2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．已知，0），
，则
（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
2．圆锥曲线的准线方程是 （ ）
（A） （B）
（C）
（D）
3．设函数，若
，则
的取值范围是 （ ）
（A）（，1） （B）（
，
）
（C）（，
）
（0，
） （D）（
，
）
（1，
）
4．函数的最大值为 （ ）
（A） （B）
（C）
（D）2
5．已知圆C：（
）及直线
：
，当直线
被C截得的弦长为
时，则
（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
7．已知方程的四个根组成一个首项为
的的等差数列，则
（ ）
（A）1 （B） （C）
（D）
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线
与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是 （ ）
（A） （B）
（C）
（D）
9．函数，
的反函数
（ ）
（A），1] （B）
，1]
（C），1] （D）
，1]
10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角
的方向射到BC上的点
后，依次反射到CD、DA和AB上的点
、
和
（入射角等于反射角），设
的坐标为（
，0），若
，则tg
的取值范围是 （ ）
（A）（，1） （B）（
，
） （C）（
，
） （D）（
，
）
11． （ ）
（A）3 （B） （C）
（D）6
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．的展开式中
系数是
14．使成立的
的取值范围是
15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答）
16．下列5个正方体图形中，
是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出
面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）
① ② ③ ④ ⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知复数的辐角为
，且
是
和
的等比中项，求
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，
，侧棱
，D、E分别是
与
的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
（I） 求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
（II） 求点
到平面AED的距离
19．（本小题满分12分）
已知，设
P：函数在R上单调递减
Q：不等式的解集为R
如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围
20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本小题满分14分）
已知常数
，在矩形ABCD中，
，
，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分12分，附加题4 分）
（I）设是集合
且
}中所有的数从小到大排列成的数列，即
，
，
，
，
，
，…
将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
5 6
9 10 12
— — — —
…………
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
⑵求
（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）
设是集合
，且
中所有的数从小到大排列成的数列，已知
，求
.
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理工农医类)答案
一、选择题
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A
二、填空题
13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤
三、解答题：
17． 解：设，则复数
由题设
18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
（Ⅱ）解：
19．
解：函数在R上单调递减
不等式
20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：①
直线GE的方程为：②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程
整理得当
时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。
当时，点P到椭圆两个焦点（
的距离之和为定值
。
当时，点P 到椭圆两个焦点（0，
的距离之和为定值2
.
22．（本小题满分12分，附加题4分）
（Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48
（i i）解：设，只须确定正整数
数列中小于
的项构成的子集为
其元素个数为满足等式的最大整数
为14，所以取
因为100－
（Ⅱ）解：令
因
现在求M的元素个数：
其元素个数为：
某元素个数为
某元素个数为
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