江西省抚州市广昌一中、南丰二中、东乡二中三校2020-2021学年九年级1月联考数学试题

江西省抚州市广昌一中、南丰二中、东乡二中三校2020-2021学年九年级1月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在△ABC中，∠C=90º，BC：:4，那么sinA等于（ ）

A． B． C． D．

2．二次函数有最小值，则等于（ ）

A． B． C． D．

3．已知关于x的方程的两个根互为相反数，则a的值是（ ）

A．5 B．-3 C．5或-3 D．1

4．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4.6.8，另一个三角形的一边长是2，则另一个三角形的周长是（ ）

A．4.5； B．6； C．9； D．以上答案都有可能．

5．如图，在矩形 ABCD 中，F 是 BC 中点，E 是 AD 上一点，且∠ECD = 30°，∠BEC = 90° ，EF = 4cm ，则矩形的面积为(　)

A．16cm B．cm C．cm D．32cm

6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上两点，给出下列判断：①若x1+x2=0，则y1+y2=0；②若当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0；③若x1=x2+2，，则k=4，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③

二、填空题

7．如图，已知，E为□ABCD的边AD上一点E，且，CE交BD于F，，则______．

8．《孙子算经》中有道歌谣算术题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺六寸，影长四寸．问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道它的长度，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺六寸的小标杆，它的影长四寸，则竹竿的长度是____________．（注意：1丈=10尺，1尺=10寸）

9．∠A和∠B是直角三角形的两个锐角，则_______．

10．已知反比例函数y＝，当y≤3时，x的取值范围是______.

11．已知抛物线（其中a>0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若△ABC为等腰三角形，则a的值是________________．

三、解答题

12．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连接DE，AE＝5，BE＝4，则DF＝_____．

13．（1）计算的值．

（2）解方程：

14．已知如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠B=45º，求∠C．

15．某学校初中英语口语听力考试即将举行，准备了A、B、C、D四份听力材料，它们的难易程度分别是易、中、难、难；另有a、b是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难．

（1）从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是　 　；

（2）用树状图形或列表法，求出听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的概率．

16．如图，操场边的路灯P照在水平放置的单杠AB上，在地面上留下影子CD，经测量得知AB=1.8米，CD=3.24米，单杠高AE=BF=1.6米，求：路灯P到地面的距离

17．由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．

（1）如图1，在AB上找点P，使得AP：PB=1：3；

（2）如图2，在BC上找点P，使得△APB∽△DPC；

18．如图，△ABC的高AD=4，BC=8,MNPQ是△ABC中任意一个内接矩形

（1）设MN=x，MQ=y,求y关于x的函数解析式；

（2）设MN=x,矩形MNPQ的面积为s，求s与x的函数关系式，并求出当MN为多大时，矩形MNPQ面积s有最大值，最大值为多少？

19．阅读下列材料：

①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以．

②；．

根据以上材料，解答下列问题：

（1），则______ ；______ ；______ ；

（2），求的值．

20．如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC、CD、AE上．

（1）若BE=9，小正方形EFGH的边长固定不变，当小正方形 EFGH沿EA平移到使得点G落在AD上时停止运动，求平移的距离．

（2）若BE=x，是否存在x的值使得小正方形EFGH的顶点F恰好是CD 的中点？

21．如图，已知抛物线的顶点M（1，4），与x轴的一个交点为A．

（1）求a，b的值；

（2）若此抛物线与x轴的另一个交点为B，求过点B、M的直线方程；

（3）设抛物线与y轴的交点为C，问在抛物线上是否存在点P，使平行四边形PBAE的面积是△CMB面积的8倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．

（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？

（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？

23．（1）发现问题

如图（1），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD边上的动点（均不与端点重合），且∠EAF=45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，发现EF=BE+DF，请你给出证明过程；

（2）类比探究

①如图（2），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边CB，DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．

②如图（3），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，请直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．（不要求证明）

