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2020年浙江省宁波市中考数学全景模拟试卷(一) 解析版

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020年浙江省宁波市中考数学全景模拟试卷（一）
一．选择题（共10小题）1．下列各数，最小的数是（）A．﹣2020
B．0
C．

D．﹣1
2．下列运算正确的是（）A．a10÷a2＝a5C．（a+b）2＝a2+b2
B．a2+a2＝a4D．（a2）3＝a6
3．“中国天眼”500米口径球面射电望远镜的反射总面积约25万平方米，是世界射电望远镜之最，其中25万用科学记数法表示为（）A．25×105
B．0.25×106
C．2.5×105
D．2.5×106
4．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，小亮在一周内的体温测量结果分别为+0.1，﹣0.3，﹣0.5，+0.1，+0.2，﹣0.6，﹣0.4，那么他一周内所测量体温的平均值为（）A．37.1℃
B．37.2℃
C．36.9℃
D．36.8℃
5．若正n边形的一个内角为135°，那么n的值为（）A．12
B．10
C．8
D．7
6．若b＜0，则二次函数y＝x2+bx﹣1的图象的顶点在（）A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），则下列判断正确的是（）A．m＞0，n＞0
B．m＞0，n＜0
C．m＜0，n＞0
D．m＜0，n＜0
8．如图，将扇形OAB沿弦BC向下折叠，∠AOB＝150°，OA＝2，则图中阴影部分的周长为（）

A．
+4
B．
+4
C．
+2
D．
+2
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，
1/30

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点G为△OAB的重心，连接BG并延长，交OA于点C，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过C，G两点．若△AOB的面积为6，则k的值为（）

A．
B．

C．
D．3
10．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（）

A．①
B．②
C．③
D．④
二．填空题（共6小题）11．若二次根式
有意义，则x的取值范围是．
12．分解因式：2m2﹣4m+2＝．13．命题“对角线相等”的逆命题是．
14．如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝度．

15．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝
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16．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连结BC，则△BCE面积的最小值为．

三．解答题（共8小题）17．计算：（1）（）1﹣（
﹣
﹣1.41）0+|﹣2+＝

tan45°|
（2）解方程：
18．如图，为4×4的正方形网格图，△ABC的顶点都在网格格点上（每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形）．
（1）在图1，图2，图3中分别画一个与△ABC有一公共边且与△ABC成轴对称的三角形．
（2）在图4中画出一个满足要求的格点△DEF，要求：△DEF与△ABC相似，且相似比的值为无理数．（画出一种即可）

19．为了防范新冠肺炎疫情，某校在网络平台开展防疫宣传，并出了6道选择题，对甲、乙两个班级学生（各有40名学生）的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：答对的题数甲班乙班
000
121
2353/30
343
41715
51214
622

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请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲班学生答对的题数的众数为；
（2）若答对的题数大于或等于5道的为优秀，则乙班该次考试的优秀率为；（3）从甲、乙两班答题全对的学生中随机抽取2人做学习防疫知识心得交流，通过画树状图或列表法，求抽到的2人来自同一个班级的概率．
20．如图，一次函数y1＝kx+b的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数y2＝的图象于C，D两点，B（0，3），D（2，﹣1）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）请直接写出当y2≥y1时，x的取值范围；
（3）点E为反比例函数y2＝的图象上一点，横坐标为m，若将点E向右平移2个单位后刚好落在一次函数y1＝kx+b的图象上，求m的值．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积．
22．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．经过市场调研发现，每月销售的数量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其对应关系如表：x/（元/件）
22
25
4/30
30
35
…

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y/件280250200150…
在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的60%，
（1）请求出y关于x的函数关系式．
（2）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）当售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？
23．定义：如果将△ABC与△DEF各分割成两个三角形，且△ABC所分的两个三角形与△DEF所分的两个三角形分别对应相似，那么称△ABC与△DEF互为“近似三角形”，将每条分割线称为“近似分割线”．
（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝30°，∠D＝40°，请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请直接在图1中画出一组分割线，并注明分割后所得两个小三角形锐角的度数；若不是，请说明理由．
（2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，请在括号内打“√”；若是假命题，请在括号内打“×”．
①任意两个直角三角形都是互为“近似三角形”；②两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线”；
③如果两个三角形中有一个角相等，那么这两个三角形一定是互为“近似三角形”．
（3）如图2，已知△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°，且BC＝EF＝
+
，判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请在图2中
画出不同位置的“近似分割线”，并直接分别写出“近似分割线”的和；如果不是，请说明理由．

