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福建历年高考数学试卷 (08、09、 10含文理含答案)

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福建高考·数学试卷
08福建高考数学卷（理工农医类）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1若复数(a-3a+2+(a-1i是纯虚数，则实数a的值为A.1




B.2



C.1或2


D.-1
2
(2设集合A={x|
x
＜0},B={x|0＜x＜3＝,那么“mA”是“mB”的x1




B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件


A.充分而不必要条件C.充要条件
(3设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为A.63


3
B.64C.127D.128
(4函数f(x=x+sinx+1(xR,若f(a=2,则f(-a的值为A.3




B.0



C.-1



D.-2
(5某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为A.
16
625
B.
96625

4
,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是5
192256
C.D.
625625
(6如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

A.
6
3
B.
26
5
C.
155
D.
105
(7某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A.14




B.24



C.28



D.48
(8若实数x、y满足xy10,则
y
的取值范围是x



C.－



D.－
(9函数f(x=cosx(x(xR的图象按向量(m,0平移后，得到函数y=-f′(x的图象，则m的值可以为
A.
222
(10在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a+c-btanB=3ac,则角B的值为

2

B.

2
A.
6
B.
5C.或
636
D.
2
或
33

x2y2
(11又曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心
ab
仰之高山少年自强不息正德载物我辈止于至善
第1页





A.(1,3



B.1,3
福建高考·数学试卷


C.(3,+
D.3,
率的取值范围为

(12已知函数y=f(x,y=g(x的导函数的图象如下图，那么y=f(x,y=g(x的图象可能是



二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
555432
（13）若(x-2=a3x+ax+a3x+a2x+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答x=1+cos
(14若直线3x+4y+m=0与圆y=-2+sin

（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是.
（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、
a
∈P（除数b≠0），则b
称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集Fab2a,bQ也是数域.有下列命题：①整数集是数域；


②若有理数集QM，则数集M必为数域；

③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号填填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量m=(sinA,cosA,n=(3,1，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f(xcos2x4cosAsinx(xR的值域.
仰之高山少年自强不息正德载物我辈止于至善
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福建高考·数学试卷
（18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB
⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
32
？若存在，求
出
AQ
的值；若不存在，请说明理由.QD

（19）（本小题满分12分）已知函数f(x
13
xx22.3
2
（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(an,an12an1(n∈N*在函数y=f′(x的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x的图象上；
（Ⅱ）求函数f(x在区间（a-1,a）内的极值.
（20）（本小题满分12分）
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为成绩合格的概率均为
2
，科目B每次考试3
1
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.2
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.
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福建高考·数学试卷
（21）（本小题满分12分）
x2y2
如图、椭圆221(a
ab
b0的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方
程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有
OAOB
22
AB,求a的取值范围.
2

（22）（本小题满分14分）
已知函数f(x=ln(1+x-x1（Ⅰ）求f(x的单调区间；
（Ⅱ）记f(x在区间0,（n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n-bx.（Ⅲ）如果对一切n，不等式an
an2
c
恒成立，求实数c的取值范围；an2
2an11.
（Ⅳ）求证：
aaa2n1a1a1a3
13a2a2a4a2a4a2n
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福建高考·数学试卷
【参考答案】
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.
（1）B（2）A（3）C（4）B（5）B（6）D（7）A（8）C（9）A（10）D（11）B（12）D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
（13）31

（14）(,0(10,

（15）9
（16）③④
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本
知识，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由题意得mn
3sinAcosA1,
1
.2

由A为锐角得A,A.
663
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA,
2
2sin(A1,sin(A
66
3.2
13
因为x∈R，所以sinx1,1，因此，当sinx时，f(x有最大值.
22
所以f(xcos2x2sinx12sinx2sins2(sinx
2
2
1
2
当sinx=-1时，f(x有最小值-3，所以所求函数f(x的值域是3,.
2

3
（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离
等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.

解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,
所以OB＝2，
在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝
PG122
,PBOarctan.BC222
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福建高考·数学试卷
2
.23.2
所以异面直线PB与CD所成的角是arctan
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为设QD＝x，则SDQC
1
x，由（Ⅱ）得CD=OB=2，2
在Rt△POC中，PCOC2OP22,
所以PC=CD=DP,SPCD
由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时解法二：
(Ⅰ同解法一.
33(22,42
AQ1
.QD3
OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建(Ⅱ以O为坐标原点，OC、
立空间直角坐标系O-xyz,
A(0,-1,0,B(1,-1,0,C(1,0,0,D(0,1,0,P(0,0,1,
依
题
意
，
易
得
，，0），PB＝（，11，1）.所以CD＝（11
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos
6
，33，2
(Ⅲ假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
由(Ⅱ知CP(1,0,1,CD(1,1,0.设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0.
x0z00,nCP0,则所以即x0y0z0，
xy0,00nCD0,
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1.设Q(0,y,0(1y1,CQ(1,y,0,由
CQnn

1y3315
,解y=-或y=(舍去，，得
22223
此时AQ
AQ113
.,QD，所以存在点Q满足题意，此时
QD322
(19本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问
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题和解决问题的能力.满分12分.
福建高考·数学试卷
13
xx22,所以f′(x=x2+2x,3
(-∞,-2
+↗
-20极大值
(-2,0-↘
00极小值
(0,+∞+↗
(Ⅰ证明：因为f(x由
点
xf′(xf(x
2
(an,an12an1(nN在函数y=f′(x的图象上,
又an0(nN,所以(an1an(an1an20,
所以Sn3n
n(n1
2=n22n,又因为f′(n=n2+2n,所以Snf(n,2
故点(n,Sn也在函数y=f′(x的图象上.
(Ⅱ解:f(xx2xx(x2,由f(x0,得x0或x2.
当x变化时,f(x﹑f(x的变化情况如下表:注意到(a1a12,从而
①当a12a,即2a1时,f(x的极大值为f(2
2
2
,此时f(x无极小值；3
②当a10a,即0a1时,f(x的极小值为f(02,此时f(x无极大值；③当a2或1a0或a1时,f(x既无极大值又无极小值.
(20本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分.解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，
“科目B补考合格”为事件B.
(Ⅰ不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，
则P(A1B1P(A1P(B1
211.323
1.3
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为
(Ⅱ由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P(2P(A1B1P(A1A2

