状元推荐2019年上海市高考数学二模合集真题(1)

上海市虹口区2019届高三数学二模试题（含解析）

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.设全集，若，则________

【答案】

【解析】

【分析】

先化简集合A，再利用补集定义直接求解．

【详解】∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2），

∴∁UA＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]

故答案为：[2，4]

【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.若复数（为虚数单位），则的共轭复数________

【答案】

【解析】

【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，

得．

故答案为：1﹣2i．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．

3.已知，在第四象限，则________

【答案】

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得的值．

【详解】∵cosθ，且θ是第四象限角，则sinθ，

又sinθ=，

故答案为．

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．

4.行列式的元素的代数余子式的值等于________

【答案】7

【解析】

【分析】

利用代数余子式的定义和性质直接求解．

【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：

（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．

故答案为：7．

【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________

【答案】

【解析】

【分析】

设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，计算出事件A包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得．

【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，基本事件的总数为25＝32个，而5人都选同一天包含2种基本事件，

故A包含32﹣2＝30个基本事件，

∴p（A）．

故填：．

【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法，属于基础题．

6.已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________

【答案】2

【解析】

【分析】

求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．

【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．

点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，

M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查．

7.若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】

利用数形结合，通过a与0的大小讨论，转化求解a的范围即可．

【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点，

就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；

当a＞0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：

函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点，

必须，解得a＞4；

当a≤0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：

函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点，

综上a∈（4，+∞）．

故答案为：（4，+∞）．

【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．

8.若函数（）为偶函数，则的值为________

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得k的值，即可得答案．

【详解】根据题意，函数（k∈R）为偶函数，

则有f（﹣x）＝f（x），

即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），

变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，

则有k＝﹣1；

故答案为：﹣1

【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．

9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________

【答案】

【解析】

【分析】

由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．

【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，如图:

由三视图可知：底面的底和高均为2，棱锥的高为2，

故底面S2×2

故棱锥的体积VSh2，

故答案为．

【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．

10.在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、、、，则双曲线的方程为________

【答案】

【解析】

【分析】

求出B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出a，b即可得到双曲线方程．

【详解】由题意可得c＝1，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，如图所示，

双曲线Γ是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E，

可得B（，），代入双曲线方程可得：，a2+b2＝1，解得a2，b2，

所求双曲线的方程为：．

故答案为：．

【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．

11.若函数，则的值为________

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值，据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得f（x）＝f（x+6），（x>0），据此可得f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3），即可得答案．

【详解】根据题意，函数，

当x≤0时，f（x）＝2﹣x，则f（0）＝20＝1，f（﹣1）＝2﹣1＝2，

当x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），①

f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），②

①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），

∴f（x+4）＝﹣f（x+1）= f（x﹣2），即f（x+6）＝f（x），，

又f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）

而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，

f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2，

f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，

∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；

故答案为：﹣1．

【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题．

12.过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________

【答案】

【解析】

【分析】

根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义，求出PC的最小值，计算再计算的最小值．

【详解】圆C：（xm）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，

∴PC，

PA＝PB，

cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，

∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，

当且仅当PC时取等号，

∴的最小值为23．

故答案为：23．

【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.

【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，

还有一种情况可能是直线和平面相交， ∴不满足充分性；

当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，

∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件

故选：B．

【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．

14.钝角三角形的面积是，，，则等于（ ）

A. 1 B. 2 C. D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

由三角形的面积公式求得角B，再由余弦定理求得AC的值．

【详解】由题意，钝角△ABC的面积是

S•AB•BC•sinB1sinBsinB，

∴sinB，

∴B或（不合题意，舍去）；

∴cosB，

由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cosB＝1+2﹣2×1（）＝5，

解得AC的值为．

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．

15.已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的区域，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．由此可得结论．

【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3，2）时，|OP|最长，因为kOP，则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4），即．

故选：D．

【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．

16.已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

Sn•，①n为奇数时，Sn•，根据单调性可得：Sn≤2；②n为偶数时，Sn•，根据单调性可得：≤Sn．可得Sn的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．

【详解】Sn•，

①n为奇数时，Sn•，可知：Sn单调递减，且•，∴Sn≤S1＝2；

②n为偶数时，Sn•，可知：Sn单调递增，且•，∴S2≤Sn．

∴Sn的最大值与最小值分别为：2，．

考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，

∴A．

B．

∴B﹣A的最小值．

故选：B．

【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.已知函数（，）.

