第一单元 图形的变换
(1)轴对称图形的概念:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形。沿着的那条对折直线叫做对称轴。
(2)轴对称图形的性质:在轴对称图形中,对称轴两侧相对的点到对称轴两侧的距离相等。
(3)平移:沿着直线移动,这样的现象叫做平移。
(4)旋转:物体都绕着一个固定的点或一个固定的轴移动,这样的现象叫做旋转。(旋转三要素:旋转中心、旋转方向、旋转角)
(5)等腰三角形有1条对称轴,等边三角形有3条对称轴,长方形有两条对称轴,正方形有四条对称轴,正五边形有5条对称轴,正六边形有6条对称轴,圆形有无数条对称轴。
(6)
第二单元 因数和倍数
注意:为了方便,在研究因数和倍数的时候,我们所说的数指的是整数(一般不包括0)。
1、整除:被除数、除数和商都是非0的自然数,并且没有余数。
如果a能被b整除,那么b是a的因数,a是b的倍数
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。1是所有自然数的因数。 一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身。没有最大的倍数。
2、自然数按能不能被2整除来分:奇数 偶数
word/media/image1.gif 奇数:不能被2整除的数,最小的奇数是1
偶数: 能被2整除的数,最小的偶数是0
连续的奇数,如1、3、5等,连续偶数如、12、14、16、等,连续的奇数或连续的偶数前后相差2。用字母表示连续的奇数或偶数(a-2)、a、(a+2)
3、2、3、5倍数的特征
word/media/image2.gif个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数,是5的倍数。
一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
能同时被2、3、5整除的最大的两位数是90,最小的两位数是30,最小的三位数是120。
4、自然数按因数的个数来分:质数、合数、1
word/media/image3.gif 质数:有且只有两个因数,1和它本身。最小的质数是2
合数:至少有三个因数,1、它本身、别的因数,最小的合数是4
1: 只有1个因数。“1”既不是质数,也不是合数。
每个合数都可以由几个质数相乘得到。
在自然数中,既是偶数又是质数的只有2。20以内即是奇数又是合数的如9、15等)
100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
第三单元 长方体和正方体
(1)我们周围许多物体的形状都是长方体或正方体(正方体也叫立方体)。
(2)棱长是1cm的正方体,体积是1cm3(大约是一个手指尖的体积或一粒骰子)
棱长是1dm的正方体,体积是1dm3(大约是一个粉笔盒的体积)
棱长是1m的正方体,体积是1m3,也叫1方,1方=1m3 (大约课室一部电视的体积)
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方形的长、宽、高。
(3)长方体或正方体6个面的总面积,叫做它的表面积。
(4)物体所占空间的大小叫做物体的体积。
(5)长方体和正方体都有6个面,12条棱和8个顶点,正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体,它是一种特殊的长方体。
(6)相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方形的长、宽、高。
(7)计量体积要用体积单位,常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米
(8)箱子、油桶、仓库等所能够容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升。
(9)单位进率
(9)长方体和正方体公式:(一般用C字母代表棱长总和,用S代表面积,用V代表体积)
word/media/image6.gifword/media/image7.gif【体积单位换算】 高级单位 低级单位 低级单位 高级单位
10、长方体的长、宽、高同时扩大a倍,表面积扩大a的平方倍,体积扩大a的立方倍。
正方体的棱长扩大a,表面积扩大a的平方倍,体积扩大a的立方倍。
如、一个长方体长宽高都扩大3倍,表面积扩大9倍,体积扩大27倍。
11、两个小正方体拼成一个长方体,表面积减少2个面(棱长×棱长×2),体积不变。
一个大长方体切成两个小正方体,表面积增加2个面(棱长×棱长×2),体积不变。
12、不规则物体的体积:
体积=总体积-水的体积 或 体积=长×宽×上升的高
知道上升的高用第2个公式,反之用第1个。
第四单元 分数的意义和性质
(1)产生:在进行测量时、分物或计算时,往往不能正好得到整数的结果,这时常用分数来表示。
(2)意义:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份都可以用数叫做分数。单位“1”可以是一个物体、一些物体或一个图形。
(3)把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫做分数单位。都写作9ba22ee6c5f55c74af52949dd103f942.png
(4)分数表示两个含义:
具体的数(带单位):总数÷份数
两个数之间的关系(通常不带任何单位):即一个数是(或占)另一个数的几分之几?