2111114.3233399
P(3P(A1B1B2P(A1B1B2P(A1A2B2
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福建高考·数学试卷
2112111211114
,3223223326693
P(4P(A1A2B2B2P(A1A2B1B2
12111211111,33223322181894418
故E234.
9993
8
答：该考生参加考试次数的数学期望为.
3

(21本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综
合解题能力.满分12分.
解法一：(Ⅰ设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，所以OF
3
MN,2
32b
,解得b＝3.23
2
即1＝
x2y2
1.ab14,因此，椭圆方程为43
2
(Ⅱ设A(x1,y1,B(x2,y2.(ⅰ当直线AB与x轴重合时，
OAOB2a2,AB4a2(a21,因此，恒有OAOBAB.
(ⅱ当直线AB不与x轴重合时，
2
2
2
222

x2y2
设直线AB的方程为：xmy1,代入221,
ab
整理得(abmy2bmybab0,
2
2
2
2
2
2
22
2b2mb2a2b2
,y1y22所以y1y222222
abmabm
因为恒有OAOBAB，所以AOB恒为钝角.即OAOB(x1,y1(x2,y2x1x2y1y20恒成立.
x1x2y1y2(my11(my21y1y2(m21y1y2m(y1y21
2
2
2
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福建高考·数学试卷
(m21(b2a2b22b2m2
21
a2b2m2ab2m2
2222222
mabbaba0.
a2b2m2

2222222222
又a+bm>0,所以-mab+b-ab+a<0对mR恒成立，
2222222
即abm>a-ab+b对mR恒成立.
2222222
当mR时，abm最小值为0，所以a-ab+b<0.a2<a2b2-b2,a2<(a2-1b2=b4,
22
因为a>0,b>0,所以a<b,即a-a-1>0,解得a>
151515
或a<(舍去，即a>,222
15
，+）.2
综合（i）(ii，a的取值范围为（
解法二：
（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，
1y2b2(a212x=1代入221,yA=1.
aba2
a21
因为恒有|OA|+|OB|<|AB|,2(1+yA<4yAyA>1，即>1,
a
2
2
2
2
2,
2
解得a>
151515
或a<(舍去，即a>.222
（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）.
x2y2
设直线AB的方程为y=k(x-1代入221,
ab
得(b+akx-2akx+akab=0,
2
22
2
22
2
2-2
2
2a2k2a2k2a2b2
故x1+x2=2,x2x22.
ba2k2ba2k2
因为恒有|OA|+|OB|<|AB|,222222
所以x1+y1+x2+y2<(x2-x1+(y2-y1,得x1x2+y1y2<0恒成立.
x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1(x2-1=(1+k2x1x2-k2(x1+x2+k2
2
2
2
a2k2a2b22a2k2(a2a2b2b2k2a2b222
k2k=(1+k2.2222222
bakbakbak
2
由题意得（a-ab+b）k-ab<0对kR恒成立.
2222
①当a-ab+b>0时，不合题意；
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2222222





2

2
2
2
福建高考·数学试卷
15
;2
2
2
2
4
2
②当a-ab+b=0时，a=
2
2
2
2
2
③当a-ab+b<0时，a-a(a-1+(a-1<0，a-3a+1>0,解得a>
2
355151523或a>（舍去），a>，因此a.2222
15
，+）.2
综合（i）（ii），a的取值范围为（
（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.解法一：
（I）因为f(x=ln(1+x-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f〃(x=由f〃(x>0得-1<x<0，f(x的单调递增区间为（-1，0）；由f〃(x<0得x>0，f(x的单调递增区间为（0，+）.(II因为f(x在[0,n]上是减函数，所以bn=f(n=ln(1+n-n,则an=ln(1+n-bn=ln(1+n-ln(1+n+n=n.(i
1x-1=.1x1x
an2(an2ann2(n2nn2
2

n2n
>
2n2
1.
n2n2
211
2n2
1,
又limn2(n2nlim
x
因此c<1，即实数c的取值范围是（-，1）.（II）由（i）知
1
2n12n1.
2n1
因为[
135(2n12
]
246(2n

(2n1(2n111
＜,2
(2n2n12n1
=
133557
223
246
所以
135(2n11*
＜＜2n12n1(nN,
246(2n2n1

135(2n1
＜
246(2n
则
113
224
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3153
福建高考·数学试卷
2a12n12n11.

即
a1a1a3
a2a2an

a1a3a2n1
＜
a2a4a2n
2an11(nN*）

解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为f(x在0,n上是减函数，所以bnf(nln(1nn,则anln(1nbnln(1nln(1nnn.（i）因为
can2
an2an对n∈N*恒成立.所以
cn2
n2n对n∈N*恒成立.
则c
n2n22n对n∈N*恒成立.
设g(nn2n22n,n∈N*，则c＜g(n对n∈N*恒成立.考虑g(xx2x2x,x1,.
2
112x1
因为g′(x1(x2x2?(2x21
2x22x
1
x1
＝0，x1
所以g(x在1,内是减函数；则当n∈N*时，g(n随n的增大而减小，
又因为limg(nlim(n2n2nlim
x
x
2
2n4n2n2n
2
2
lim
x
4n
x
1
221nn
＝1.
所以对一切nN,g(n1.因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1].(ⅱ由(ⅰ知
*
1
2n12n1.2n1
135(2n11
(nN.
246(2n2n1
下面用数学归纳法证明不等式
①当n=1时，左边＝
11
，右边＝，左边<右边.不等式成立.23
135(2k11
.
246(2k2n1
②假设当n=k时,不等式成立.即
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当n=k+1时，
福建高考·数学试卷
135（2k－1）(2k112k12k12k12k3
＜
246（2k）(2k22k22k12k22k2

