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中考数学专题训练---二次函数的综合题分类含详细答案

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一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）【解析】
试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛
；（4）（，
）．
物线的解析式联立，得到方程组
，解方程组即可求出点M的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：故可得点A的坐标为（，）；
，解得：，或
．

（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+=
﹣；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．
由，解得，）．
，
∴点M的坐标为（，

考点：二次函数的综合题


2．已知二次函数yax22ax3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为
D.
（1）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标；（2）点P(t,0是x轴上的动点，
①求PCPD的最大值及对应的点P的坐标；
②设Q(0,2t是y轴上的动点，若线段PQ与函数ya|x|2ax3的图像只有一个
2
公共点，求t的取值范围.
【答案】（1）yx22x3，C点坐标为(0,3，顶点D的坐标为(1,4；（2）①最大值是2，P的坐标为(3,0，②t的取值范围为t3或【解析】【分析】
（1）先利用对称轴公式x=
37t3或t.
22
2a
1，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代2a
入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；
x22x3,x0,
（3）先把函数中的绝对值化去，可知y2，此函数是两个二次函数
x2x3,x0.
的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．【详解】解：（1）∵x
2a
1，2a
∴yax2ax3的对称轴为x1.∵yax2ax3人最大值为4，∴抛物线过点1,4.得a2a34，解得a1.
∴该二次函数的解析式为yx22x3.
C点坐标为0,3，顶点D的坐标为1,4.
（2）①∵PCPDCD，

∴当P,C,D三点在一条直线上时，PCPD取得最大值.连接DC并延长交y轴于点P，PCPDCD1243
2
2.
∴PCPD的最大值是2.易得直线CD的方程为yx3.把Pt,0代入，得t3.∴此时对应的点P的坐标为3,0.
x22x3,x0,
②ya|x|2ax3的解析式可化为y2
x2x3,x0.
2
设线段PQ所在直线的方程为ykxb，将Pt,0，Q0,2t的坐标代入，可得线段
PQ所在直线的方程为y2x2t.
（1）当线段PQ过点3,0，即点P与点3,0重合时，线段PQ与函数
x22x3,x0,
y2的图像只有一个公共点，此时t3.
x2x3,x0.
x22x3,x0,
∴当t3时，线段PQ与函数y2的图像只有一个公共点.
x2x3,x0.
（2）当线段PQ过点0,3，即点Q与点C重合时，线段PQ与函数
x22x3,x0,3
y2的图像只有一个公共点，此时t.
2x2x3,x0.
当线段PQ过点3,0，即点P与点3,0重合时，t3，此时线段PQ与函数
x22x3,x0,
y2的图像有两个公共点.
x2x3,x0.
x22x3,x0,3
所以当t3时，线段PQ与函数y2的图像只有一个公共点.
2x2x3,x0.
（3）将y2x2t带入yx2x3x0，并整理，得x24x2t30.
2
Δ1642t3288t.
令288t0，解得t
7
.2
x22x3,x0,7
∴当t时，线段PQ与函数y2的图像只有一个公共点.
2x2x3,x0.
综上所述，t的取值范围为t3或【点睛】
37
t3或t.22

本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．

3．如图，已知直线ykx6与抛物线yax2bxc相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。
2
【答案】解：（1）yx2x3；（2）存在，P（
1-1313-1
，）；（3）Q点坐标22
73
）或（0，）或（0，－1）或（0，－3）.22
【解析】【分析】
为（0，-（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.【详解】
解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，∴y＝2x﹣6，令y＝0，解得：x＝3，∴B的坐标是（3，0）．

∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）存在．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝∴P（
1+131-13
（m＝＞0，舍），
22
1-1313-1
，）．22
（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，∴
5ADDQ15DQ1=，即，∴DQ1＝，ODDB2635
77
，即Q1（0，-）；22
∴OQ1＝
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，∴
OBOQ23OQ2，即，ODOB63
33
，即Q2（0，）；22
∴OQ2＝
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，


则△BOQ3∽△Q3EA，∴
OQ3OBOQ33，即Q3EAE4OQ31
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．

综上，Q点坐标为（0，-
73
）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．22

4．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）3）．【解析】
9
；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣4
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
93bc0b4∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；1bc0c3
（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣
32939
）+．∵a=﹣1＜0，∴当x=时，线段PD的长度有最大值；2424

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则
kb0k3
，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣
b3b3
3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M（2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．

点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．

5．已知抛物线yx26xc.
（1）若该抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围；
（Ⅱ）设该抛物线与直线y2x1交于M，N两点，若MN25，求C的值；（Ⅲ）点P，点Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA,QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，若OPAOQB，求c的取值范围.
【答案】（I）c9；（Ⅱ）c2；（Ⅲ）c的取值范围是【解析】【分析】
(1抛物线与x轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;
(2求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN的长度，列方程即可求解;(3由OPAOQB可知，P,Q两点的坐标特点，设坐标得到设点P的坐标为(m,n，则点Q的坐标为(n,m，代入二次函数，得到n,m的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】
21
c74

解：（I）∵抛物线yx26xc与x轴有交点，∴一元二次方程x26xc0有实根。
b24ac0，即624(1c0.解得c9
（Ⅱ）根据题意，设Mx1,2x11,Nx2,2x21
yx26xc由，消去y，得x24x1c0①.y2x1
由(424(1c124c0，得c3.∴方程①的解为x123c,
2
x223c
2
2
MN2x1x22x112x215x1x220(3c20(3c20，解得c2
（Ⅲ）设点P的坐标为(m,n，则点Q的坐标为(n,m，且m0,
n0,mn，
m26mcn222，两式相减，得nm7(mn0，即(mn(mn70n6ncm
mn7，即n7m
m27m7c0，其中0m7
2
由0，即74(1(c70，得c
21.4
当c
217
时，mn，不合题意。42
21
c74
又7c0，得c7.∴c的取值范围是【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式，数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．

