当x时,y最值
4a2a
如果自变量的取值范围是x1xx2,那么,首先要看
b
是否在自变量取2a
4acb2b
值范围x1xx2内,若在此范围内,则当x=时,y最值;若不在
4a2a
此范围内,则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性,如果在此范围内,y
2
bx2c,当xx1时,x的增大而增大,则当xx2时,y最大ax2
y最小ax12bx1c;如果在此范围内,yx的增大而减小,则当xx1时,
2
y最大ax12bx1c,当xx2时,y最小ax2bx2c
四、二次函数的性质1、二次函数的性质
2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数,a0中,abc的含义:
a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上,a<0时,抛物线开口向下
b与对称轴有关:对称轴为x=
b
2a
0cc表示抛物线与y轴的交点坐标:3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的b24ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有

交点。
>0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;<0时,图像与x轴没有交点。

考点十六:函数的应用
1.函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用.2.利用函数知识解应用题的一般步骤:(1设定实际问题中的变量;
(2建立变量与变量之间的函数关系,如:一次函数,二次函数或其他复合而成的函数式;
(3确定自变量的取值范围,保证自变量具有实际意义;(4利用函数的性质解决问题;(5写出答案.
3利用函数并与方程(不等式(联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题.

考点十七:统计知识初步
一、平均数1、平均数的概念
1平均数:一般地,如果有n个数x1,x2,,xn,那么,x叫做这n个数的平均数,x读作“x拔”
2)加权平均数:如果n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次,…,xkfk次(这里f1f2fkn,那么,根据平均数的定义,这n个数的平均数可以表示为x
1
(x1x2xnn
x1f1x2f2xkfk
,这样求得的平均数x叫做加权平均数,
n
其中f1,f2,,fk叫做权。

2、平均数的计算方法1)定义法
当所给数据x1,x2,,xn,比较分散时,一般选用定义公式:
x
1
(x1x2xnn
2)加权平均数法:
x当所给数据重复出现时,一般选用加权平均数公式:其中f1f2fkn
3)新数据法:
x1f1x2f2xkfk

n
当所给数据都在某一常数a的上下波动时,一般选用简化公式:xx'a其中,常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,x'1x1a
x'2x2a,…,x'nxnax'
1
(x'1x'2x'n是新数据的平均数(通常n
x1,x2,,xn,叫做原数据,x'1,x'2,,x'n,叫做新数据)
二、统计学中的几个基本概念1、总体
所有考察对象的全体叫做总体。2、个体
总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量
样本中个体的数目叫做样本容量。5、样本平均数
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。6、总体平均数
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。

三、众数、中位数1、众数
在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2、中位数
将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
四、方差1、方差的概念
在一组数据x1,x2,,xn,中,各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。通常用“s2”表示,即
1
s2[(x1x2(x2x2(xnx2]
n
2、方差的计算1)基本公式:
1
s2[(x1x2(x2x2(xnx2]
n
2)简化计算公式(Ⅰ)
2122s2[(x12x2xnnx]
n
2122
也可写成s2[(x12x2xn]x
n
此公式的记忆方法是:方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。3)简化计算公式(Ⅱ)
2122s2[(x'1x'2x'nx']2n
n
当一组数据中的数据较大时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据x'1x1a
2122
x'2x2a,…,x'nxna,那么,s2[(x'1x'2x']x'2n
n
此公式的记忆方法是:方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
4)新数据法:

原数据x1,x2,,xn,的方差与新数据x'1x1ax'2x2a…,x'nxna的方差相等,也就是说,根据方差的基本公式,求得x'1,x'2,,x'n,的方差就等于原数据的方差。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s”表示,即
ss2
1
[(x1x2(x2x2(xnx2]n

考点十八:数据的收集与处理
一、调查方式
1.普查:为了某一特定目的,而对考察对象进行全面的调查,叫普查.2.抽样调查:抽取一部分对象进行调查,然后根据调查数据推断全体对象的情况.
二、总体、个体、样本及样本容量(1总体:把所要考察对象的全体叫总体.(2个体:每一个考察对象叫做个体.
(3样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.(4样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量.三、平均数
1平均数:一般地,如果有n个数x1,x2,,xn,那么,x叫做这n个数的平均数,x读作“x拔”
2)加权平均数:如果n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次,…,xkfk次(这里f1f2fkn,那么,根据平均数的定义,这n个数的平均数可以表示为x
1
(x1x2xnn
x1f1x2f2xkfk
,这样求得的平均数x叫做加权平均数,
n
其中f1,f2,,fk叫做权。