（1）若函数的反函数是其本身，求的值；

（2）当时，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．

（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．

【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，

所以f（x）的反函数ay＝9﹣3x，x＝，

反函数为y＝，所以a＝3．

（2）当时，f（x）＝，f（﹣x）＝，

则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3，

故最小值为﹣3．

【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题．

18.如图，在多面体中，、、均垂直于平面，，，，.

（1）求与平面所成角的大小；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

由题意建立空间直角坐标系．

（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1 的一个法向量，则线面角可求；

（2）求出平面AA1B1 的一个法向量，结合（1），由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．

【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系，

∵AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，

∴A（0，0，0），A1 （0，0，4），B1 （，﹣1，2），C1 （0，2，3）．

（1），，，

设平面A1B1C1 的一个法向量为，

由，取y＝1，得．

∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．

∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；

（2）设平面AA1B1 的一个法向量为，

由，取x1＝1，得．

∴cos．

∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．

【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角，考查计算能力，是中档题．

19.如图，一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.

（1）求关于的函数关系式；

（2）当时，求的最大值.

【答案】（1）S（2）

【解析】

【分析】

（1）根据条件讨论α的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可．

（2）利用两角和差的三角公式进行化简，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．

【详解】（1），

则OA＝1，即AE＝tanα，

∠HOFα，

HF＝tan（α），

则△AOE，△HOF得面积分别为tanα，tan（α），

则阴影部分的面积S＝1，，

当∈[，）时，E在BH上，F在线段CH上，如图②，

EH，FH，则EF，

则S（），

即，；

同理当，；

即S．

（2）当时，S＝12（1+tanα）

∵0≤tanα≤1，即1≤1+tanα≤2，

则1+tanα22，

当且仅当1+tanα，即1+tanα时取等号，

即，即S的最大值为2

【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．

20.设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于、两点.

（1）若，求此时直线的方程；

（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求证：直线过定点；

（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、，若△的面积是△的面积的两倍，如图，求线段中点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用2得直线方程．

（2由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．由此可求直线PQ的方程，可得结论；

（3）利用△的面积是△的面积的两倍，求出N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．

【详解】（1）抛物线焦点坐标为F（1，0），设直线方程为x＝my+1，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得：y2﹣4my﹣4＝0，

则由韦达定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②

∵2，

∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，

由①②③可得m2，∴,

∴直线方程为x＝y+1，即．

（2）由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,

同理可得Q（，﹣）．

m时，直线PQ的斜率kPQ，

直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2），整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直线PQ恒过定点E（3，0），

m＝±1时，直线PQ的方程为：x＝3，也经过点E（3，0）．

综上所述：直线PQ恒过定点E（3，0）．

（3）设S（x1，y1），T（x2，y2），

F（1，0），准线为 x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，

设直线TS与x轴交点为N，

∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，

∵的面积是△TSF的面积的两倍，

∴|FN|＝，∴|FN|=1,

∴xN＝2，即N（2，0）．

设TS中点为M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），

又，

∴，即y2＝2x﹣4．

∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．

【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，考查轨迹方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题．

21.设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，

均有；

（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.

【答案】（1），；（2）；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）①a1＝1，an2＝Sn+Sn﹣1（n∈N*，n≥2），Sn+1+Sn，相减可得：an+1+an，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得an．

②数列{bn}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…bn﹣1，相除可得bn．

（2）cn，利用求和公式与裂项求和方法可得：Tn．作差Tn+1﹣Tn，利用其单调性即可得出．

（3）x＝k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），

①要使x＞0，则必须kn＝1．其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外kn＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．

②其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．利用反证法证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和．

【详解】（1）①a1＝1，an2＝Sn+Sn﹣1（n∈N*，n≥2），

∴Sn+1+Sn，相减可得：an+1+an，

化为：（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）＝0，

∵an+1+an＞0，

∴an+1﹣an＝1，

又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，

解得：a2＝2，

∴a2﹣a1＝1，

∴数列{an}设等差数列，an＝1+n﹣1＝n．

②数列{bn}满足（n∈N*）．

n≥2时，b1b2•…bn﹣1，

∴．

（2）cn，

∴Tn（1）．

Tn+1﹣Tn（）．

n≤3时，Tn+1≥Tn．

n≥4时，Tn+1≤Tn．

当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有Tm≥Tn．

（3）x＝k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），

①要使x＞0，则必须kn＝1．其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．

证明：若kn＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+kn﹣1•2n﹣1﹣kn•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n＝﹣2＜0，