（3）拓展应用

在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求EF的长．

参考答案

1．C

【分析】

在△ABC中，∠C=90°，BC：CA=3：4，设BC=3x，则CA=4x；由勾股定理可用x表示出AC，根据三角函数定义即可求解．

【详解】

解：在△ABC中，∠C=90°，BC：CA=3：4，

设BC=3x，则CA=4x，

由勾股定理可得AB，

那么sinA．

故选：C．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

2．C

【分析】

对二次函数，，存在最小值，且在顶点取得，有，求得的值即可．

【详解】

解：在中，，则在顶点处取得最小值，

，

解得：．

故选C．

【点睛】

考查了二次函数的性质以及抛物线顶点坐标的运用，掌握抛物线的顶点坐标为

3．B

【分析】

利用根与系数的关系得出，进而求出即可，注意一元二次方程根的情况确定方法．

【详解】

解：∵关于x的方程的两个根互为相反数，

∴，

即：，

解得：或，

∵关于的方程为，

∴，即，

解得：，

∴不合题意舍去，

故，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了根与系数的关系以及根的判别式的应用，此题容易忽略根的判别式的应用．

4．D

【分析】

在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8，则周长是18，另一个三角形的一边长是2，边长是2的边与三边都有可能是对应边，因而应分三种情况进行讨论．

【详解】

解：设另一个三角形的周长是x，

①当边长是2的边与边长是4的边是对应边时：得到18：x=4：2解得：x=9；

②当边长是2的边与边长是6的边是对应边时：18：x=6：2解得x=6；

③当边长是2的边与边长是8的边是对应边时：18：x=8：2解得：x=4.5．

故选D．

【点睛】

本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．注意要分情况讨论．

5．C

【分析】

据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCE＝60°，判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．

【详解】

解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，

∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，

∵∠ECD＝30°，

∴∠BCE＝90°−∠ECD＝90°−30°＝60°，

∴△CEF是等边三角形，

过点E作EG⊥CF于G，

则EG＝EF＝×4=cm，

∴矩形的面积＝8×＝cm2．

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，求出矩形的宽是解题的关键．

6．B

【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=，y2=，则x1=-x2，则y1+y2=0，于是可对①进行判断；当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0，则可对②进行判断；由x1=x2+2，得到=+=+，可解出k=-4，则可对③进行判断．

【详解】

∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上两点，

∴y1=，y2=，

∴y1+y2=+，

∴x1+x2=0，则y1+y2=0，所以①正确；

当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k＜0，所以②正确；

∵x1=x2+2，，

∴=+=+，

∴k=-4，所以③错误．

故选B．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

7．6cm

【分析】

由，可知,根据，可求DF．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵，

∴，

∴，

∵AD∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴，

∵，

∴，

故答案为：6cm．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，比例线段的性质，解题关键是根据平行得出三角形相似，列出正确比例式．

8．六丈

【分析】

根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．

【详解】

解：设竹竿的长度为尺，

∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺六寸=1.6尺，影长四寸=0.4尺，

∴，

解得（尺）．60尺合六丈．

故答案为：六丈．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．

9．1

【分析】

根据直角三角形两锐角互余结合特殊角的三角函数值解答．

【详解】

∵∠A、∠B是直角三角形ABC的两个锐角，

∴∠A+∠B=90°．

∴．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了直角三角形两锐角互余的性质以及特殊角的三角函数值，熟记性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．

10．x≥1或x＜0

【分析】

分类讨论， 或 ，易得答案.

【详解】

解：由图象可以看出y≤3所对应的自变量的取值为x≥1或x＜0．

故答案为：x≥1或x＜0．

11．2或或

【分析】

求出A、B、C三点坐标，分类讨论即可．

【详解】

解：当y=0时，，

解得，，

设A（1，0），B（，0），

当x=0时，y=-2,

C点坐标为（0，-2），

∴AC2=5，BC2=22+()2，AB2=（1+）2

当AB=AC时，（1+）2=5，

∵a>0，解得a=（经检验，符合题意），

当AB=BC时，（1+）2=22+()2，

解得a=（经检验，符合题意），

当AC=BC时，5=22+()2，

∵a>0，解得a=2（经检验，符合题意），

故答案为：2或或．

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴交点、等腰三角形、勾股定理，解题关键是求出抛物线与坐标轴的交点坐标，用坐标表示三角形的边长，分类讨论列方程．