四、众数、中位数1、众数
在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2、中位数
将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
五、方差与标准差
在一组数据x1,x2,,xn,中,各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。通常用“s2”表示,即
1
s2[(x1x2(x2x2(xnx2]
n
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s”表示,即
ss2
1
[(x1x2(x2x2(xnx2]n
六、频数与频率
①极差:最大值与最小值的差
②频数:落在各个小组内的数据的个数
③频率:每一小组的频数与数据总数(样本容量n)的比值叫做这一小组的频率。

考点十九:统计的应用
1.统计图是表示统计数据的图形,是数据及其之间关系的直观表现常见的统计图有:
(1条形统计图:条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形;(2折线统计图:用几条线段连成的折线来表示数据的图形;
(3扇形统计图:用一个圆代表总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分在总体中所占百分比大小,这样的统计图叫扇形统计图;

(4频数分布直方图、频数折线图:能显示各组频数分布的情况,显示各组之间频数的差别.
2.频数分布直方图
(1把每个对象出现的次数叫做频数
(2每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比叫频率,频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度.
(3频数分布表、频数分布直方图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况
(4频数分布直方图的绘制步骤是:①计算最大值与最小值的差(即:极差②决定组距与组数,一般将组数分为512组;
③确定分点,常使分点比数据多一位小数,且把第一组的起点稍微减小一点;④列频数分布表;
⑤用横轴表示各分段数据,纵轴反映各分段数据的频数,小长方形的高表示频数,绘制频数分布直方图.

考点二十:简单事件的概率
一、确定事件和随机事件1、确定事件
必然发生的事件:在一定的条件下重复进行试验时,在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件:有的事件在每次试验中都不会发生,这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件:
在一定条件下,可能发生也可能不放声的事件,称为随机事件。二、频率与概率1.概率的概
一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为

随机事件A发生的概率,记为P(A.
2.频率与概率的关系
当我们大量重复进行试验时,某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值,这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
三、概率的计算1.公式法
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A
2.列表法
当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法.
3.画树状图
当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球时,列表就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图.
4.几何概型
一般是用几何图形的面积比来求概率,计算公式为:P(A
事件A发生的面积
,解这类题除了掌握概率的计算方法外,还应熟练掌握几何图
总面积
nm
形的面积计算.
5.游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的,在条件相等的前提下,如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等,则游戏公平,否则不公平.

考点二十一:概率的应用
一、概率的概念
一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A.
二、概率的计算

1.实验法
当我们大量重复进行试验时,某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值,这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
2.公式法
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A
3.列表法
当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法.
4.画树状图
当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球时,列表就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图.
5.几何概型
一般是用几何图形的面积比来求概率,计算公式为:P(A
事件A发生的面积
,解这类题除了掌握概率的计算方法外,还应熟练掌握几何图
总面积
nm
形的面积计算.
三、概率的应用1.摸球问题
2.掷正方体骰子问题3.转盘问题
4.判断游戏的公平性5.概率与几何知识的综合应用6.概率与代数知识的综合应用7.概率与统计知识的综合应用8.概率与物理知识的综合应用
考点二十二:平面几何基础

一、直线、射线和线段1、直线的概念
一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象,直线是直的,并且是向两方无限延伸的。
2、射线的概念
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。3、线段的概念
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。4、直线的性质
1)直线公理:经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。它可以简单地说成:过两点有且只有一条直线。
2)过一点的直线有无数条。
3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。4)直线上有无穷多个点。
5)两条不同的直线至多有一个公共点。5、线段的性质
1)线段公理:所有连接两点的线中,线段最短。也可简单说成:两点之间线段最短。
2)连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。3)线段的中点到两端点的距离相等。
4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。6、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。二、相交线1、相交线中的角
两条直线相交,可以得到四个角,我们把两条直线相交所构成的四个角中,