前一个数÷后一个数,再写成分数
例如:把6米长的绳子平均分成7段,每段是这根绳子的( 72f315faebdd4f617b94fd6dd2a3f9c3.png
把10克糖溶解在100克水中,糖占糖水的几分之几?10÷(10+100)=c3eadb9893127eceb8a50ab0dfca586b.png
(5)分数与除法
区别:分数可以看成两个数相除,除法只是一个算式。
被除数相当于分子,除数相当于分母,商相当于分数值。
被除数÷除数= 72af4aa7e886a2eada6f9a020a740d82.png
(6)分数的分类
word/media/image14.gif 真分数:分子比分母小的分数。真分数<1
假分数:分子比分母大或分子和分母相等的分数。假分数≥1
带分数:整数带着一个真分数。
假分数和带分数的互换:①把假分数化成整数或带分数,要用分子除以分母,能整除就是整数,不能整除的,商是带分数的整数部分,余数就是分数部分的分子,分母不变。②带分数化成假分数,用整数部分乘以分母,再加上分子,作为新分子,分母不变。
(7)分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
(8)最大公因数:几个数公有的因数,叫做它们的公因数。其中,最大的那个公因数,叫做它们的最大公因数。最大公因数的求法:例如8和12
word/media/image15.gif①列举法: ②分解质因数:
word/media/image16.gif8的因数:1、8、2、4、 8=2×2×2
12的因数:1、12、2、6、3、4、 12=2×2×3 公有的质因数相乘2×2=4
③短除法: 公有 独有
word/media/image17.gif4 8 12 最大公因数是除数:4
2 3
(9)一个分数的分子和分母只有公因数1,像这样的分数叫做最简分数。最简分数的分子和分母是互质关系。
(10)把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分。
公因数只有1的两个数,叫做互质数。两数互质的特殊情况:1和任何自然数互质;相邻两个自然数互质;两个质数一定互质; 2和所有奇数互质;质数与比它小的合数互质;
(11)把一个分数化成最简分数,分子和分母同时除以分子和分母的最大公因数。
(12)最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做它们的公倍数。其中,最小的那个公倍数,叫做它们的最小公倍数。求法:例如8和12
word/media/image18.gif①列举法: ②分解质因数:
word/media/image16.gif8的倍数:8、16、24、32… 8=2×2×2
word/media/image19.gif12的倍数:12、24、36… 12=2×2×3 公有的质因数×独有的:2×2×2×3=24
③短除法: 公有 独有
word/media/image17.gif4 8 12 最大公因数是除数×商:4×2×3=24
2 3
(13)分数比较大小:分母相同的两个分数分子越大,分数就越大。
分子相同的两个分数分母越小,反而分数越大。
(14)像这样,把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
(15)小数表示的就是十分之几、百分之几、千分之几-------的数,所以可以直接写成分母是10、100、1000,----的分数,在化简。
分母是2、4、5、8、25、125的数很好化成是分母是10、100、1000、-----的分数。
2×5=10 4×25=100 125×8=1000
(16)分母不是10、100、1000、----或者不能化成分母是10、100、1000---的分数,那么用分数的分子除以分母,除不尽时,要根据需要按“四舍五入”法保留几位。
(17)当两个数是倍数关系时,这两个数的最大公因数是较小数,最小公倍数是较大数。
(18)当两个数是互质关系时,这两个数的最大公因数是1,最小公倍数是他们的乘积。
(19)常见的分数与小数的互换:
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第五单元分数的加减法
(1)同分母分数加减法:同分母分数相加、减,分母不不变,只把分子相加、减。
(2)异分母分数加减法:先通分,然后按同分母分数加减法进行计算。
(3)分数加减混合运算顺序:
在没有括号的算式里,只有加、减法,从左到右进行计算。
在有括号的算式里,先算括号里面的,再算括号外面的。
(4)交换两个分数的位置,和不变,这叫做分数加法交换律。
(5)三个分数相加,先算前两个分数,再加上第三个分数;或者先算后两个分数,再加上第一个分数,这叫做分数的结合律。
(6)一个数连续减去几个数,就等于减去这几个数的和。
第六单元 统 计
(1)在一组数据中出现次数最多的数,叫做这组数据的众数。众数能够反映一组数据的集中情况。
(2)当一组数据相差不是很大时,可以用平均数来表示;
(3)如果有偏大偏小数据出现,而中间的数比较集中,可以用中位数来表示;
(4) 如果有一个数据出现的次数超过一半或一半以上的时候,用众数来表示这组数据的总体情况比较好。
(5)平均数、中位数、众数比较
(6)复式折线统计图
折线统计图直观、有效地表示数据,并对数据进行简单分析和预测。
特点:很容易地看出数量的增减变化的情况。
单式折线统计图与复式折线统计图有什么不同:复式折线统计图可以比较容易地比较出两组数据的变化趋势。
在制作复式折线统计图时,要注意画出图例,先描点,再连线,最后标数据。
(7)打电话:(方法:逐个法,分组法,
第七单元数学广角
方法:尽量平均分成3份,使份数之间最多相差1.(例如:8(3,3,2))
如10个物品,其中有一个是次品,次品重一点。
word/media/image33.gif 平衡2(1,1) 共3次
word/media/image34.gifword/media/image35.gif 平衡,4(1,1,2)
不平衡 共2次
word/media/image35.gif10(3,3,4)
不平衡3(1,1,1) 共2次
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