6．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．


【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±5，0）或（-
3
，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2
710
，-）．
93
【解析】【分析】
2）或（-（1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；
（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；
（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；
3
，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则2
△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点．【详解】
（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；
（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），
②如图5，图3中的M（-


设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（-2，0）、C（0，2）代入得：
2kb＝0
，
b＝2
解得：
k＝1
，b＝2
∴直线AC的解析式为：y=x+2，∴D（n，n+2），
∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，∴S△ANC=
1
×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，2
∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：BC=2212=5，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=5，此时，M2（1-5，0），M3（1+5，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，


设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，解得：x=
3，2
∵M4在x轴的负半轴上，∴M4（-
3
，0），2
综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或
3
，0）；2
（4）存在两种情况：
（1±5，0）或（-①如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1Q⊥BC，

此时，△CP1Q∽△BCO，
∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，∴P1（-1，2），
3
，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，2
过P2作P2Q⊥BC，此时，△CP2Q∽△BCO，
②如图5，由（3）知：当M（-


易得直线CM的解析式为：y=
4
x+2，3
4yx2则，3
2yxx2
解得：P2（-
710
，-），
93
710
，-）．
93
综上所述，点P的坐标为：（-1，2）或（-【点睛】
本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．

7．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．

（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；
（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分

四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1S=﹣23t21003（0＜t＜5）；(2【解析】【分析】
（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；
（2）设PM=x，则AM=2x，可得AP=3x=4t，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=
30
;(3见解析.7
8t
，根据AM=AO+OM，列方程可得t的值；3
（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．【详解】
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∴∠OAB=30°，∵AB=20，
∴OB=10，AO=103，由题意得：AP=4t，∴PQ=2t，AQ=23t，∴S=S△ABC﹣S△APQ，==
1
∠ABC=60°，AC⊥BD，2
11AC·OBPQ·AQ，2211
102032t23t，22
=﹣23t2+1003（0＜t＜5）；（2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，∵点Q关于O的对称点为M，∴OM=OQ，设PM=x，则AM=2x，∴AP=3x=4t，∴x=
4t
，3
8t
∴AM=2PM=，
3
∵AM=AO+OM，∴
8t
=103+103﹣23t，3

t=
30；7
30
秒时，点P、M、N在一直线上；7
（3）存在，
如图3，∵直线PN平分四边形APMN的面积，∴S△APN=S△PMN，
过M作MG⊥PN于G，
答：当t为
11PN·APPN·MG，22∴MG=AP，
易得△APH≌△MGH，
∴∴AH=HM=
8
t，3
∵AM=AO+OM，
同理可知：OM=OQ=103﹣23t，
16
t=103=103﹣23t，3
t=
30．11
30
秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积．11
答：当t为

【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.

8．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，
14
x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线33
3
．2

PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】
（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到
3
列出关于a、c的方程组2
QxPxFxExQyPyFyEy
，，从而2222
可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．【详解】（1）当y=0时，
143
x0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，332
16a12c0
得33，
2a2
解得
a1
，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
c4
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，

1x．3
∵点P是直线1上任意一点，
∴直线m的解析式为y=
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴
PCPB
．PFPE
∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，
QxPxFxExQyPyFyEy
，，2222∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
∴
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．


∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，
QxPxFxExQyPyFyEy
，，2222∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
∴
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．

9．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元
【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，
5kb30000k10000
把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：。
6kb20000b80000
∴y与x之间的关系式为：y10000x80000。（2）设利润为W，则
Wx410000x8000010000x212x3210000x640000，
2

∴当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元。
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式。
（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值。

10．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．
（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．

【答案】（1）点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）当m=0
1
；当m=3时，S取最大值，最大值为5．（3）满足2
24124
∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．
749
【解析】
时，S取最小值，最小值为
【分析】（1）代入y=c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=﹣的最大值及最小值；
（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，设点D的坐标为
1
（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S2

（n，0），则DO=n，DP=
n304
22
，由DO=DP可求出n的值，进而可得出点
D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．【详解】（1）当y=c时，有c=﹣x2+bx+c，解得：x1=0，x2=b，
∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c），∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，∵△PCB≌△BOA，∴BC=OA，CP=OB，∴b=3，c=4，
∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）当y=0时，有﹣x2+3x+4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴点F的坐标为（4，0），
过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示，∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），
∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，
1111
OA•ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，22221
∵﹣＜0，0≤m≤4，
2
∴S=
1
；当m=3时，S取最大值，最大值为5；2
（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；
∴当m=0时，S取最小值，最小值为
②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，
设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=∴n2=（n﹣3）2+16，解得：n=
n304
22
，
25，6
25
，0），6
∴点D的坐标为（
设直线PD的解析式为y=kx+a（k≠0），

将P（3，4）、D（
25
，0）代入y=kx+a，6
24k3ka47
，解得：，25
100ka0a67
∴直线PD的解析式为y=﹣
24100x+，77
24100
y﹣x
联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：77，
2yx3x424
x
x1327解得：，．
124y41y249
∴点M的坐标为（
24124
，）．749
24124
，）．749
综上所述：满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S=﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．


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