此时x恒为负数，不成立．

∴kn＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，

故k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．

②其它k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．

此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．

证明：k1，k2，…，kn﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），

利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．

下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：

证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，

x1＝2n+kn﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．ki，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），

即满足ki∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．

则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，

而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．

因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．

③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含knbn＝2n）．

又ki＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有kibi（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．

故集合B中所有元素的和为所有knbn＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．

【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

嘉定（长宁）区高2019届三第二次质量调研（二模）

数学试卷

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果

1.已知集合，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

直接进行交集的运算即可．

【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；

∴A∩B＝{3，4}．

故答案为：{3，4}．

点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．

2.已知复数满足（是虚数单位），则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解．

【详解】解：由i＝3+4i，得，

∴|z|＝||．

故答案为：5．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．

【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值

而线性方程组的增广矩阵为，

可直接写出线性方程组为即

把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．

故答案为：

【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．

4.在的二项展开式中，常数项的值为______________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用二项展开式的通项公式即可得出

【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：Tr+1x4﹣rx4﹣2r，

令4﹣2r＝0，解得r＝2．

∴常数项6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5.已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．

【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，

所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，

故答案为：10π．

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．

6.已知实数满足，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．

化z＝x+2y为yx，由图可知，当直线yx过A（0，﹣1）时，

直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．

故答案为：﹣2．

点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

7.设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．

【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），

∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．

把点（0，1）代入，可得a＝1．

∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．

由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．

故答案为：x＝1．

【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．

8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)

【答案】

【解析】

【分析】

基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．

【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，

基本事件总数n10．

选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，

则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．

故答案为：．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9.已知直线 （为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．

【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，

直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，

设A（，），B（，），

线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，

y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，

线段AB的长：•8．

故答案为：8．

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．

10.在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．

【详解】解∵

∵A，P，D三点共线，∴，即m．

∴

，

又∵．

∴，即CA•CB＝8．

∴

∴

．

故答案为：2．

【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．

11.已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．

【答案】

【解析】

【分析】

设数列{}的前n项和为Tn，则S（n）＝Tm﹣Tn，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．

【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝nn2，

则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，

故填：﹣2n﹣1．

【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．

12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．

【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，

所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），

当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），

又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），

所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，

当x∈[1，3]时f（x）单调递减．

当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，

所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．

设g（x），若对于x属于[0，1]都有，

因为g（0）∈[，]．

故g（x）∈[，]．

①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，

故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．

②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，

即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．

③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，

即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，

④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，

故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，

综上t∈[0，3]．

故填：[0，3]．

【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．

二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)

13.已知,则“”是“”的 ．

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.

【详解】解：“”⇔0＜x＜1．

∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14..产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图 （％） ．

在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )

A. 年第三季度环比有所提高 B. 年第一季度同比有所提高

C. 年第三季度同比有所提高 D. 年第一季度环比有所提高

【答案】C

【解析】

【分析】

根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．

【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；

2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；

2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；

2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．

故选：C．

【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．

15.已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹为（ ）

A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可得PM﹣PC＝BC＝3（定值），且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．

【详解】解：可得圆（x﹣2）2+y2＝9的圆心为C（2，0），半径为R＝3．

如图，∵CB＝CA＝R＝3，∴∠CBA＝∠CAB，

∵AC∥MP，∴，∴∠CBA＝∠CAB＝∠PMA，

∴PM＝PB＝PC+BC

⇒PM﹣PC＝BC＝3（定值），且3＜MC．

∴点P的轨迹是双曲线的一部分，

故选：C．

【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了定义法求轨迹方程，考查了数形结合思想，属于中档题.

16.对于，若存在，满足，则称为“类三角形”.“类三角形”一定满足（ ）

A. 有一个内角为 B. 有一个内角为 C. 有一个内角为 D. 有一个内角为

【答案】B

【解析】

分析】

由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．

【详解】解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B，

所以：+＝π﹣（A+B）＝C，

于是：cosC＝sin＝sin（+）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的

算步骤.）

17.已知正四棱柱的底面边长为，与底面所成的角为

(1)求三棱锥的体积；

(2)求异面直线与所成的角的大小.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由AA1⊥平面ABCD，得∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，从而∠A1BA，进而AA1＝AB＝1，由此能求出三棱锥A1﹣BCD的体积；

（2）由A1D∥B1C，得∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成的角的大小．

【详解】解：（1） 因为是正四棱柱，

所以底面为正方形，平面，

所以就与底面所成角，即，

进而得，

，

（2）因为,

所以就是异面直线与所成角，

由知，

所以异面直线与所成角为.