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24．如图，在锐角等腰三角形ABC中，AB＝AC，点O为△ABC外接圆的圆心，连结OC，过点B作AC的垂线，交⊙O于点D，交OC于点E，交AC于点F，连结AD和CD．

（1）若∠BAC＝2α，则∠BDA＝（用含α的代数式表示）．（2）①求证：OC∥AD；②若E为OC的中点，求
的值．
（3）若x＝，y＝，求y关于x的函数关系式．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）1．下列各数，最小的数是（）A．﹣2020
B．0
C．

D．﹣1
【分析】由于正数大于0，0大于负数，要求最小实数，只需比较﹣2020与﹣1即可．【解答】解：∵﹣2020＜﹣1＜0＜∴最小的数是﹣2020．故选：A．
【点评】本题考查的有理数大小的比较，依据是：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小．
2．下列运算正确的是（）A．a10÷a2＝a5C．（a+b）2＝a2+b2
B．a2+a2＝a4D．（a2）3＝a6，
【分析】根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，完全平方公式以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；B．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；D．（a2）3＝a6，故本选项符合题意．故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项、完全平方公式以及幂的乘方，熟记相关公式和运算法则是解答本题的关键．
3．“中国天眼”500米口径球面射电望远镜的反射总面积约25万平方米，是世界射电望远镜之最，其中25万用科学记数法表示为（）A．25×105
B．0.25×106
C．2.5×105
D．2.5×106
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数位数﹣1，据此判断即可．【解答】解：25万＝250000＝2.5×105，
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故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
4．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，小亮在一周内的体温测量结果分别为+0.1，﹣0.3，﹣0.5，+0.1，+0.2，﹣0.6，﹣0.4，那么他一周内所测量体温的平均值为（）A．37.1℃
B．37.2℃
C．36.9℃
D．36.8℃
【分析】根据正负数表示的意义，求出这7个体温测量结果的平均数，再加上37℃即可．【解答】解：（+0.1﹣0.3﹣0.5+0.1+0.2﹣0.6﹣0.4）÷7＝﹣0.2（℃），﹣0.2+37＝36.8（℃）．故选：D．
【点评】本题考查了算术平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．也考查了正数与负数．5．若正n边形的一个内角为135°，那么n的值为（）A．12
B．10
C．8
D．7
【分析】根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．【解答】解：∵正n边形的一个内角为135°，∴正n边形的一个外角为180°﹣135°＝45°，∴n＝360°÷45°＝8．故选：C．
【点评】本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．6．若b＜0，则二次函数y＝x2+bx﹣1的图象的顶点在（）A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
＞0，
【分析】由a＝1＞0得到此函数的开口向上，由b＜0，a＞0，得到对称轴x＝﹣
即对称轴位于y轴的右侧．即可能是位于第一或第四象限；由c＝﹣1＜0得到与y轴的
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交点为在y轴的负半轴上，可能位于第三或第四象限，由此可以确定二次函数y＝x2+bx﹣1的图象的顶点的位置．【解答】解：∵a＝1＞0，∴此函数的开口向上，∵b＜0，a＞0，∴对称轴x＝﹣
＞0，
即对称轴位于y轴的右侧，即可能是位于第一或第四象限；∵c＝﹣1＜0，
∴与y轴的交点为在y轴的负半轴上，可能位于第三或第四象限
∴二次函数y＝x2+bx﹣1的图象的顶点在第四象限．故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与性质．
7．正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），则下列判断正确的是（）A．m＞0，n＞0
B．m＞0，n＜0
C．m＜0，n＞0
D．m＜0，n＜0
【分析】根据正比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限或者第二、四象限，从而可以判断m、n的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：∵正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），∴m＞0，n＞0，故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确正比例函数是特殊的一次函数，知道正比例函数的性质，利用函数的思想解答．
8．如图，将扇形OAB沿弦BC向下折叠，∠AOB＝150°，OA＝2，则图中阴影部分的周长为（）