有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。
临补角互补,对顶角相等。
直线ABCDEF相交(或者说两条直线ABCD被第三条直线EF所截)构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在ABCD的上方,并且在EF的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角;3与∠5这两个角都在ABCD之间,且在EF的异侧,像这样位置的两个角叫做内错角;∠3与∠6在直线ABCD间,并侧在EF的同侧,像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
直线ABCD互相垂直,记作“ABCD(或“CDAB,读作“AB垂直于CD(或“CD垂直于AB
垂线的性质:
性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
三、平行线1、平行线的概念
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示,如“ABCD,读作“AB平行于CD
同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。2、平行线公理及其推论
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。3、平行线的判定
平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。简称:同位角相等,两直线平行。
平行线的两条判定定理:
1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。简称:内错角相等,两直线平行。
2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。简称:同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质
1)两直线平行,同位角相等。2)两直线平行,内错角相等。3)两直线平行,同旁内角互补。四、命题、定理、证明1、命题的概念
判断一件事情的语句,叫做命题。
2、命题的分类:按正确、错误与否分为:真命题和假命题所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
考点二十三:视图与投影
1、投影

投影的定义:用光线照射物体,在地面上或墙壁上得到的影子,叫做物体的投影。
平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图
当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图。俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图。左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图,有时也叫做侧视图。

考点二十四:线段、角与相交线
一、线段、射线、直线1.线段的基本性质
在所有连结两点的线中,线段最短.2.直线的基本性质
经过两点有一条而且只有一条直线.二、角与角的计算1.角的基本概念
由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角;如果一个角的两边成一条直线,那么这个角叫做平角;等于90°的角是直角;大于直角小于平角的角是钝角,小于直角的角是锐角.
2.角的计算与换算
1周角=360度,1平角=180度,1直角=90度,1度=60分,1分=60秒.
3.余角、补角及其性质
(1互为补角:如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角.(2互为余角:如果两个锐角的和是一个直角,那么这两个角互为余角.

(3性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等.4.角平分线
(1角平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
(2性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等;角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
三、相交线
1.邻补角、对顶角及其性质
(1如图所示,直线ab相交,形成四个角.

图中的邻补角有∠1和∠2,∠1和∠4,∠2和∠3,∠3和∠4;图中的对顶角有∠1和∠3,∠2和∠4.
(2性质:邻补角互补;对顶角相等.2.垂线及其性质
(1垂线:当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
(2性质:①在同一平面内,过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线;②一般地,连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
(3直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.3.线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
考点二十五:平行线的证明
.命题
1.命题:判断一件事情的语句,叫做命题.
2.真命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题.3.假命题:如果题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫假命题.4.互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是另一个命题的结论,而第一个命题的结论是另一个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.

二、平行线的判定与性质1)平行线的性质
如果两直线平行,那么同位角相等;如果两直线平行,那么内错角相等;如果两直线平行,那么同旁内角互补.2)平行线的判定同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.2.平行线的基本事实(即平行公理)
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
考点二十六:三角形
一、三角形
1、三角形中的主要线段
1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
2在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)
2、三角形的三边关系定理及推论
1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。推论:三角形的两边之差小于第三边。2)三角形三边关系定理及推论的作用:①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时,可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。推论:
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。
二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理:
1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS
2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA
3边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL
2.全等三角形的性质:三、等腰三角形
1、等腰三角形的性质定理及推论:
定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)
推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理及推论:
定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:

等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
考点二十七:等腰三角形
一、等腰三角形1、等腰三角形的性质
1)等腰三角形的性质定理及推论:
定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)
推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。2)等腰三角形的其他性质:
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)
③等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则
b
2
④等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A底角为∠BC则∠A=180°2B,∠B=C=
180A
2
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论:
定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
.等边三角形1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质:
等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形..线段垂直平分线1.定义
垂直一条线段,并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.2.性质
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3.判定
到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
考点二十八:直角三角形
一、直角三角形1.定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2.性质
1)直角三角形两锐角互余.
2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;

