毕达哥拉斯悖论与数学史上的第一次数学危机

毕达哥拉斯悖论与数学史上的第一次数学危机

公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派认为宇宙的本质就是数的和谐，倡导一种“唯数论”的哲学观点，认为“万物皆数（有理数）”，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比）， 除此之外不再有别的数。

然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯索斯（Hippasus）很快便发现了这个论断的问题。他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。假设正方形边长为1，并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？显然根据“万物皆数（有理数）”的哲学，d不是整数，就是两整数之比。希伯索斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明，用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有c2=2a2，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素，于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m，则有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论（悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式），与毕达哥拉斯学派的“万物皆数（有理数）”的哲学大相径庭，使得毕氏学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到了毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍的扔进了大海。

希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数所对应的数轴上的点并没有布满数轴。在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”，而这种“孔隙”经后人证明简直多的不可胜数。无理数的发现被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响。人民为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，把不能写成两个整数之比的数取名“无理数”——这就是无理数的由来。之后，许多数学家正式研究了无理数并给出了无理数的定义。其中，德国数学家戴德基金（Dedekind1831~1916）用有理数的“分割”来定义无理数，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，从而也结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机，为数学分析的发展奠定了基础。由无理数引发的危机影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，史上称之为第一次数学危机。其影响巨大，极大的推动了数学及其相关学科的发展。

第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，是数学思想史上的一次巨大革命。

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