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第二章 2.2

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1．函数的单调性(1单调函数的定义

增函数
减函数
一般地，设函数f(x的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意
定义
两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1<f(x2，那么就说函数f(x在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1>f(x2，那么就说函数f(x在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的
(2单调区间的定义
如果函数y＝f(x在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x在这一区间具有(严格的单调性，区间D叫做y＝f(x的单调区间．2．函数的最值
前提条件结论
【知识拓展】函数单调性的常用结论
设函数y＝f(x的定义域为I，如果存在实数M满足
(1对于任意的x∈I，都有f(x≤M；(3对于任意的x∈I，都有f(x≥M；(2存在x0∈I，使得f(x0＝M
M为最大值
(4存在x0∈I，使得f(x0＝M
M为最小值

自左向右看图象是下降的

(1对任意x1，x2∈D(x1≠x2，上是减函数．
fx1－fx2fx1－fx2
>0⇔f(x在D上是增函数，<0⇔f(x在D
x1－x2x1－x2
a
(2对勾函数y＝x＋(a>0的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞，减区间为[－a，0和(0，
xa]．
(3在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4函数f(g(x的单调性与函数y＝f(u和u＝g(x的单调性的关系是“同增异减”．【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1若定义在R上的函数f(x，有f(－1<f(3，则函数f(x在R上为增函数．(×(2函数y＝f(x在[1，＋∞上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞．(×1
(3函数y＝的单调递减区间是(－∞，0∪(0，＋∞．(×
x(4所有的单调函数都有最值．(×
(5如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×
(6闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(√

1．(2016·北京下列函数中，在区间(－1,1上为减函数的是(1
A．y＝
1－xC．y＝ln(x＋1答案D
1
解析y＝与y＝ln(x＋1在区间(－1,1上为增函数；
1－x
1x
y＝cosx在区间(－1,1上不是单调函数；y＝2－x＝2在(－1,1上单调递减．2．若函数f(x＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞，则a的值为(A．－2B．2C．－6D．6答案C
aa
解析由图象易知函数f(x＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞，令－＝3，得a＝－6.
223．(2016·舟山模拟函数y＝x2＋2x－3(x>0的单调增区间为________．
B．y＝cosxD．y＝2x
－

答案(0，＋∞
解析函数的对称轴为x＝－1，又x>0，所以函数f(x的单调增区间为(0，＋∞．4．(教材改编已知函数f(x＝2答案2
5
22
解析可判断函数f(x＝在[2,6]上为减函数，所以f(xmax＝f(2＝2，f(xmin＝f(6＝.
5x－1
2
，x∈[2,6]，则f(x的最大值为________，最小值为________．x－1

题型一确定函数的单调性(区间
命题点1给出具体解析式的函数的单调性
例1(1函数f(x＝log1(x2－4的单调递增区间是(
2
A．(0，＋∞C．(2，＋∞
B．(－∞，0D．(－∞，－2
(2y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________．答案(1D(2(－∞，－1]，[0,1]
解析(1因为y＝log1t，t>0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函
2
数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2．
(2由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－12＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋12＋4，
二次函数的图象如图．

由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数.命题点2解析式含参数的函数的单调性
ax
例2已知函数f(x＝2(a>0，用定义法判断函数f(x在(－1,1上的单调性．
x－1

解设－1<x1<x2<1，则f(x1－f(x2＝
ax1ax2
x21－1－x22
－1＝ax1x22－ax1－ax2x2
1＋ax2ax2－x1x1x2＋1x2＝1－1x22－1x21－1x2
2
－1∵－1<x1<x2<1，
∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1(x22
－1>0.又∵a>0，∴f(x1－f(x2>0，∴函数f(x在(－1,1上为减函数．引申探究
如何用导数法求解例2?
解f′(x＝a·x2－1－ax·2x－ax2＋1x2－12＝x2－12，
∵a>0，∴f′(x<0在(－1,1上恒成立，故函数f(x在(－1,1上为减函数．思维升华确定函数单调性的方法
(1定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法．(2复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”．(3图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．
(1已知函数f(x＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为(A．(－∞，1]B．[3，＋∞C．(－∞，－1]
D．[1，＋∞
(2函数f(x＝(3－x2ex的单调递增区间是(A．(－∞，0B．(0，＋∞
C．(－3,1D．(－∞，－3和(1，＋∞
答案(1B(2C
解析(1设t＝x2－2x－3，则t≥0，即x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，