3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定
1)两个内角互余的三角形是直角三角形.
2)三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角.
二、勾股定理及逆定理1.勾股定理:
直角三角形的两条直角边ab的平方和等于斜边c的平方,即:a2+b2=c2;2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边abc有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
三、直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,除了有一般三角形全等的判定方法,还有HL定理(斜边、直角边定理)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、角边”或“HL
四、解直角三角形解直角三角形的常用关系RtABC中,∠C90°,则:(1三边关系:a2b2c2(2两锐角关系:∠A+∠B=90°;(3边与角关系:sinAcosB(4sin2Acos2A1
考点二十九:尺规作图
1.尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2.基本作图
(1作一条线段等于已知线段,以及线段的和﹑差;
aba
cosAsinBtanAccb

(2作一个角等于已知角,以及角的和﹑差;(3作角的平分线;(4作线段的垂直平分线;(5过一点作已知直线的垂线.3.利用基本作图作三角形(1已知三边作三角形;(2已知两边及其夹角作三角形;(3已知两角及其夹边作三角形;
(4已知底边及底边上的高作等腰三角形;(5已知一直角边和斜边作直角三角形.4.与圆有关的尺规作图
(1过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆(2作三角形的内切圆;
(3作圆的内接正方形和正六边形.
5.有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型6.作图的一般步骤尺规作图的基本步骤:
(1已知:写出已知的线段和角,画出图形;
(2求作:求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化;
(3作法:应用“五种基本作图”,叙述时不需重述基本作图的过程,但图中必须保留基本作图的痕迹;
(4证明:为了验证所作图形的正确性,把图作出后,必须再根据已知的定义、公理、定理等,结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件;
(5讨论:研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形;在哪些情况下,问题有一个解、多个解或者没有解;
(6结论:对所作图形下结论.
考点三十:图形的轴对称

1.如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点.
2.图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴,是任意一对对应点所连线段的垂直平分线.应线段、对应角相等.
3.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样;新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.这样,由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换而成.
4.轴对称与轴对称图形
轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是:轴对称图形是一个具有特殊性质的图形,而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系;
两者之间的联系是:若把轴对称的两个图形视为一个整体,则它就是一个轴对称图形;若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形,则这两个图形就形成轴对称的位置关系.

考点三十一:图形的平移
1、定义
把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,图形的这种移动叫做平移变换,简称平移。
2、性质
1)平移不改变图形的大小和形状,但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
2)连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等。

3.确定一个平移运动的条件是:平移的方向和距离
4.平移的规则:图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离.5.画平移图形,必须找出平移方向和距离,其依据是平移的性质.
考点三十二:图形的旋转
一、旋转1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2、性质
1)对应点到旋转中心的距离相等。
2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。二、中心对称1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
2、性质
1)关于中心对称的两个图形是全等形。
2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
3关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心。
三、中心对称与轴对称的区别与联系:

1.中心对称与轴对称的区别:中心对称有一个对称中心——点;图形绕中心旋转180°,旋转后与另一个图形重合.轴对称有一条对称轴——直线.图形沿直线翻折180°,翻折后与另一个图形重合.
2.中心对称与轴对称的联系:如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴,那么它必是中心对称图形,这两条对称轴的交点就是它的对称中心,但中心对称图形不一定是轴对称图形.
四、中心对称与中心对称图形区别与联系.
1.中心对称与中心对称图形的区别:中心对称是两个图形的位置关系,必须涉及两个图形,中心对称图形是指一个图形;中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后,两个图形重合;中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°,与原图形重合.
2.中心对称与中心对称图形的联系:如果把两个成中心对称的图形拼在一起,看成一个整体,那么它就是中心对称图形;如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形,那么这两个图形成中心对称.