12．3

【分析】

利用矩形的性质结合条件可证得△ADF≌△EAB，则可得AF＝BE＝4，再利用勾股定理可得DF的长．

【详解】

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，且∠B＝90°，

∴∠DAF＝∠BEA，

∵DF⊥AE，

∴∠DFA＝∠B，

在△ADF和△EAB中

∴△ADF≌△EAB（AAS），

∴AF＝BE＝4，

Rt△ADF中，AD＝AE＝5

∴DF＝＝＝3．

故答案为3．

【点睛】

本题主要考查矩形的性质和勾股定理，三角形的全等与判定，利用矩形的性质证得△ADF≌△EAB是解题的关键．

13．（1）；（2）．

【分析】

（1）根据特殊角三角函数值进行计算即可；

（2）根据因式分解法解方程即可；

【详解】

（1）

；

（2），

整理得：，

因式分解得：，

∴或，

∴．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程、特殊角三角函数值，解决本题的关键是熟记部分特殊角的三角函数值．

14．∠C=60°．

【分析】

作AD⊥BC于点D，可得出AD=BD，再根据三角函数的定义得出∠C．

【详解】

解：如图，作AD⊥BC于点D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵AB，∠B=45º，

∴AD=AB•sin45°=，

∵AC，

∴sinC，

∴∠C=60°．

【点睛】

本题考查了解直角三角形以及三角函数的定义，是基础知识要熟练掌握．

15．（1）；（2）．

【分析】

（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意列出图表得出所有等可能的结果数和听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【详解】

解：（1）∵A、B、C、D四份听力材料的难易程度分别是易、中、难、难，

∴从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是；

故答案为：；

（2）列表如下：

由列表可知：共有8种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中听力、口语均为难的结果有2种，所以P（两份材料都难）＝．

【点睛】

本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率,用表格或树状图表示总结果数是解答此类问题的关键.

16．3.6米

【分析】

先证明△PAB∽△PCD，则利用相似比可得，再根据比例的性质得，然后证明△CAE∽△CPG，于是可利用相似比可计算出PG．

【详解】

∵AB∥CD，

∴△PAB∽△PCD，

∴，

∴，

∵AE∥PG，

∴△CAE∽△CPG，

∴，即，

∴PG=3.6（m）．

答：路灯P的高度为3.6m．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的对应边成比例求相应线段的长．

17．（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）取格点E，F连接EF交AB于点P，点P即为所求；

（2）取格点A′，连接DA′交BC于点P，连接AP，点P即为所求．

【详解】

（1）如图中，点P即为所求；

（2）如图中，点P即为所求；

．

【点睛】

本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．

18．（1）；(2) ，当MN为4时，最大值为8

【详解】

解：（1）∵四边形MNPQ是△ABC中一个内接矩形，

∴MN∥BC，MQ⊥BC，

∵AD⊥BC，△AMN∽△ABC，

∴

∴四边形MQDE是矩形，

∴MQ=DE，

∵△ABC的高AD=4，BC=8，MN=x，MQ=y，

∴，

解得：；

（2）∵由（1），可得MN=x，

∴，

，

∵，

∴当MN为4时，矩形MNPQ面积y有最大值，最大值为8．

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及二次函数的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

19．（1）4， 14，194；（2）

【分析】

（1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得的值，然后平方即可求得的值，然后再平方求得的值；

（2）首先方程两边除以2x即可求得的值，然后平方即可求得的值，，然后利用题目提供的立方差公式求解．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

，

；

故答案为：4；14；194；

（2）∵，

∴，

，

．

【点睛】

本题考查了完全平方公式、平方差公式以及立方差公式，正确理解完全平方公式的变形是关键．

20．（1）；（2）不存在，理由见解析．

【分析】

（1）先根据勾股定理可以求出AE的长度，证明△ABE∽△ECF，可以求出EF的长度，设正方形平EFGH移后得正方形，由△ABE∽△可以求出的长度，故用AE减去EF再减去即可求出平移的距离；