12k3
,

=4k28k3
4k28k4

12k3
＜
12k3

12(k11

即n＝k＋1时，不等式成立
综合①、②得，不等式135(2n1＜1(nN*成立.
246(2n2n1所以135(2n1＜2n12n1
246(2n
113135(2n1
＋＋224246(2n
＜3－1＋5－3＝＋2n12n11.即a1a1a3＋a1a3a2n1＜2an11(nN*.a2a2a4a2a4a2n

08福建高考数学试卷（文史类）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
（1）若集合A={x|x-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于A.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.￠（2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）设|an|是等左数列，若a2=3,a1=13,则数列{an}前8项的和为A.128B.80C.64D.56
3
（4）函数f(x=x+sinx+1(x∈R，若f(a=2,则f(-a的值为A.3B.0C.-1D.-2(5某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为
4
，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是5
1216B.1251254896C.D.125125
A.
(6如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为
A.
22221
B.C.D.3433
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福建高考·数学试卷

个单位后，得到函数y=g(x的图象，则g(x的解析式为2
2
2
2
（7）函数y=cosx(x∈R的图象向左平移
A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx(8在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+c-bA.
3ac,则角B的值为
52B.C.或D.或
636363
(9某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案
种数为
A.14B.24C.28D.48
xy10,
y
(10若实数x、y满足x0,则的取值范围是
xx2,

A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞D.[2，+∞（11）如果函数y=f(x的图象如右图，那么导函数y=f(x的图象可能是


x2y2
（12）双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，
ab
且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为
A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D.[3，+∞]
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）（x+
192
）展开式中x的系数是.（用数字作答）x
2
2
（14）若直线3x+4y+m=0与圆x+y-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是.（15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；
③若有理数集QM,则数集M必为数域;
④数域必为无限集.
其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号都填上）
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第13页
a
∈P（除数b≠0）则称Pb




福建高考·数学试卷
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）已知向量m(sinA,cosA,n(1,2,且mn0.(Ⅰ求tanA的值；
(Ⅱ求函数f(xcos2xtanAsinx(xR的值域.
（18）（本小题满分12分）
三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为,,,且他们是否破译出密码互不影响.(Ⅰ求恰有二人破译出密码的概率；
(Ⅱ“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.
（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(Ⅲ求点A到平面PCD的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（an,an1）（nN*）在函数y=x+1的图象上.
2
111
543
(Ⅰ求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+2n，求证：bn·bn+2＜bn+1.
2
a

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3
2
福建高考·数学试卷
(21（本小题满分12分）
已知函数f(xxmxnx2的图象过点（-1，-6），且函数g(xf(x6x的图象关于y轴对称.(Ⅰ求m、n的值及函数y=f(x的单调区间；
(Ⅱ若a＞0，求函数y=f(x在区间（a-1,a+1）内的极值.
(22（本小题满分14分）
x2y2
如图，椭圆C:221（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0，且过点（2，
ab
0）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.(ⅰ求证：点M恒在椭圆C上；(ⅱ求△AMN面积的最大值.
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福建高考·数学试卷
【数学试题（文史类）参考答案】
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）A（2）C(3C(4B(5C(6D（7）A（8）A(9A(10D(11A(12B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.（13）84
（14）(,0(10,（15）9（16）①④
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
13
f(xcos2x2sinx12sin2x2sinx2(sinx2.
22
因为xR,所以sinx1,1.当sinx
13
时，f(x有最大值，22


3
当sinx=-1时，f(x有最小值-3，所以所求函数f(x的值域是3,.
2
（18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3，依题意有
111
P(A1,P(A2,P(A3,且A1，A2，A3相互独立.
54.3
（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有
B＝A1·A2·A3·A1·A2·A3+A1·A2·A3且A1·A2·A3，A1·A2·A3，A1·A2·A3
彼此互斥
于是P(B=P(A1·A2·A3+P（A1·A2·A3）+P（A1·A2·A3）
112131411
5435435433
＝.
20
3
答：恰好二人破译出密码的概率为.
20
＝
（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.
D＝A1·A2·A3，且A1，A2，A3互相独立，则有P（D）＝P（A1）·P（A2）·P（A3）＝
4322
＝.5435
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3
，故P（C）＞P（D）.5
而P（C）＝1-P（D）＝
答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝2，在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝OP2OB23,cos∠PBO=
OB26
,
PB33
6
.3
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为
(Ⅲ由（Ⅱ）得CD＝OB＝2，在Rt△POC中，PC＝OC2OP2所以PC＝CD＝DP，S△PCD=
2，
33·2=.42
又S△=
1
ADAB1,2
设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得
11
S△ACD·OP＝S△PCD·h，33311×1×1＝××h，
233
23.3
即
解得h＝
解法二：
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福建高考·数学试卷
（Ⅰ）同解法一，
OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.（Ⅱ）以O为坐标原点，OC、
则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.所以CD＝（-1，1，0），PB＝（t，-1，-1），∞〈PB、CD〉=
PBCDPBCD
＝
1132
＝
6
，3
6，3
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为
（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知CP=（-1，0，1），CD＝（-1，1，0），则n·CP＝0，所以-x0+x0=0,
n·CD＝0，-x0+y0=0，
即x0=y0=x0,
取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1.又AC=(1,1,0.
ACn
从而点A到平面PCD的距离d＝
n