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A．+4B．+4C．+2D．+2
【分析】根据弧长的计算公式计算即可．
【解答】解：∵将扇形OAB沿弦BC向下折叠，∠AOB＝150°，OA＝2，∴图中阴影部分的周长＝故选：A．
【点评】本题考查了弧长的计算，折叠的性质，正确的识别图形是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，点G为△OAB的重心，连接BG并延长，交OA于点C，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过C，G两点．若△AOB的面积为6，则k的值为（）
+2×2＝
+4，

A．
B．

C．
D．3
【分析】过点C作CN⊥OB于N，GM⊥OB于M，如图，利用三角形重心性质得BG＝2CG，再根据平行线分线段成比例定理得到＝3a，所以G（
，2a），C（
＝
＝
＝，则可设GM＝2a，则CN
，
，3a），接着利用BM：BN＝2：3得到BN＝3MN＝
＝3，从而可求出k的值．
然后根据S△OBC＝S△OAB＝3得到×3a×
【解答】解：过点C作CN⊥OB于N，GM⊥OB于M，如图，∵点G为△OAB的重心，∴BG＝2CG，∵GM∥CN，∴
＝
＝
＝，
设GM＝2a，则CN＝3a，∴G（
，2a），C（
，3a），
∵BM：BN＝2：3，
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∴BN＝3MN＝3（∴OB＝ON+BN＝
﹣+
）＝＝
，
，
∵BC为△OAB的中线，∴S△OBC＝S△OAB＝×6＝3，即×3a×∴k＝
．
＝3，
故选：B．

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和平行线分线段成比例定理．
10．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（）

A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】由矩形的性质得出AB＝CD，FP＝CG，则BE＝DG，求出阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×BE＝矩形②面积，即可得出答案..【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD和四边形③是矩形，∴AB＝CD，FP＝CG，∵AE＝CG，
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∴BE＝DG，
∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×CD﹣BF×FP＝BF×（CD﹣CG）＝BF×DG＝BF×BE＝矩形②面积，故选：B．

【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出阴影部分的面积＝矩形②面积是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．若二次根式
有意义，则x的取值范围是x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．12．分解因式：2m2﹣4m+2＝2（m﹣1）2．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（m2﹣2m+1）＝2（m﹣1）2．故答案为：2（m﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．命题“对角线相等”的逆命题是如果有两条线段相等，那么这两条线段是对角线．【分析】交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题．
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【解答】解：命题“对角线相等”的逆命题是：如果有两条线段相等，那么这两条线段是对角线．
故答案为：如果有两条线段相等，那么这两条线段是对角线．
【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
14．如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝20度．

【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠BCF，设∠BAF＝∠BCF＝α，∴∠AEF＝60°+α，∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，∴60°+α+60°+α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠BCE＝20°，故答案为：20．
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【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
15．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝﹣8．
【分析】求出函数与x轴另外一个交点的坐标，则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6，则﹣3an2＝﹣6，即可求解．【解答】解：函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n，
由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，0），
则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6即：﹣3an2＝﹣6，解得：an2＝2，
当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+2nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t，故答案为﹣8．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
16．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连结BC，则△BCE面积的最小值为4﹣
．
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【分析】设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2﹣m），再利用AD＝2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，半径的圆上，即可得出结论．【解答】解：如图，设E（m，n），
过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N，∴∠CME＝∠END＝90°，∴∠MCE+∠MEC＝90°，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE，∠CED＝90°，∴∠NED+∠MEC＝90°，∴∠MCE＝∠NED，∴△CME≌△END（AAS），∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，∴D（m+n，n+2﹣m），
∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，连接AD，则AD＝2，∴∴即
∴点E在以点O为圆心，
＝
，
，
为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是
的点的轨迹），
＝2，
为
∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，∴B（0，4），
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∴OB＝4，∵C（2，0），∴OC＝2，∴BC＝2
，
过点O作OH⊥BC于H，∴OH＝
＝
，
设点E到BC的距离为h，∴S△BCE＝BC•h＝×
h＝
h，
＝，
﹣2，
∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣∴S△BCE最小＝故答案为：4﹣
（．
﹣
）＝4﹣