考点三十三:图形的相似
1、比和比例的有关概念:
1)表示两个比相等的式子叫作比例式,简称比例.
ac
a:b=c:d那么d叫作abc的第四比例项.bdab
3)比例中项:若a:b=b:cb叫作ac的比例中项.
bc
2第四比例项:
4黄金分割:把一条线段AB分割成两条线段,使其中较长线段AC是原线段AB与较短线段(BC)的比例线段,就叫作把这条线段黄金分割.AC2=AB·BCAC=
51
AB0.618AB;一条线段的黄金分割点有两个.2
2.比例的基本性质及定理
ac
adbcbdacabcd2
bdbd
1

3
acbd

m
(bdn
n0
acbdma
nb
3.平行线分线段成比例定理
(1三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
(2平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线,所得的对应线段成比例;
(3如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线,所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边;
(4平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
4.相似三角形.
相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比:相似三角形的对应边的比,叫做两个相似三角形的相似比.5.相似三角形的判定
(1平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线相交,所截得的三角形与原三角形相似;
(2两角对应相等,两三角形相似;
(3两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(4三边对应成比例,两三角形相似;
(5两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似;(6直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似.6.相似三角形性质
相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
7.相似多边形的性质
(1相似多边形对应角相等,对应边成比例.
(2相似多边形周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.8.位似图形
(1概念:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.

(2性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
考点三十四:四边形
一、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360°。
推论:多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n2180°多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于360°。二、平行四边形1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质
1)平行四边形的邻角互补,对角相等。2)平行四边形的对边平行且相等。推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。3)平行四边形的对角线互相平分。
4)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、矩形1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质

1)具有平行四边形的一切性质2)矩形的四个角都是直角3)矩形的对角线相等4)矩形是轴对称图形3、矩形的判定
1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形四、菱形1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质
1)具有平行四边形的一切性质2)菱形的四条边相等
3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角4)菱形是轴对称图形3、菱形的判定
1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形2)定理1:四边都相等的四边形是菱形3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半五、正方形1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质
1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等
3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一

组对角
4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴
5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。六、梯形
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。2、等腰梯形的性质
1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。3)等腰梯形的对角线相等。
4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。3、等腰梯形的判定
1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形
2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形3)对角线相等的梯形是等腰梯形。4、梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
考点三十五:矩形、菱形、正方形
一、矩形1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质
1)具有平行四边形的一切性质2)矩形的四个角都是直角3)矩形的对角线相等4)矩形是轴对称图形

3、矩形的判定
1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质
1)具有平行四边形的一切性质2)菱形的四条边相等
3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角4)菱形是轴对称图形3、菱形的判定
1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形2)定理1:四边都相等的四边形是菱形3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质
1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等
3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角
4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴

5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定
1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:先证它是矩形,再证有一组邻边相等。先证它是菱形,再证有一个角是直角。
2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:先证明它是平行四边形;再证明它是菱形(或矩形)最后证明它是矩形(或菱形)4、正方形的面积
b2设正方形边长为a,对角线长为bS正方形=a
2
2

考点三十六:解直角三角形
一、锐角三角函数的定义
RtABC中,∠C90°,ABcBCaACb

正弦:sinA
A的对边a

斜边c
A的邻边b
余弦:cosA
斜边c余切:tanA
A的对边a

∠A的邻边b
二、特殊角的三角函数值

αsinα
1222
cosα
3222
tanα
33
30°
45°1
60°
、解直角三角形
32
12
3
解直角三角形的常用关系RtABC中,∠C90°,则:(1三边关系:a2b2c2(2两锐角关系:∠A+∠B=90°;(3边与角关系:sinAcosB(4sin2Acos2A1
四、解直角三角形的应用常用知识1.仰角和俯角:
仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角
坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比记作i________
坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,itanα坡度越大,α角越大,坡面________3.方向角(或方位角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角
aba
cosAsinBtanAccb



考点三十七:解直角三角形的应用
一、解直角三角形的应用常用知识1.仰角和俯角:
仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角
坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比记作i________
坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,itanα坡度越大,α角越大,坡面________3.方向角(或方位角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角

二、解直角三角形的应用可解决的问题1.测量物体的高度;2.测量河的宽度;3.解决航海航空问题;4.解决坡度问题;
5.解决实际生活中其它问题.


考点三十八:与圆有关的概念
1、圆的定义
在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。

2、弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB

3.直径
经过圆心的弦叫做直径。(如图中的CD直径等于半径的2倍。4.半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。5.弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。弧用符号“⌒”表示,以AB为端点的弧记作““弧AB
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)
5、垂径定理及其推论
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
,读作“圆弧AB”或

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