23

23
.3
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分.解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1×1=n.
n
(Ⅱ由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2.bn=(bn-bn-1+(bn-1-bn-2+···+（b2-b1）+b1
n-1n-2
=2+2+···+2+1
12nn＝=2-1.12
因为bn·bn+2-bn1=(2-1(2-1-(2-1
=(2-2-2+1-(2
nn
=-5·2+4·2n
=-2＜0,
所以bn·bn+2＜bn1,解法二：
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2
2n+2
2nn+2n-12
n+2n2n+2
-2-2-1
n+1




福建高考·数学试卷
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
nn+12
bn·bn+2-b2n1=(bn+1-2(bn+1+2-bn1
=2·bn-1-2·bn+1-2·2
nn+1
＝2（bn+1-2）nnn+1
=2（bn+2-2）nn
=2（bn-2）=…n
=2（b1-2）
n
=-2〈0，2
所以bn-bn+2<bn+1
（21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.解：（1）由函数f(x图象过点（－1，－6），得m-n=-3,……①
322
由f(x=x+mx+nx-2，得f′（x）=3x+2mx+n,
2
则g(x=f′(x+6x=3x+(2m+6x+n;而g(x图象关于y轴对称，所以－
n+1nnn+1
2m6
＝0，所以m=-3,23
代入①得n=0.
2
于是f′(x＝3x-6x=3x(x-2.由f′(x>得x>2或x<0,
故f(x的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x<0得0<x<2,
故f(x的单调递减区间是（0，2）.(Ⅱ由（Ⅰ）得f′(x＝3x(x-2,令f′(x＝0得x=0或x=2.
当x变化时，f′(x、f(x的变化情况如下表：
X
f′(xf(x
(-∞.0+
00极大值
(0,2－
20极小值
(2,+∞＋
由此可得：
当0<a<1时，f(x在（a-1,a+1）内有极大值f(O=-2,无极小值；当a=1时，f(x在（a-1,a+1）内无极值；
当1<a<3时，f(x在（a-1,a+1）内有极小值f(2＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x在（a-1,a+1）内无极值.
综上得：当0<a<1时，f(x有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x无极值.
(22本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分,解法一：
222
（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b=a-c=3,
x2y2
1.所以椭圆C前方程为43
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福建高考·数学试卷
(Ⅱ(i由题意得F(1,0,N(4,0.
m2n2
设A(m,n,则B(m,-n(n≠0,=1.……①43
AF与BN的方程分别为：n(x-1-(m-1y=0，n(x-4-(m-4y=0.
设M(x0,y0,则有n(x0-1-(m-1y0=0,……②
n(x0-4+(m-4y0=0,……③
由②，③得
x0=
5m83n
.,y0
2m52m5


所以点M恒在椭圆G上.
22x0y0(5m823n2
由于2
434(2m5(2m52
(5m823n2
2
4(2m5(2m52(5m8212n2
4(2m52(5m82369m2
4(2m52
1
x2y22
(ⅱ设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t+4）43
y2+6ty-9=0.
设A(x1,y1,M（x2，y2），则有：y1+y2=
6x9
,yy.1222
3x43t4
43·3t23
.|y1-y2|=(y1y24y1y2
3t24
2
令3t+4=λ(λ≥4,则|y1-y2|＝
2
43·　－1

1
1211131
＝43－（）＋＝43－（－）＋，
24
因为λ≥4，0<
111
≤,所以当＝，即＝4，t0时，
44
|y1-y2|有最大值3，此时AM过点F.△AMN的面积S△AMN=FN·y1y2
339
y1y2y1y2有最大值.222
解法二：
（Ⅰ）问解法一：（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0,N(4,0.
m2n2
1.……①设A(m,n,则B(m,-n(n≠0,43
AF与BN的方程分别为：n(x-1-(m-1y=0,……②
n(x-4-(m-4y=0,……③
由②，③得：当≠时，m
525x83y
,n.……④2x52x5
x2y2
由④代入①，得=1（y≠0）.43
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福建高考·数学试卷
3
n(m1y052
当x=时，由②，③得：
32n(m4y0,2
解得
n0,
与a≠0矛盾.
y0,
x2x2
1(y0,即点M恒在锥圆C上.所以点M的轨迹方程为
43
（Ⅱ）同解法一.
2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）
一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(xsinxcosx最小值是

A．-1B.
11
2C.2D.1
11f(xsin2xf(xmin
22.故选B1．【答案】：B[解析]∵∴
2
A{x|x2x0}，则CUA等于2.已知全集U=R，集合
A．{x∣0x2}B{x∣0
C．{x∣x<0或x>2}D{x∣x0或x2}2．【答案】：A[解析]∵计算可得3.等差数列
Axx0
S3
=6，
或
x2
∴
CuAx0x2

.故选A
{an}
Sn
的前n项和为
，且
a1
=4，则公差d等于
5
A．1B3C.-2D3
3
S36(a1a3aa2da=4d=2
1123．【答案】：C[解析]∵且3.故选C

4.
(1cosxdx
22
等于
A．B.2C.-2D.+2
4．【答案】：D
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x2
福建高考·数学试卷




原式xsinx
[解析]∵(sin[sin(]2
x22222.故选D
f(x1f(x2xxxx
5.下列函数f(x中，满足“对任意1，2（0，），当1<2时，都有>
的是
1
2x(x1f(xf(xxA．=B.=C.f(x=eDf(xln(x1
5．【答案】：A
[解析]依题意可得函数应在x(0,上单调递减，故由选项可得A正确。
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A．2B.4C.8D.166．【答案】：C
[解析]由算法程序图可知，在n=4前均执行”否”命令，故n=2×4=8.故选C7.设m，n是平面内的两条不同直线，1，2是平面内的两条相交直线，则//个充分而不必要条件是
A.m//且l//B.m//l且n//l2C.m//且n//D.m//且n//l27．【答案】：B[解析]若存在
ll
的一
m//l1,n//l2,m.n,1.2
，则可得//.若//则
12,m//l2,n//l1
8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：
907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A．0.35B0.25C0.20D0.15
p
8．【答案】：B[解析]由随机数可估算出每次投篮命中的概率
242