【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18.已知函数，

(1)若，且，求的值；

(2)求函数最小正周期及函数在上单调递减区间.

【答案】（1）（2）周期为，

【解析】

【分析】

（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值；

（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．

【详解】解：（1） 因为，且,

所以，

所以

（2）

，

，

所以的最小正周期为

当时，，

再由得，，

函数在上的递减区间为

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．

19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚万元，且每年的能源消耗费用(万元)与隔热层厚度(毫米)满足关系， 设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.

(1)请解释的实际意义，并求的表达式;

(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用最少?并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱?

【答案】（1）（2）90

【解析】

【分析】

（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；

（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．

【详解】解：（1） 表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元，

设隔热层建造厚度为毫米，则

，

（2）

当，即时取等号

所以当隔热层厚度为时总费用最小万元，

如果不建隔热层，年业主将付能源费万元，

所以业主节省万元.

【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．

20.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于

（1）求的周长

（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上，若，求点的横坐标

（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴对称点，直线与轴交于点求面积最大值.

【答案】（1）8（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）由椭圆定义可得结果；

（2）设，利用及点在椭圆上，即可解得点的横坐标；

（3）设，直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得结果.

【详解】解:（1） 椭圆的长轴长为

由椭圆定义知，的周长为；

（2）由椭圆方程得，

设，

由，得， ①

点线段上，所以满足方程为②

将①式代入②，得，

代入椭圆方程，得，

因为，所以

（3）设，直线的方程为，

则点的坐标为，直线的方程为，

，

将直线方程代入椭圆方程得：

，

则，

所以，

，

所以面积的最大值为

【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了转化思想与计算能力，是中档题．

21.记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令求

(1)若，写出的值;

(2)设，若，求的值及时数列的前项和；

(3)求证:“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列 .

【答案】（1），（2）见解析（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）分别计算出，，，结合题意即可得b1，b2，b3，b4的值；

（2）由新定义，可得λ＞0，考虑三种情况求得λ，检验可得所求λ；进而得到bn，由数列的分组求和，可得所求和；

（3）充分性易证，无论d为何值，始终有bn，即可证得结果，必要性须分类证明．

【详解】解：（1） 因为，所以，

所以，

（2），

当时，，无解；

当时，，无解；

当时，,解得；

当时，无解，

此时，

当时，，

所以当时递增，

，

所以当时，

（3）必要性：数列是等差数列，设其公差为.

当时是递增数列；当时是常数列；当时，是递减数列；

都有，

所以数列是等差数列.

充分性：数列是等差数列，设其公差为

则，

由题意知，，

当时，对任意都成立，

即，所以是递增数列，

，

所以是公差为的等差数列，

当时，，进而

所以是递减数列，，

，

所以是公差为的等差数列

当时，，

因为与中至少有一个为，所以二者都为，

进而得为常数列，

综上，充分性成立.

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题．

上海市嘉定区2019届高三数学第二次质量调研（二模）试题（含解析）

一、填空题：考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.已知集合，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

直接进行交集的运算即可．

【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；

∴A∩B＝{3，4}．

故答案为：{3，4}．

【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．

2.已知复数满足（是虚数单位），则______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用复数的四则运算求出后用公式算其模.

【详解】，故．

【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.

3.若线性方程组的增广矩阵为，解为，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据增广矩阵可得线性方程组，代入解后可求，从而得到.

【详解】线性方程组为，因其解为，

故，所以

【点睛】本题考查增广矩阵的概念，属于基础题.

4.在的二项展开式中，常数项的值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用二项展开式的通项公式即可得出

【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：Tr+1x4﹣rx4﹣2r，

令4﹣2r＝0，解得r＝2．

∴常数项6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5.已知一个圆锥的主视图（如图所示）是边长分别为，，的三角形，则该圆锥的侧面积为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．

【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，

所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，

故答案为：10π．

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．

6.已知实数，满足，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．

化z＝x+2y为yx，由图可知，当直线yx过A（0，﹣1）时，

直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

7.设函数（其中为常数）的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为____．

【答案】

【解析】

【分析】

求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．

【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），

∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．

把点（0，1）代入，可得a＝1．

∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．

由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．

故答案为：x＝1．

【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．

8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为_______（结果用数值表示）．

【答案】

【解析】

【分析】

基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．

【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，

基本事件总数n10．

选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，

则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．

故答案为：．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9.已知直线（为参数）与抛物线相交于、两点，若线段中点的坐标为，则线段的长为____．