【点评】此题主要考查了三角形的面积公式，圆的性质和定义，全等三角形的判定和性质，确定出点D的坐标是解本题的关键，判断出点E的轨迹是解本题的难点．三．解答题（共8小题）17．计算：（1）（）1﹣（
﹣
﹣1.41）0+|﹣2+＝

tan45°|
（2）解方程：
【分析】（1）本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次
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根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．【解答】解：（1）（）1﹣（
﹣
﹣1.41）0+|﹣2+
tan45°|
＝3﹣1+|﹣2+＝3﹣1+|﹣2+＝3﹣1+2﹣＝4﹣（2）
；＝

×1||
，
去分母得：x﹣1＝2（x+1），解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．故原方程的解为x＝﹣3．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等知识点的运算．同时考查了解分式方程．
18．如图，为4×4的正方形网格图，△ABC的顶点都在网格格点上（每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形）．
（1）在图1，图2，图3中分别画一个与△ABC有一公共边且与△ABC成轴对称的三角形．
（2）在图4中画出一个满足要求的格点△DEF，要求：△DEF与△ABC相似，且相似比的值为无理数．（画出一种即可）

【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图1，图2，图3中分别画一个与△ABC有一公共边且与△ABC成轴对称的三角形；
（2）根据网格即可在图4中画出一个满足要求的格点△DEF，△DEF与△ABC相似，
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且相似比的值为无理数．【解答】解：如图，

（1）图1，图2，图3中的三角形即为所求；（2）图4中△DEF即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称性质．19．为了防范新冠肺炎疫情，某校在网络平台开展防疫宣传，并出了6道选择题，对甲、乙两个班级学生（各有40名学生）的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：答对的题数甲班乙班
000
121
235
343
41715
51214
622
请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲班学生答对的题数的众数为4；
（2）若答对的题数大于或等于5道的为优秀，则乙班该次考试的优秀率为40%；（3）从甲、乙两班答题全对的学生中随机抽取2人做学习防疫知识心得交流，通过画树状图或列表法，求抽到的2人来自同一个班级的概率．【分析】（1）直接根据众数的概念求解可得；
（2）用答对的题数大于或等于5道的人数和除以乙班被调查的总人数即可得；（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到抽到的2人来自同一个班级的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）甲班学生答对的题数的众数为4，故答案为：4；
（2）乙班该次考试的优秀率为故答案为：40%；（3）画树状图如下：
×100%＝40%，
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

由树状图知共有12种等可能结果，其中抽到的2人来自同一个班级的有4种结果，∴抽到的2人来自同一个班级的概率为
＝．
【点评】本题主要考查了众数及列表法与树状图法，解题的关键是弄清题意，看懂图表，利用树状图列出所有等可能结果．
20．如图，一次函数y1＝kx+b的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数y2＝的图象于C，D两点，B（0，3），D（2，﹣1）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）请直接写出当y2≥y1时，x的取值范围；
（3）点E为反比例函数y2＝的图象上一点，横坐标为m，若将点E向右平移2个单位后刚好落在一次函数y1＝kx+b的图象上，求m的值．