605则三次投篮命中两次为
C32P2(1P
0.25故选B
9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，若ac且∣a∣=∣c∣,则∣b•c∣的值一定等于
A．以a，b为两边的三角形面积B以b，c为两边的三角形面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积
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福建高考·数学试卷
bcbccos(b,cbasin(a,cS
9．【答案】：C[解析]依题意可得
故选C.
10.函数f(xaxbxc(a0的图象关于直线p，关于x的方程A.
x
b
2a对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，
mf(xnf(xp0
2
的解集都不可能是
1,2B1,4C1,2,3,4D1,4,16,64
2
m[f(x]nf(xP0中m,n,p分别赋值求[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程
10.【答案】：D
出f(x代入f(x0求出检验即得.
第二卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
2
abi
11.若1i（i为虚数单位，a,bR）则ab_________
11.【答案】：2
22(1i
abi1i
(1i(1i解析：由1i，所以a1,b1,故ab2。
12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉
一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算失误，则数字x应该是___________

12.【答案】：1解析：观察茎叶图，
91
可知有
888989929390x929194
x1
9。
2
y2px(p0的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则13.过抛物线
p________________
y22px
p22
0px3pxp
4yxyx
2213.【答案】：2解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，
p2
AB(11(3p48p2
4又。
2
2
3
f(xaxlnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.14.若曲线
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福建高考·数学试卷
f'(x2ax2
1
x，又因为存在垂直于y轴的切线，
14.【答案】：(,0解析：由题意可知
2ax2
所以
11
0a3(x0a(,0x2x。
15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.15.【答案】：5解析：由题意可设第n次报数，第n1次报数，第n2次报数分别为以有
an
，
an1
，
an2
，所
anan1an2
，又
a11,a21,
由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。
三.解答题16.（13分）从集合
1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出一个。
记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A基本事件总数n=
135
C5C52C5C54C5
=31
事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}
事件A包含的基本事件数m=3
p(A
所以
m3n31
（II）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5
13
C5C5C5210105
p(1p(2p(3
31313131，3131，又
5
C5C5451
p(4p(5
31313131，
故的分布列为：
P


12345
5
311031

1031

531

131
510105180

从而E131+231+331+431+53131
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福建高考·数学试卷
17（13分）
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，
NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点
求异面直线NE与AM所成角的余弦值
在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由
17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标Dxyz
1
D(0,0,0A(1,0,0M(0,0,1,C(0,1,0,B(1,1,0,N(1,1,1,E(,1,0
2依题意，得。1
NE(,0,1,AM(1,0,1
2
cosNE,AM
NEAM10

10，|NE||AM|
10
所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为10.A
（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN.
AN(0,1,1,可设ASAN(0,,,
11
EA(,1,0,ESEAAS(,1,
22又.1
0,ESAM0,2
(10.ESAN0,即由ES平面AMN，得

故
1121
AS(0,,,|AS|
222.2，此时
AS
2
2时，ES平面AMN.
AS
22.
经检验，当
故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时
18、（本小题满分13分）
如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A>0,>0x[0,4]的图象，且图象的最高点为
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福建高考·数学试卷
S(3，23；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120
（I）求A,的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一
2T
Ty23sinx3
，6。6（Ⅰ）依题意，有A23，4，又当x4是，
y23sin
2
33
o
M(4,3又p(8,3MP42325
（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN=，则0°<<60°
MPNPMN
00sinsin120sin(60由正弦定理得
103103
sin(600sinMN33,
10310310313
sinsin(600(sincos33323
NP
故
NPMN
103
sin(6003
0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
222
由余弦定理得MNNP2MNNPcos∠MNP=MP
22
即MNNPMNNP25
故
(MNNP225MNNP(
103MNNP23
MNNP(MNNP225
32,从而4，即
当且仅当MNNP时，折线段道MNP最长
注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①123943123943N(，）N(，）
2626；②；③点N在线段MP的垂直平分线上等
19、（本小题满分13分）
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x2
22ya已知A,B分别为曲线C：+=1（y0,a>0）与x轴
的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
(1若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,
使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。19.【解析】解法一：
(Ⅰ当曲线C为半圆时，a1,如图，由点T为圆弧AB的三等分点得∠BOT=60°或120°.(1当∠BOT=60°时,∠SAE=30°.
SBABtan30