（2）根据△ABE∽△ECF，可以得到，代如数据求解，发现无解，故不存在x，即可解决．

【详解】

解：(1) AE=

∵∠AEB+∠FEC=90°，∠FEC+∠EFC=90°

∴∠AEB=∠EFC

∵∠B=∠C=90°

∴△ABE∽△ECF

∴ 即

∴EF=

正方形平EFGH移后得正方形，如图所示：

∵AD//BC

∴∠=∠AEB

∵∠B=∠

∴△ABE∽△

∴ , 即

∴

∴

∴平移距离为

(2)不存在，理由：

由（1）得△ABE∽△ECF，, 即

化简得，△=＜0，

∴不存在．

【点睛】

本题主要考查了相似，熟悉图像运动后成的图形以及熟练的由相似列出比例式求解出线段长度是解决本题的关键．

21．（1），；（2）；（3）存在，点P的坐标为(，2)或(，2)或(，-2)或(，-2)．

【分析】

（1）根据抛物线的顶点坐标公式即可得到结果；

（2）由（1）知抛物线的解析式为，令y=0时，则，解得B（-1，0），把点B，M的坐标代入直线解析式即可得到结果；

（3）求出抛物线与y轴的交点C的坐标，根据平行四边形PBAE的面积是△CMB面积的8倍列方程求出点P的纵坐标，然后代入抛物线的解析式即可得到结果．

【详解】

解：（1）∵抛物线的顶点M（1，4），

∴，，

解得：，；

（2）由（1）知抛物线的解析式为：，

令时，则，

解得：，

A（3，0），B（-1，0），

设直线BM的解析式为：，

∴，

解得：，

∴直线BM的解析式为；

（3）∵抛物线与y轴的交点为C，

∴C（0，3），

令与y轴的交点为N，则点N（0，2），

∴S△BCM=S△BCN+S△MNC，

∴S△BCM=，

设点P的坐标为（x，y），平行四边形PBAE的面积为S．

∵S=8S△BCM，

∴AB×|yP|=8×1，

∴|yP|=2，yP=±2．

令，

解得，

令，

解得，

∴满足条件的点P存在，且其坐标为(，2)或(，2)或(，-2)或(，-2)．

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形和平行四边形面积的求法，求点的坐标，正确识图是解题的关键．

22．(1) 200元;(2) 190元

【分析】

（1）设每个售价应为x元，根据月销量=980-30×，结合月销量不低于800个，即可得出关于x的一元一次不等式；

（2）根据总利润=每个利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

（1）设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元，

980﹣30×≥800，

解得x≤200，

故要使背包的月销量不低于800个，每个售价应不高于200元．

（2）由题意可得：[200（1﹣a%）﹣150]•800（1+5a%）＝40000，

整理，得：a%﹣20 （a%）2＝0，

解得：a1＝5，a2＝0（不合题意，舍去）．

故200（1﹣a%）＝190（元）

答：在实际销售过程中每个背包售价为190元．…

【点睛】

本题考查了一元一次不等式、一元二次方程在实际问题中的应用---销售利润问题，解题关键是利润问题中数量关系，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解．

23．（1）见解析；（2）①不成立，理由见解析；②BE=EF+DF；（3）5

【分析】

（1）证明△EAF≌△GAF，可得出EF=FG，则结论得证；

（2）①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF=FM，则结论得证；

②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF=EN，则结论得证；

（3）求出DG=2，设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．

【详解】

（1）证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∠B=∠ADG=90°，

∴∠ADF+∠ADG=180°，

∴F，D，G三点共线，

∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠FAD=45°，

∴∠DAG+∠FAD=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵AF=AF，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=FG=DF+DG，

∴EF=DF+BE；

（2）①不成立，结论：EF=DF-BE；

证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，

∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM，

∴∠FAM=45°=∠EAF，

∵AF=AF，

∴△EAF≌△MAF（SAS），

∴EF=FM=DF-DM=DF-BE；

②结论为：BE=EF+DF，

如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，

∴AN=AF，∠NAF=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠NAE=45°，

∴∠NAE=∠FAE，

∵AE=AE，

∴△AFE≌△ANE（SAS），

∴EF=EN，

∴BE=BN+NE=DF+EF．

即BE=EF+DF；

（3）解：由（1）可知AE=AG=3，

∵正方形ABCD的边长为6，

∴DC=BC=AD=6，

∴DG=，

∴BE=DG=3，

∴CE=BC-BE=6-3=3，

设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，

在Rt△EFC中，∵CF2+CE2=EF2，

∴(6-x)2+32=(x+3)2，

解得：x=2．

∴EF=x+3=5．

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1797c244d2d233d4b14e852458fb770bf78a3b9e.html