【分析】（1）把B、D两点的坐标代入即可求出两个函数关系式；
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（2）求出点C的坐标，根据函数的图象，可以直接得出当y2≥y1时，x的取值范围；（3）设出点E的坐标，表示出其对应点的坐标，根据平移前后坐标之间的关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）把B（0，3），D（2，﹣1）代入一次函数y1＝kx+b得，
，解得，k＝﹣2，b＝3，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+3，
把D（2，﹣1）代入反比例函数关系式得，a＝2×（﹣1）＝﹣2，∴反比例函数的关系式为y＝﹣；（2）由题意得，
，解得，，，
∵D（2，﹣1），∴C（﹣，4），
根据图象可知，当y2≥y1时，x的取值范围为﹣＜x＜0或x＞2．（3）设平移后落在y＝﹣2x+3上的对应点为E′，则E（m，﹣），E′（m+2，﹣2m﹣1）因此有：﹣＝﹣2m+1，解得，m1＝
，m2＝
，
经检验，均符合题意，故m的值为：
或
．
【点评】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，待定系数法是求函数关系式常用的方法，数形结合有利于得出不等式的解集．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
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（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定方法证明OD∥AC，则利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）过点O作OH⊥BD于H，如图，利用垂径定理得到BH＝DH，再计算出∠AOD＝60°，OH＝1，BH＝
△OBD
，然后利用扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形AOD+S
进行计算．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；
（2）过点O作OH⊥BD于H，如图，则BH＝DH，∵∠B＝∠D＝30°，
∴∠AOD＝∠B+∠ODB＝60°，OH＝OB＝1，∴BH＝
OH＝
，，
∴BD＝2BH＝2
∴阴影部分的面积＝S扇形AOD+S△OBD＝＝π+
．
+×2
×1
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【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．
22．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．经过市场调研发现，每月销售的数量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其对应关系如表：x/（元/件）
y/件
22280
25250
30200
35150
……
在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的60%，
（1）请求出y关于x的函数关系式．
（2）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）当售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y关于x的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以写出每月获得利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（3）将（2）中w与x的函数关系式化为顶点式，然后根据x的取值范围和二次函数的性质可以得到当售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得
，
即y与x的函数关系式为y＝﹣10x+500；（2）由题意可得，
w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，
∵在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的60%，
∴x≥20，x﹣20≤20×60%，∴20≤x≤32，
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即每月获得利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式是w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）；
（3）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，20≤x≤32，∴当x＝32时，w取得最大值，此时w＝2160，
答：当售价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
23．定义：如果将△ABC与△DEF各分割成两个三角形，且△ABC所分的两个三角形与△DEF所分的两个三角形分别对应相似，那么称△ABC与△DEF互为“近似三角形”，将每条分割线称为“近似分割线”．
（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝30°，∠D＝40°，请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请直接在图1中画出一组分割线，并注明分割后所得两个小三角形锐角的度数；若不是，请说明理由．
（2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，请在括号内打“√”；若是假命题，请在括号内打“×”．
①任意两个直角三角形都是互为“近似三角形”√；②两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线”×；
③如果两个三角形中有一个角相等，那么这两个三角形一定是互为“近似三角形”×．（3）如图2，已知△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°，且BC＝EF＝
+
，判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请在图2中
画出不同位置的“近似分割线”，并直接分别写出“近似分割线”的和；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）根据互为“近似三角形”即可得出结论；
（2）根据互为“近似三角形”的意义，判断出是假命题，画图说明即可得出结论；
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（3）如图5，先判断出△BCM≌△FEN（ASA），得出CM＝FN，再构造出直角三角形，即可得出结论；
②如图6，同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）这两个三角形是互为“近似三角形”，如图1所示，
；

（2）①任意两个直角三角形都是互为“近似三角形”，是真命题，如图2所示，
，

②两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线”，假命题，如图3所示，
在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°；
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③如果两个三角形中有一个角相等，那么这两个三角形一定是互为“近似三角形”，是假命题，
如图4所示，一个顶角为20°的等腰三角形和底角为20°的等腰三角形；
，
故答案为：√，×，×；
（3）这两个三角形是互为“近似三角形”，①如图5，

在△BCM和△FEN中，∴△BCM≌△FEN（ASA），∴CM＝FN，
过点M作MH⊥BC于H，
在Rt△MHC中，设CH＝x，则MH＝在Rt△BHC中，BH＝MH＝∵BC＝x+∴x＝
，
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x＝
+
，
x，
x，CM＝2x，
，

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∴CM＝2，
；
∴“近似分割线”的和为CM+FN＝4

②同①的方法得，△CBM≌FEN（ASA），∴BM＝EN，
过点C作CH⊥BM于H，在Rt△BHC中，BH＝CH＝
＝1+
，，MH＝
CH＝3+
，
在Rt△CHM中，CM＝2CH＝2+2∴NE＝BM＝4+2
，
∴“近似分割线”的和为CM+EN＝6+4即“近似分割线”的和为6+4
或4
，．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意画出图形是解本题的关键．
24．如图，在锐角等腰三角形ABC中，AB＝AC，点O为△ABC外接圆的圆心，连结OC，过点B作AC的垂线，交⊙O于点D，交OC于点E，交AC于点F，连结AD和CD．