所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞上单调递增．
所以函数f(x的单调递增区间为[3，＋∞．
(2f′(x＝－2x·ex＋ex(3－x2＝ex(－x2－2x＋3＝ex[－(x＋3(x－1]．
当－3<x<1时，f′(x>0，所以函数y＝(3－x2ex的单调递增区间是(－3,1，故选C.题型二函数的最值
1＋x，x≤0，
例3(1(2016·诸暨质检已知f(x＝其中a>0.
log2x2＋2x＋a，x>0，

若函数f(x的值域为R，则实数a的取值范围是________．答案(0,2]
解析设t＝x2＋2x＋a(x>0，则t>a，∴log2t>log2a，
又x≤0时，f(x≤1，又f(x的值域为R，∴log2a≤1，∴0<a≤2.
x2＋2x＋a
(2已知f(x＝，x∈[1，＋∞，且a≤1.
x1
①当a＝时，求函数f(x的最小值；
2
②若对任意x∈[1，＋∞，f(x>0恒成立，试求实数a的取值范围．11
解①当a＝时，f(x＝x＋＋2，
22x
1
又x∈[1，＋∞，所以f′(x＝1－2>0，即f(x在[1，＋∞上是增函数，
2x所以f(xmin＝f(1＝1＋
17＋2＝.
22×1
a
②f(x＝x＋＋2，x∈[1，＋∞．
x
(ⅰ当a≤0时，f(x在[1，＋∞内为增函数．最小值为f(1＝a＋3.
要使f(x>0在x∈[1，＋∞上恒成立，只需a＋3>0，所以－3<a≤0.
a
(ⅱ当0<a≤1时，f′(x＝1－2，
x

因为x∈[1，＋∞，所以f′(x≥0，即f(x在[1，＋∞上为增函数，所以f(xmin＝f(1＝a＋3，即a＋3>0，a>－3，所以0<a≤1.
综上所述，f(x在[1，＋∞上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1]．
思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路
(1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(1函数y＝x＋x－1的最小值为________．
x2＋8
(2函数f(x＝(x>1的最小值为________．
x－1答案(11(28解析(1易知函数y＝x＋换元法求解
x2＋8
(2方法一(基本不等式法f(x＝
x－1x－12＋2x－1＋9＝
x－19
＝(x－1＋＋2≥2
x－1
9
x－1·＋2＝8，
x－1
x－1在[1，＋∞上为增函数，∴x＝1时，ymin＝1.(本题也可用
9
当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(xmin＝8.
x－1x－4x＋2
方法二(导数法f′(x＝，
x－12令f′(x＝0，得x＝4或x＝－2(舍去．

当1<x<4时，f′(x<0，f(x在(1,4上是递减的；当x>4时，f′(x>0，f(x在(4，＋∞上是递增的，
所以f(x在x＝4处取到极小值也是最小值，即f(xmin＝f(4＝8.
题型三函数单调性的应用命题点1比较大小
例4已知函数f(x的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2－f(x1]·(x21
－x1<0恒成立，设a＝f(－，b＝f(2，c＝f(3，则a，b，c的大小关系为(
2A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c答案D
解析根据已知可得函数f(x的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞上是减函数，因为a155
＝f(－＝f(，且2<<3，所以b>a>c.
222命题点2解函数不等式
1
例5(2016·温州模拟定义在R上的奇函数y＝f(x在(0，＋∞上递增，且f(＝0，则满足
2f(log1x>0的x的集合为________________．
9
1
答案{x|0<x<或1<x＜3}
3
11
解析由题意知f(＝0，f(－＝0，
221
由f(log1x>0，得log1x>，
2
9
9
11
或－<log1x<0，解得0<x<或1<x<3.
23
9
命题点3求参数范围
例6(1如果函数f(x＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4上是单调递增的，则实数a的取值范围是(1A．a>－
4
1
B．a≥－
4

1
C．－≤a<0
41
D．－≤a≤0
4
2－ax＋1，x<1，fx1－fx2
(2已知f(x＝x满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取
x1－x2a，x≥1

值范围是________．3
答案(1D(2[，2
2
解析(1当a＝0时，f(x＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4上单调递增；1当a≠0时，二次函数f(x的对称轴为x＝－，
a因为f(x在(－∞，4上单调递增，11
所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
a41
综合上述得－≤a≤0.
4
(2由已知条件得f(x为增函数，2－a>0，所以a>1，
2－a×1＋1≤a，