,s(t,;
S(1,
23
或S(1,233
又AB=2,故在△SAE中,有
(2当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为(1,23,综上,(Ⅱ假设存在a(a0,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故BTOS.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为yk(xa.x22
2y1
得(1a2k2x22a2k2xa4k2a20a
yk(xa由
a2k2a2
T(xT,yT,xT(a,22
1ak设点
aa2k2aa2k22ak2ak
T(,.xTyTk(xTa22222222
1ak1ak1ak1ak故,从而.亦即2a2k22ak
B(a,0,BT((,
1a2k21a2k2xa
yk(xas(a,2ak,OS(a,2ak.由得
2a2k24a2k2
BTOS022222
BTOS1ak2由,可得即2ak4ak0k0,a0,a2
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福建高考·数学试卷
经检验,当a2时,O,M,S三点共线.故存在a2,使得O,M,S三点共线.解法二:
(Ⅰ同解法一.
(Ⅱ假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故SMBT.
显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为yk(xax22
2y1
得(1a2b2x22a2k2xa2k2a20a
yk(xa由
a4k2a2
xT(a.22T(x,y1akTT设点,则有
aa2k22akaa2k22ak
xT,从而yk(xa亦即T(.TT22222222
aak1ak1ak1ak故B(a,0,kBT
yT1
2,故kSMa2kxTaak
xa
得S(a,2ak,2
yk(xa由所直线SM的方程为y2akak(xa
2
2akak(a.O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即
a0,K0,a2.故存在a2,使得O,M,S三点共线.
20、（本小题满分14分）
1
f(xx3ax2bx
3已知函数,且f'(10
(1试用含a的代数式表示b,并求f(x的单调区间；
x,x(xx2xf(x1xf(x2
（2）令a1,设函数f(x在121处取得极值，记点M(1,，N(2,，P(m,f(m,x1mx2
,请仔细观察曲线f(x在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的m(
x1
,x2，线段MP与曲线f(x均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（II）若存在点Q(n,f(n,xn使得线段PQ与曲线f(x有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）20.解法一:
2
f'(xx2axb.由f'(112ab0得b2a1.(Ⅰ依题意,得
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福建高考·数学试卷
1
f(xx3ax2(2a1x,故f'(x(x1(x2a1.
3从而令f'(x0,得x1或x12a.①当a>1时,12a1
当x变化时，f'(x与f(x的变化情况如下表：
x
f'(xf(x
(,12a
+单调递增
(12a,1
－单调递减
(1,
+单调递增
由此得，函数f(x的单调增区间为(,12a和(1,，单调减区间为(12a,1。
②当a1时，12a1此时有f'(x0恒成立，且仅在x1处f'(x0，故函数f(x的单调增区间为R
12a1同理可得，③当a1时，函数f(x的单调增区间为(,1和(12a,，单调减区间为(1,12a
综上：
当a1时，函数f(x的单调增区间为(,12a和(1,，单调减区间为(12a,1；当a1时，函数f(x的单调增区间为R；
当a1时，函数f(x的单调增区间为(,1和(12a,，单调减区间为(1,12a.
1
f(xx3x23x2
f(xx2x30得x11,x23a13(Ⅱ由得令
x1,x23
由（1）得f(x增区间为(,1和(3,，单调减区间为(1,3，所以函数f(x在处1取得极值，
1,
故M（
5
3）N（3,9）。
观察f(x的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f(x在点P处切线的斜率f(x之差Kmp-f'(m的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－f'(m的m正负有着密切的关联；
③Kmp－f'(m=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－f'(m的m就是所求的t最小值，下面给出证
2
f'(mm2m3；f(xP(m,f(m明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率
m24m5

3线段MP的斜率Kmp
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福建高考·数学试卷
当Kmp－f'(m=0时，解得m1或m2
m24m5m24m
y(x
33直线MP的方程为m24m5m24m
g(xf(x(x
33令
2
g'(xx2x在(1,2上只有一个零点x0，可判断f(x函数在(1,0上单调递增，在(0,2上m2当时，
单调递减，又g(1g(20，所以g(x在(1,2上没有零点，即线段MP与曲线f(x没有异于M，P的公共点。
m24m
g(002
m2,3g(2(m203当时，.
所以存在即当
m0,2
使得g(0
m2,3时,
MP与曲线f(x有异于M,P的公共点
综上，t的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：
（1）同解法一.
1,3
1
f(xx3x23x2
f'(xx2x30，得x11,x23a13（2）由得，令
由（1）得的f(x单调增区间为(,1和(3,，单调减区间为(1,3，所以函数在处取得极值。故
1,
M(
5
3.N(3,9
m24m5m24myx.
33(Ⅰ直线MP的方程为
m24m5m24m
yx33
y1x3x23x3222
x3x(m4m4xm4m03由得线段MP与曲线f(x有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m上有根,即函数g(xx33x2(m24m4xm24m在(-1,m上有零点.
因为函数g(x为三次函数,所以g(x至多有三个零点,两个极值点.
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福建高考·数学试卷
又g(1g(m0.因此,g(x在(1,m上有零点等价于g(x在(1,m内恰有一个极大值点和一个极小值点,即g'(x3x26x(m24m40在(1,m内有两不相等的实数根.
等价于
＝3612（m24m4）＞0
22
3(16(m4m402
2
3m6m(m4m40m1
即
1m5
m2或m1,解得2m5m1

又因为1m3,所以m的取值范围为(2,3
从而满足题设条件的r的最小值为2.21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换
23
11所对应的线性变换把点A(x,y变成点A‘(13,5,试求M的逆矩阵及点A的坐标已知矩阵M
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
x12cos

y22sin(为参数试判断他们的公共点个数
已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1
23131
MM,,
1211M1得21.(1解:依题意得,由,故23x13x1313113352
11y5y12511325得3从而由
x2,
即A(2,3y3,故为所求.
22
(x1(y24.(2解:圆的方程可化为
其圆心为C(1,2,半径为2.
(3解:当x<0时,原不等式可化为2x1x1,解得x0又
x0,x不存在;
当
0x
1
2时,原不等式可化为2x1x1,解得x0
1111
0x,0x;x,x2
22当22又综上,原不等式的解集为
x|0x2.

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福建高考·数学试卷2009福建数学试题（文史类）
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合Ax|x0.Bx|x3，则A
B等于
DR
A．{x|x0}B{x|0x3}C{x|x4}2.下列函数中，与函数y
1
有相同定义域的是x
Af(xlnxBf(x
1xCf(x|x|Df(xex
3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别
(0,10](20,20](20,30(30,40(40,50](50,60](60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10,40上的频率为
A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64
x2y2
4.若双曲线221ao的离心率为2，则a等于
a3
A.2B.C.
3
w.w.w..s.5.u.c.o.m
3
D.12
1。2
5.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为则该集合体的俯视图可以是