（1）若∠BAC＝2α，则∠BDA＝90°﹣α（用含α的代数式表示）．（2）①求证：OC∥AD；
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②若E为OC的中点，求的值．
（3）若x＝，y＝，求y关于x的函数关系式．
【分析】（1）先判断出∠CAG＝∠BAC＝α，进而得出∠ACB＝90°﹣α，即可得出结论；
（2）①先判断出∠OCA＝∠OAC＝α，再判断出∠CBF＝α，得出∠CAD＝∠CBF＝α，进而得出∠CAD＝∠OCA＝α，即可得出结论；
②先判断出∠OEH＝∠CEF＝90°﹣α，再判断出∠OHE＝∠BHG＝90°﹣α，进而得出∠OEH＝∠OHE，即OE＝OH＝a，再判断出OA＝OC＝2a，进而得出AH＝3a，即可得出结论；
（3）先判断出∠CBD＝∠BCM，进而判断出△BGH≌△CGM（ASA），得出HG＝MG，设MG＝m，⊙O的半径为r，进而得出OG＝r﹣m，AG＝2r﹣m，AH＝2r﹣2m，即可得出y＝2﹣
①，再判断出△ACD∽△BCE，得出
＝
＝
，进而得出
＝x，即AC2＝4x•CG2，再利用勾股定理得出CG＝
，在Rt△COG中，CG
＝论．
，进而得出＝，化简得出＝②，即可得出结
【解答】解：（1）记AO交BD于H，交BC于G，∵点O是等腰三角形△ABC的外接圆的圆心，∴AG平分∠BAC，AG⊥BC，∴∠CAG＝∠BAC＝α，∴∠ACB＝90°﹣α，∴∠BDA＝∠ACB＝90°﹣α，故答案为：90°﹣α；
（2）①如图1，由（1）知，∠OAC＝α，∵OA＝OC，
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∴∠OCA＝∠OAC＝α，由（1）知，∠ACB＝90°﹣α，∵BD⊥AC，∴∠BFC＝90°，
∴∠CBF＝90°﹣∠ACB＝α，∴∠CAD＝∠CBF＝α，∴∠CAD＝∠OCA＝α，∴OC∥AD；
②由①知，∠OAC＝α＝∠CAD，∵BD⊥AC，∴AH＝AD，设OH＝a，
在Rt△EFC中，∠OCA＝α，∴∠OEH＝∠CEF＝90°﹣α，在Rt△BGF中，∠CBF＝α，∴∠OHE＝∠BHG＝90°﹣α，∴∠OEH＝∠OHE，∴OE＝OH＝a，∵点E是OC的中点，∴OC＝2a，∴OA＝OC＝2a，
∴AH＝OA+OH＝2a+a＝3a，∴
（3）如图2，
记AO与⊙O的另一个交点为M，连接CM，由（1）知，∠CBD＝∠BAG＝α，∵∠BCM＝∠BAG＝α，∴∠CBD＝∠BCM，
＝；
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由（1）知，AG⊥BC，∵AB＝AC，∴BG＝CG，
∴△BGH≌△CGM（ASA），∴HG＝MG，
设MG＝m，⊙O的半径为r，
∴OG＝r﹣m，AG＝2r﹣m，AH＝2r﹣2m，由（2）知，AD＝AH＝2r﹣2m，∵y＝∴y＝
，
＝
＝2﹣
①，
∵BD⊥AC，∴∠AFB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣2α，∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣2α，∵∠COM＝2∠CAM＝2α，
∴∠BCE＝90°﹣∠COM＝90°﹣2α，∴∠BCE＝∠ACD，
由（2）知，∠CBE＝∠CAD＝α，∴△ACD∽△BCE，∴
＝
＝
，
∵x＝，
∴＝x，
∴AC2＝4x•CG2，
在Rt△ACG中，AG2＝AC2﹣CG2＝4x•CG2﹣CG2＝（4x﹣1）CG2，∴CG＝
＝
，
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在Rt△COG中，CG＝∴∴∴∴
，﹣1＝4x﹣1，
②，＝
，
，
＝，
∴＝
将②代入①中，得y＝2﹣2×＝2﹣，
即y关于x的函数关系式y＝2﹣．


【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理，同角的余角相等，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得出＝
是解本题的关键．
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/faf427e24973f242336c1eb91a37f111f0850d02.html

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