33
解得≤a<2，所以a的取值范围是[，2．
22
思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
1
(1(2016·杭州滨江区模拟已知函数f(x＝x(ex－x，若f(x1<f(x2，则(
e
A．x1>x2
B．x1＋x2＝0

C．x1<x22D．x21<x2
2x＋k
(2(2016·金华模拟要使函数y＝与y＝log3(x－2在(3，＋∞上具有相同的单调性，则
x－2实数k的取值范围是________．答案(1D(2(－∞，－41
解析(1f(－x＝－x(x－ex＝f(x，
e∴f(x在R上为偶函数，11
f′(x＝ex－x＋x(ex＋x，
ee
∴当x>0时，f′(x>0，∴f(x在[0，＋∞上为增函数，由f(x1<f(x2，得f(|x1|<f(|x2|，∴|x1|<|x2|，
2<x2.∴x12
(2由于y＝log3(x－2的定义域为(2，＋∞，且为增函数，故函数y＝log3(x－2在(3，＋∞上是增函数．2x＋k2x－2＋4＋k4＋k
又函数y＝＝＝2＋，
x－2x－2x－2因其在(3，＋∞上是增函数，故4＋k<0，得k<－4.
1．解抽象函数不等式
典例(15分函数f(x对任意的m、n∈R，都有f(m＋n＝f(m＋f(n－1，并且x>0时，恒有f(x>1.
(1求证：f(x在R上是增函数；(2若f(3＝4，解不等式f(a2＋a－5<2.
思维点拨(1对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2－f(x1并与0比较大小．(2将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M<f(N的形式．规范解答
(1证明设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∵当x>0时，f(x>1，∴f(x2－x1>1.



[2分]

f(x2＝f[(x2－x1＋x1]＝f(x2－x1＋f(x1－1，∴f(x2－f(x1＝f(x2－x1－1>0⇒f(x1<f(x2，∴f(x在R上为增函数．

[4分]
[7分]
(2解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1＝f(1＋f(1－1⇒f(2＝2f(1－1，


[8分]
f(3＝4⇒f(2＋1＝4⇒f(2＋f(1－1＝4⇒3f(1－2＝4，∴f(1＝2，∴f(a2＋a－5<2＝f(1，∵f(x在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2．




解函数不等式问题的一般步骤
第一步：(定性确定函数f(x在给定区间上的单调性；第二步：(转化将函数不等式转化为f(M<f(N的形式；
第三步：(去f运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：(求解解不等式或不等式组确定解集；
第五步：(反思反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范.
[15分]



[12分]

1．(2016·北京东城区模拟下列函数中，在区间(1，＋∞上是增函数的是(A．y＝－x＋11
B．y＝
1－xC．y＝－(x－12D．y＝31x答案B
解析A中，函数在(1，＋∞上为减函数，C中，函数在(1，＋∞上为减函数，D中，函数在(1，＋∞上为减函数．
－

2．函数f(x＝|x－2|x的单调减区间是(A．[1,2]C．(0,2]答案A
2x－2x，x>2，
解析f(x＝
2
－x＋2x，x≤2，
B．[－1,0]D．[2，＋∞

当x>2时，f(x为增函数，
当x≤2时，(－∞，1]是函数f(x的增区间；[1,2]是函数f(x的减区间．
3．已知函数y＝log2(ax－1在(1,2上单调递增，则实数a的取值范围是(A．(0,1]C．[1，＋∞答案C
解析要使y＝log2(ax－1在(1,2上单调递增，则a>0且a－1≥0，即a≥1.
a，x>1，
4．已知f(x＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是(a
4－x＋2，x≤12A．(1，＋∞C．(4,8答案B
B．[4,8D．(1,8
x
B．[1,2]D．[2，＋∞

a
解析由已知可得4－2>0，
a
a≥4－2＋2，
a>1，

解得4≤a＜8.
5．(2016·宁波模拟已知函数f(x是定义在区间[0，＋∞上的函数，且在该区间上单调递增，1
则满足f(2x－1<f(的x的取值范围是(
312A．(，
3312C．(，
23答案D
12B．[，
3312D．[，
23

