高等代数（北大版）第4章习题参考答案

第四章 矩阵

1.设1），2），

计算，。

解 1） ，

2）

，

其中

， ，

， ，

， ，

2.计算

，

，

解 。

。

采用数学归纳法，可证

。

事实上，当时，有

，

结论成立。

当时，归纳假设结论成立，即

于是当时，有

，

即证成立。

4）采用数学归纳法，可证

，

事实上，当时，有

，

结论成立。

当时，归纳假设结论成立，即

，

于是当时，有

，

其中

，

同理可得

， ， ，

因而有

。

5），。

6）

。

7）注意到

，

这意味着，若令

，

则.下面对

分两种情形讨论

①为偶数，即，于是

，

②为奇数，即，于是

，

故

。

8）采用数学归纳法，可证

，

事实上，当时，结论显然成立，现在归纳假设

，

于是

，

，

即证结论成立。

3.设，是一个矩阵，定义

。

1），；

2），，

试求。

解 1）

。

2）。

4.如果，矩阵就称为与可交换，设

1） 2）

3）

求所有与可交换的矩阵。

解 1）若记，并设与可交换，即

，

于是

，

所以

，

故任意，从而所有与可交换的矩阵为，其中为任意常数。

2）同理，记并设与可交换，即

于是

，

所以

，

比较对应的元，可得

， ， ，

，，，

于是所有与可交换的矩阵为

，

其中为任意常数。

3）设与可交换，即

，

于是

，

故得

,,。

所以所有与可交换的矩阵为

，

其中为任意常数。

5.设

其中（当时）（），证明：与可交换的矩阵只能是对角矩阵。

证 设与可交换，于是由

，

有

，

即（当时）.有因为，所以。于是，与可交换的矩阵只能是对角矩阵

。

6.设

，

其中（当时）（），是阶单位矩阵，证明：与可交换的矩阵只能是准对角矩阵

，

其中是阶矩阵（）。

证 设

与可交换（其中是阶矩阵），则由，可得

当时，由及，因而必有。

于是，与可交换的矩阵只能是准对角矩阵

，

其中是阶矩阵（）。

7.用表示行列的元素（即元）为1，而其余元素全为零的矩阵，而．证明：

1）如果，那么当时，当时；

2）如果，那么当时，当时，且；

3）如果与所有的阶矩阵可交换，那么一定是数量矩阵，即。

证 1）因为

，

所以

，。

即当时，当时。

2）因为

列

行

所以当时，当时且。

3）与任何矩阵相乘可交换，必与相乘可交换，于是由得

（），

因此是数量矩阵。

8.如果，证明：

。

证 ，

。

9.如果，证明：当且仅当。

证 充分性.若，因为

，所以。

必要性.若，则，即，即证。

10.矩阵称为对称的，如果.证明：如果是实对称矩阵，且，那么。

证 设

，

则

。

由有

，

因而必有

，

即证。

11.设都是对称矩阵，证明：也对称当且仅当可交换。

证 当时，有

，

所以是对称矩阵。

反之，当时，有

。

12.矩阵称为反对称的，如果，证明：任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。

证 设是任一矩阵，因为，

且是对称矩阵，是反对称矩阵，所以结论成立。

13.设.证明：

证 由题设知

。

14.设是矩阵，证明：存在一个非零矩阵使的充分必要条件是。

证 充分性.若，则齐次方程组有非零解

，

只要取

即可。

必要性.设，使，这里是的列向量。不失一般性，设，则由，得

。

因此，，即有非零解，从而

。

15.设是矩阵，如果对任一维向量都有，那么。

证 证法1 由题设知，维向量空间中的所有向量都是齐次线性方程组的解，故方程组的基础解系含有个线性无关的解向量，所以，即证。

16设为一矩阵，为矩阵，且.证明：

1） 如果，那么；

2） 如果，那么。

证 1）若，设，，因，不失一般性，可设

。

由，得

因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有惟一零解，即

，

因而。

2） 若，则

，

由1）知，因此。

17.证明：

。

证 设，，则

。

若与分别是与的列向量组的极大线性无关组，则有

于是

，

即的列向量组可由线性表出，故

。

18.设为矩阵，证明：如果，那么

。

证 设的列向量组为，则

，

故有

。

即方程组有组解。

若，则可由个线性无关的解向量线性表出，于是。因此

。

19.证明：如果，那么

。

证

。

即证

。

20.求，设

，

解 1）。

2）对作行初等变换，有

，

所以

。

3）对作行初等变换，可得

，

所以

。

4）对作行初等变换，可得

，

所以

。

5）对作行初等变换，有

，

所以

。

6）对作行初等变换，有

，

所以

。

7）因为，所以

。

8）对作行初等变换，有

。

9）因为

且，所以

。

10）因为

，

所以

。

21.设

，

已知存在，求。

解 设，则。

因此

，

左乘，得

， ，

又由于

， ，

左乘得

， ，

故

。

22.设

，

其中，求。

解 记，其中

则

。

而

，

故

。

23.求矩阵，设

，

，

，

。

解 1）。

2）。

3）

。

4）。

24.证明：1）如果可逆对称（反对称），那么也对称（反对称）；2）不存在奇数阶的可逆反对称矩阵。

证 1)若，则

。

2）由，知

，

所以当为奇数时，有

，

故不可逆。

25.矩阵称为上（下）三角矩阵，如果当时有。证明：

1）两个上（下）三角形矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；

2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。

证 1）设

，，

假定

，

其中

，

当时，显然中各项均有因子为零，故，所以是上三角矩阵。

对于是下三角阵情形同法可证。

2）令，设是的逆，即，比较和的第一列元素，有

，

因为，故，因而得

。

同理可得：当时，因而是上三角阵。

是下三角阵的情形同理可证。

26.证明：，其中是矩阵。

证 因为， ，所以当时有。

当时ⅰ),有，于是。

ⅱ），由于，于是有非零解，故，于是，所以此时也有，，即证。

27.证明：如果是矩阵，那么

证 当时，故，所以

。

当时，至少有一个阶子式不为0，所以

。

另一方面，由，有

。

于是

，

所以，.故。

当时，的一切阶子式全为0，所以，因而，即证。

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