【答案】

【解析】

【分析】

化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．

【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，

直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，

设A（，），B（，），

线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，

y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，

线段AB的长：•8．

故答案为：8．

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．

10.在 中．已知，为线段上的一点，且满足．若的面积为，，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．

【详解】解∵

∵A，P，D三点共线，∴，即m．

∴

，

又∵．

∴，即CA•CB＝8．

∴

∴

．

故答案为：2．

【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．

11.已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为，……，第项及以后所有项和为．若是首项为、公差为的等差数列的前项和．则当时，______．

【答案】

【解析】

【分析】

设数列{}的前n项和为Tn，则S（n）＝Tm﹣Tn，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．

【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝nn2，

则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，

故填：﹣2n﹣1．

【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．

12.已知定义在上的奇函数满足．且当时，．若对于任意，都有，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】

f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．

【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，

所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），

当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），

又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），

所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，

当x∈[1，3]时f（x）单调递减．

当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，

所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．

设g（x），若对于x属于[0，1]都有，

因为g（0）∈[，]．

故g（x）∈[，]．

①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，

故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．

②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，

即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．

③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，

即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，

④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，

故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，

综上t∈[0，3]．

故填：[0，3]．

【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．

二、选择题：每题有且只有一个正确选项．

13.已知，则“”是“”的（ ）．

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.

【详解】解：“”⇔0＜x＜1．

∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工r产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．

在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．

据上述信息，下列结论中正确的是（ ）．

A. 2015年第三季度环比有所提高 B. 2016年第一季度同比有所提高

C. 2017年第三季度同比有所提高 D. 2018年第一季度环比有所提高

【答案】C

【解析】

【分析】

根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．

【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；

2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；

2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；

2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．

故选：C．

【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．

15.已知的圆心为．过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹为（ ）．

A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分

C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可得PM﹣PC＝BC＝3（定值），且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．

【详解】解：可得圆（x﹣2）2+y2＝9的圆心为C（2，0），半径为R＝3．

如图，∵CB＝CA＝R＝3，∴∠CBA＝∠CAB，

∵AC∥MP，∴，∴∠CBA＝∠CAB＝∠PMA，

∴PM＝PB＝PC+BC

⇒PM﹣PC＝BC＝3（定值），且3＜MC．

∴点P的轨迹是双曲线的一部分，

故选：C．

【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了定义法求轨迹方程，考查了数形结合思想，属于中档题.

16.对于，若存在 ，满足，则称为“类三角形”．“类三角形”一定满足（ ）．

A. 有一个内角为 B. 有一个内角为

C. 有一个内角为 D. 有一个内角为

【答案】B

【解析】

【分析】

由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．

【详解】解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B，

所以：+＝π﹣（A+B）＝C，

于是：cosC＝sin＝sin（+）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．

三、解答题：解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17.已知正四棱柱的底面边长为，与底面所成的角为．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由AA1⊥平面ABCD，得∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，从而∠A1BA，进而AA1＝AB＝1，由此能求出三棱锥A1﹣BCD的体积；

（2）由A1D∥B1C，得∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成的角的大小．

【详解】解：（1） 因为正四棱柱，

所以底面为正方形，平面，

所以就是与底面所成角，即，

进而得，

，

（2）因为,

所以就是异面直线与所成角，

由知，

所以异面直线与所成角为.

【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18.已知函数．

（1）若，且，求的值；

（2）求函数的最小正周期及函数在上的单调递减区间．

【答案】（1）（2）周期为，

【解析】

【分析】

（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值；

（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．

【详解】解：（1） 因为，且,

所以，

所以

（2）

，

，

所以的最小正周期为

当时，，

再由得，，

函数在上的递减区间为

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．

19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年．已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（毫米）满足关系：．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．

（1）请解释的实际意义，并求的表达式；

（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？

【答案】（1）（2）90

【解析】

分析】

（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；

（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．

【详解】解：（1） 表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元，

设隔热层建造厚度为毫米，则

，

（2）

当，即时取等号

所以当隔热层厚度为时总费用最小万元，

如果不建隔热层，年业主将付能源费万元，

所以业主节省万元.