2x－1≥0，12
解析由已知，得即≤x<.123
2x－1<3，
6．定义新运算：当a≥b时，a(2
b＝a；当a<b时，a
b＝b2，则函数f(x＝(1
xx－

x，x∈[－2,2]的最大值等于(
A．－1B．1C．6D．12答案C
解析由已知得，当－2≤x≤1时，f(x＝x－2，当1<x≤2时，f(x＝x3－2.
∵f(x＝x－2，f(x＝x3－2在定义域内都为增函数，∴f(x的最大值为f(2＝23－2＝6.
7．(2017·杭州检测设函数f(x与g(x的定义域为R，且f(x单调递增，F(x＝f(x＋g(x，G(x＝f(x－g(x．若对任意x1，x2∈R(x1≠x2，不等式[f(x1－f(x2]2>[g(x1－g(x2]2恒成立，则(A．F(x，G(x都是增函数B．F(x，G(x都是减函数C．F(x是增函数，G(x是减函数D．F(x是减函数，G(x是增函数答案A
解析由[f(x1－f(x2]2－[g(x1－g(x2]2>0，得[F(x1－F(x2][G(x1－G(x2]>0，所以F(x，G(x的单调性相同，又因为F(x＋G(x＝2f(x为增函数，所以F(x，G(x都是增函数，故选A.
1x
8．函数f(x＝3－log2(x＋2在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3
1x解析由于y＝3在R上递减，y＝log2(x＋2在[－1，1]上递增，所以f(x在[－1,1]上单调递减，故f(x在[－1,1]上的最大值为f(－1＝3.

1，x>0，
9．(2016·杭州模拟设函数f(x＝0，x＝0，
－1，x<0，答案[0,1
x，x>1，

解析由题意知g(x＝0，x＝1，
－x，x<1，
2
2

g(x＝x2f(x－1，则函数g(x的递减区间是___．


函数的图象如图所示，其递减区间为[0,1．

2x－4x＋3，x≤0，
*10.(2016·北京东城区模拟已知f(x＝2不等式f(x＋a>f(2a－x在[a，
－x－2x＋3，x>0，

a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－2
解析二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞上单调递减，∴－x2－2x＋3<3，∴f(x在R上单调递减，∴由f(x＋a>f(2a－x得到x＋a<2a－x，即2x<a，∴2x<a在[a，a＋1]上恒成立，∴2(a＋1<a，∴a<－2，
∴实数a的取值范围是(－∞，－2．11
11．已知函数f(x＝－(a>0，x>0．
ax(1求证：f(x在(0，＋∞上是增函数；
11
(2若f(x在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
22(1证明任取x1>x2>0，

1111
则f(x1－f(x2＝－－＋
ax1ax2x1－x2＝，∵x1>x2>0，x1x2∴x1－x2>0，x1x2>0，
∴f(x1－f(x2>0，即f(x1>f(x2，∴f(x在(0，＋∞上是增函数．
1
(2解由(1可知，f(x在[，2]上为增函数，
211111
∴f(＝－2＝，f(2＝－＝2，
2a2a22解得a＝.
5
12．(2017·金华十校高三上学期调研已知函数f(x＝|ax2－8x|(0<a≤8，求函数f(x在区间[－1,1]上的最大值．
416
解f(－1＝|a＋8|>f(1＝|a－8|，f(＝≥2，
aa4
①当0<a≤4，即1≤时，f(xmax＝f(－1＝a＋8；
a416
②当4<a≤8时，f(－1＝a＋8，f(＝，
aa16
当a＋8＝时，a＝42－4，
a
所以当a>42－4时，f(xmax＝f(－1＝a＋8.综上，f(xmax＝a＋8.
a
13.已知函数f(x＝lg(x＋－2，其中a是大于0的常数．
x(1求函数f(x的定义域；
(2当a∈(1,4时，求函数f(x在[2，＋∞上的最小值；(3若对任意x∈[2，＋∞恒有f(x>0，试确定a的取值范围．x2－2x＋aa
解(1由x＋－2>0，得>0，
xx当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞；

当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－a
(2设g(x＝x＋－2，
x当a∈(1,4，x∈[2，＋∞时，
2
ax－a
g′(x＝1－2＝2>0恒成立，
xx
1－a或x>1＋1－a}．
a
所以g(x＝x＋－2在[2，＋∞上是增函数．
xa
x＋－2在[2，＋∞上是增函数．所以f(x＝lgxaax＋－2在[2，＋∞上的最小值为f(2＝lg.所以f(x＝lgx2
a
(3对任意x∈[2，＋∞恒有f(x>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞恒成立．
x所以a>3x－x2，令h(x＝3x－x2，
39
x－2＋在[2，＋∞上是减函数，而h(x＝3x－x2＝－24所以h(xmax＝h(2＝2，所以a的取值范围为(2，＋∞．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/fbdf36fc4a2fb4daa58da0116c175f0e7dd11935.html

《第二章 2.2.doc》
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