6.阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A．-1B.2C.3D.47.已知锐角ABC的面积为33，BC4,CA3，则角C的大小为A.75°B.60°B.45°D.30°
w.w.w..s.5.u.c.o.m
8.定义在R上的偶函数fx的部分图像如右图所示，则在2,0上，下列函数中与
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第32页





fx的单调性不同的是
A．yx1B.y|x|1C.y
2
福建高考·数学试卷
2x1,x0x1,x0
3

x
e,xo
D．y
xe,x0
xy10

9.在平面直角坐标系中，若不等式组x10（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为
axy10
A.-5B.1C.2D.3
w.w.w..s.5.u.c.o.m
10.设m,n是平面内的两条不同直线；l1,l2是平面内的两条相交直线，则//的一个充分而不必要条件是A.m//且l1//B.m//l1且n//l2C.m//且n//D.m//且n//l211.若函数fx的零点与gx4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则fx可以是A.fx4x1B.fx(x1
2
x
C.fxe1D.fxInx
12
12.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac∣a∣=∣c∣,则∣b•c∣的值一定等于
A．以a，b为两边的三角形面积B以b，c为两边的三角形面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
w.w.w..s.5.u.c.o.m13.复数i1+i的实部是。
2
14.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧ab的长度小于1的概率为；
2
w.w.w.ks.5.u.c.o.m
15.若曲线fxaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
16.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为
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福建高考·数学试卷

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．(本小题满分2分）
等比数列{an}中，已知a12,a416（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。18．（本小题满分12分）
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。19．（本小题满分12分）
w.w.w..s.5.u.c.o.mw.w.w..s.5.u.c.o.m
已知函数f(xsin(x,其中0，||（I）若cos

2
w.w.w..s.5.u.c.o.m

4
cos,sin

sin0,求的值；4
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f(x的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

，求函数f(x的解析式；并3
求最小正实数m，使得函数f(x的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数。20．（本小题满分12分）
如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将

CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD（I）求证：ABDE
（Ⅱ）求三棱锥EABD的侧面积。
w.w.w..s.5.u.c.o.m
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已知函数f(x
福建高考·数学试卷
21．（本小题满分12分）
13
xax2bx,且f'(103
（I）试用含a的代数式表示b；
（Ⅱ）求f(x的单调区间；
w.w.w..s.5.u.c.o.m
（Ⅲ）令a1，设函数f(x在x1,x2(x1x2处取得极值，记点M(x1,f(x1,N(x2,f(x2，证明：线段MN与曲线f(x存在异于M、N的公共点；22．（本小题满分14分）
x2y2
已知直线x2y20经过椭圆C:221(ab0
ab
的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，AS,BS与直线l:x分别交于M,N两点。
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这
样的点T，使得TSB的面积为
w.w.w..s.5.u.c.o.m103
1
？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由5
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福建高考·数学试卷
2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．计算sin43°cos13°cos43°sin13°的结果等于
A．
12
2
B．
33
C．
22
D．
32
2．以抛物线y4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
A．xy2x0B．xyx0C．xyx0D．xy2x0
3．设等差数列{an}前n项和为Sn。若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于
A．6B．7C．8D．9
2
2
2
2
2
2
2
2
x22x3，x0，
4．函数f(x的零点个数为
2lnx，x0
A．0B．1C．2D．3
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于
A．2B．3C．4D．56．如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体
EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，
F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不
正确的是
A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．是棱柱D．是棱台
x2
0分别为双曲线2y21（a0）的中心和左焦点，点P为双7．若点O和点F(2，
a
曲线右支上的任意一点，则opfp的取值范围为
A．[3-23，）B．[3+23，）C．[
77
，）D．[，）
44
x1

8．设不等式组x2y30所表示的平面区域是1，平面区域2与1关于直线3x4y90对称。对于1中
yx
的任意点A与2中的任意点B，|AB|的最小值等于
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A．

28
5

B．4
福建高考·数学试卷

C．
12
5
D．2
a1，2
9．对于复数a，b，c，d，若集合S{a，b，c，d}具有性质“对任意x，yS，必有xyS”，则当b1，时，
c2b
bcd等于
A．1


B．-1

C．0

D．i
10．对于具有相同定义域D的函数f(x和g(x，若存在函数h(xkxb（k，b为常数），对任给的正数m，
0f(xh(xm，
xDxx存在相应的0，使得当xD且则称直线l:ykxb为曲线0时，总有
0h(xg(xm，
。给出定义域均为D=xx1的四组函数如下：yf(x与yg(x的“分渐近线”①f(xx，g(x
2
x；②f(x10x2，g(x
2x3
；x
x212x2xlnx1x
③f(x，g(x；④f(x，g(x2(x1e。
xx1lnx
其中，曲线yf(x与yg(x存在“分渐近线”的是
C．②④D．③④

第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
11．在等比数列{an}中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an。12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表．面积等于。．．
13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手
若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。．．
假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。14．已知函数f(x3sin(x
A．①④
B．②③

(0和g(x2cos(2x1的图像的对称轴完全相同。若x[0，]，则62

f(x的取值范围是。
15．已知定义域为(0，（1）对任意x(0，（2）当x(的函数f(x满足：，恒有f(2x2f(x成立；1，2]
时f(x2x。给出结论如下：
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m
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n
①对任意mZ，有f(20；②函数f(x的值域为[0，；③存在nZ，使得f(219；④“函
2”数f(x在区间(a，b上单调递减”的充要条件是“存在kZ，使得(a，b(2，。
其中所有正确结论的序号是。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本小题满分13分）
设S是不等式xx60的解集，整数．．m，nS。
（Ⅰ）记“使得mn0成立的有序数组．．．．(m，n”为事件A，试列举A包含的基本事件；（Ⅱ）设m，求的分布列及其数学期望E。17．（本小题满分13分）
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3，且点F(2，0为其右焦点。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，
求出直线l的方程；若不存在，说明理由。18．（本小题满分13分）
如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABCA1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。（Ⅰ）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）设ABAA1。在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱
2
kk1
2
ABCA1B1C1内的概率为p。
（ⅰ）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；
（ⅱ）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为（0°＜≤90°）。当p取最大值时，求cos的值。

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福建高考·数学试卷
19．（本小题满分13分）
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数f(xxx，其图象记为曲线C。
（ⅰ）求函数f(x的单调区间；
（ⅱ）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1处的切线交于另一点P2(x2，f(x2，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3，线段P1P2、P2P与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则
3
S1
为定值；S2
3
2
（Ⅱ）对于一般的三次函数g(xaxbxcxd(a0，请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。
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21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前
两题记分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
1ac220已知矩阵M，N，且MN。
b1od20
（Ⅰ）求实数a、b、c、d的值；（Ⅱ）求直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程。（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
2
x3t2在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取y52t2
相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为25sin。（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B。若点P的坐标为（3，5），求|PA||PB|。（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x|xa|。
（Ⅰ）若不等式f(x3的解集为x1x5，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(xf(x5m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。


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福建高考·数学试卷
【数学试题（理工农医类）参考答案】
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1．A2．D3．A4．C5．C6．D7．B8．B9．B10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分20分。11．4n112．62313．0.12814．
3
,315．①②④2
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。满分13分。
解：（I）由xx60得2x3，即Sx|2x3
2
由于m,nZ，m,nS且mn0，所以A包含的基本事件为：(2,2，(2,2，(1,1，(1,1，(0,0（II）由于m的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，所以m的所有不同取值为0，1，4，9，且有P0
2
121211
，P1，P4，P9663636
故的分布列为：

P
0149
111633111119
所以E0149
63366
1
6
17．本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。满分13分。解法一：
x2y2
（I）依题意，可设椭圆C的方程为221（a>b>0），且可知左焦点为F(2,0
ab
从而有
c2解得
2a|AF||AF|358
2
2
2
c2
，a4
x2y2
1又abc，所以b12，故椭圆C的方程为
1612
2
（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y由
3
xt2
y
3
xt得3x23txt21202
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福建高考·数学试卷
x2y2
1
1612
因为直线l与椭圆C有公共点，所以3t解得43t43
另一方面，由直线OA与l的距离d4可得
43t
2
2
120，

|t|914
4，从而t213。
由于21343,43，所以符合题意的直线l不存在。解法二：

x2y2
（I）依题意，可设椭圆C的方程为221（a>b>0），且有：
ab
492
。从而a161，解得b212或b23（舍去）22
aba2b24
（II）同解法一
18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13分。解法一：
（I）A1A平面ABC，BC平面ABC，A1ABC
AB是圆O的直径，BCAC
又ACA1AA，BC平面A1ACC1而BC平面B1BCC1，
所以平面A1ACC1平面B1BCC1。
（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则ABAA12r故三棱柱ABC_A1B1C1的体积V1
1
ACBC2rACBCr2
2
2
2
2
又ACBCAB4r
AC2BC2
2r2ACBC
2
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2r时等号成立。
福建高考·数学试卷
当且仅当ACBC从而，V12r
3
而圆柱的体积Vr2r2r，
23
V12r31
故p，当且仅当3
V22r
ACBC2r，即OCAB时等号成立。
所以，p的最大值等于
1

（ii）由（i）可知，p取最大值时，OCAB
于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz（如图），则C(r,0,0，B(0,r,0，B1(0,r,2r
r，0是平面A1ACC1的一个法向量BC平面A1ACC1，BC(r，
设平面B1OC的法向量n(x,y,z，
x0nOCrx0由得。故。
ry2rz0y2znBO1
取z1，得平面B1OC的一个法向量为n(0,2,1
090，
cos|cosn，BC|
解法二：
（I）同解法一
nBC

|n||BC|2r10

552r
（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则ABAA12r，故三棱柱ABC_A1B1C1的体积V1设BAC(090，
则ACABcos2rcos，BCABsin2rsin，
222
由于ACBC4rsincos2rsin22r，当且仅当sin21即45时等号成立，故V12r
3


1
ACBC2rACBCr2
而圆柱的体积Vr2r2r，
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23




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V12r31
45故p，当且仅当即时等号成立。sin213
V22r
所以，p的最大值等于（ii）同解法一
解法三：
（I）同解法一
（II）（i）设圆柱的底面半径r，则ABAA12r，故圆柱的体积Vr2r2r因为p
2
3
1

V1
，所以当V1取得最大值时，p取得最大值。V
又因为点C在圆周上运动，所以当OCAB时，ABC的面积最大。进而，三棱柱ABC_A1B1C1的体积最
1
2rr2r2r32
1
故p的最大值等于

大，且其最大值为
（ii）同解法一
19．本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。解法一：
（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S
900t2400230t20cos(9030
=900t2600t400=900(t300
13
2
故当t
1031
303时，Smin103，此时v13
3
即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。（II）设小艇与轮船在B出相遇，则
vt400900t22030tcos(9030
22
2


600400
2tt
600400
29000v30，900tt
232
即20，解得t
t3t
故v900
2
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又t

2
时，v303
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23
此时，在OAB中，有OAOBAB20，故可设计寒星方案如下：
故v30时，t取最小值，且最小值等于
航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇
解法二：
（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。

在RtOAC中，OC20cos30103，AC20sin3010


又AC30t，OCvt此时，轮船航行时间t
103101
303，v1303
3
即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。
（II）猜想v30时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时ADDO30t又OAD60，所以ADDOOA20，解得t据此可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇证明如下：
如图，由（I）得OC103，AC10，
故OCAC，且对于线段AC上任意点P，
有OPOCAC而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇。

设COD(090，则在RtCOD中，CD103tan，OD

23

103
cos
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t
10103tan103
和t
30vcos10103tan103

30vcos
所以，
由此可得，v
153

sin(30
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1a7ca90e52ea551810a68766.html

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