高中数学公式大全（完整版）

高中数学常用公式及常用结论

1.包含关系

5d8cac82d8ca80120a54039407728206.png6c18de888cb9e1a7f0c55a8ac224c2ba.png

0493dc80f22da7c4750fd2e17626819c.png91bea3a8454ad4e1fe7052ef5c8b13eb.png

2．集合e0b360a7007cc8ef5f61e442e57d664e.png的子集个数共有9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png 个；真子集有9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png–1个；非空子集有9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png –1个；非空的真子集有9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png–2个.

3.充要条件

（1）充分条件：若8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png充分条件.

（2）必要条件：若57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png必要条件.

（3）充要条件：若8f9261a44b8a1edd70f029c87720b45b.png，且57cc3977148e068ebe558dd8364f62cd.png，则83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

4.函数的单调性

(1)设d2ff18199725d163f8f387efeef4ee0b.png那么

53c95935771cabc47de9124f275445c6.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png756cf8ae8455b6a9cc0752bc04d7f6fb.png上是增函数；

e969c7875ebf4c28afc8d975ff81691a.png21f3065fc22cf3d1973b5e56566e5f15.png上是减函数.

(2)设函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在某个区间内可导，如果8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为增函数；如果99300cb144197ff8dc44e17568431c8f.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为减函数.

5.如果函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png和e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png都是减函数,则在公共定义域内,和函数f070deff5c0629450c5a975b58c3c33a.png也是减函数; 如果函数26d63478e01213a317db1123c14d2759.png和f1ea68a4a1e70e96ada7592ef8752c30.png在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数a4d4c3e2796d07fb34655333090ff575.png是增函数.

6．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

7.对于函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png(b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png),29ccc964b3b2b171d43078acea431fe3.png恒成立,则函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的对称轴是函数559fdec985419770489ac325a7163588.png;两个函数abd275da3c4c9cb8d98b19eb2ac2038e.png与83812c1c52259e6adf7ce85bdcd41c80.png 的图象关于直线559fdec985419770489ac325a7163588.png对称.

8.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）b7178f657723e6d095bc952b2da2cbb3.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的周期T=a；

（2），be639a7804ff28de57eba8643c3ef48c.png，或77b88666f80eb097bf6940c1a82ff75a.pngd87e8b223f195be960319a1644892755.png,则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的周期T=2a；

9.分数指数幂

(1)11fb32381fdbf30fca2e193e6a6242d1.png（adeb1ddd926c81dba4f09f8cadab7f97.png，且eb380f3b2439960f7727e82712b46659.png）.(2)8f2bc0094c38995ae1564ca66468a85c.png（adeb1ddd926c81dba4f09f8cadab7f97.png，且eb380f3b2439960f7727e82712b46659.png）.

10．根式的性质

（1）6f42e04bd5bcd60b95bbae97600c8383.png.（2）当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为奇数时，7434aaa4beee5964a4821af65c1a1732.png；当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为偶数时，6a7ff0fa8a2286642b0cb13cb6cfb5f7.png.

11．有理指数幂的运算性质

(1) cd4503ed13bd83e73e00b1e6f9c9e5b0.png.(2) 3cca522f22b9f7d83f02b47794af4264.png.(3)a5d58ca6828a4c87a52a76404419ee2c.png.

12.指数式与对数式的互化式 b72f9b99f4ada22489f383c28ed178f4.png72f71353d61f5cc75ea4d454bc6602f7.png.

①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：2f4daa3a598b89ddaa3c24a14c6b1eaf.png，③.底的对数等于1：30a5d1addef20d4a10676cefb4543cae.png，

④.积的对数：649a1803f29980c27f55facfdb9b072f.png，商的对数：1143009a3024f19b92986df626997e0c.png，

幂的对数：3b6b0ea0a4092d1fdead5be29cad52b3.png；978a81bd7933b82dd370ca1c6f7e06ec.png

13.对数的换底公式 02d8a2cce2b0bf2b46e7502749a792a6.png (323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png,且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png,0a0596a02eb219bd6336b93543a68c06.png,且6040b3ef70ed610225fa0cfbcffce00e.png, e40b53e14e3d3c13fa7bdea5a55d75e1.png).

推论 978a81bd7933b82dd370ca1c6f7e06ec.png(323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png,且cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png,3606633bba20c6d87dac95b706058a15.png,且6040b3ef70ed610225fa0cfbcffce00e.png,558102c4ce5b227b6bd595dfbe34ea29.png, e40b53e14e3d3c13fa7bdea5a55d75e1.png).

15.edcced93d9268bfb7aa42d2504ab7b6c.png( 数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前n项的和为c3e754c9de2f8dc31c850d4f0daf460f.png).

16.等差数列的通项公式6c6e43abd8e479ec59a3ce1d483e110c.png；

其前n项和公式为0cd74ed1012835a0a7aac4f7549e75c7.png8a27577ba263ca75b74878799f5c0ff3.pngaad0411d01f541508a8050f538e13fb9.png.

17.等比数列的通项公式eab6a272c1e2a171fb3f396ad32eed56.png；

其前n项的和公式为eabdac6d7c89c85ba42909c036969392.png或7e9d18b374301a539d000da876a2312d.png.

18.同角三角函数的基本关系式

e118925b0f3e63aba478299dda2422d8.png，479c99e9f28bd49e9cdc9a477664ecd3.png=245af287d5b20e36cce37b71dcb170bd.png

19正弦、余弦的诱导公式

1dde8edff1790a68eb7107cc7c20c810.png

20和角与差角公式2f2b28e2279d2c73d3811766cc6af1c4.png;

946c54c50d5465738d77c8615c836810.png;

2d70bb770b622c114d8ff7f9f94ab34c.png.

6e05bef7c83d102ec0bf27ff999ca60f.png=8542d0281419e25a29a36ec7859df5f4.png(辅助角6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png所在象限由点2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png的象限决定,2db4c92a92e98d8adff918d7651b5e97.png ).

21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

word/media/image91.gifecd15780f55347ab887289256f2baa37.png．

word/media/image93.gifb6dbd85fa17003540faf928b01fac822.png（ff169f7cd243842e30b36a55344c47bb.png，ea8d9795da4d8c00cd5909ff3840ffdc.png）．

word/media/image97.gif3a2e1cddc1d990e4d59f290faf85e0e8.png．

22.三角函数的周期公式

函数ae10d3e58e961e5826d906d26a1ef99c.png，x∈R及函数a7379b8ed4c6a1a0fbfe65e29a867648.png，x∈R(A,ω,6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png为常数，且A≠0，ω＞0)的周期7c3e73a85e1109da0535195a40bd9df0.png；函数bae9eea9d4e606a3664ec5a82dd9859e.png，05d5c318e3f75da138d5d9e0cffa7b02.png(A,ω,6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png为常数，且A≠0，ω＞0)的周期b28d823dc0e2a9449c0cad0bf93dc423.png.

23.正弦定理 

ba95bde14a58a443492dd352cdcb9025.png.

24.余弦定理

5baa7775d27835aba37638abd1c50c6a.png;da1b2f9db47f71f917e0d2bcc5e15270.png;e8c5fc33ca5e71b23433548560bfe291.png.

25.面积定理4ed68ee90c7c214066be107cc3487601.png（2）.

26.三角形内角和定理

在△ABC中，有cb45c9588070e19f2568ef2dc4da941d.png66c3405dafacbbb0e909381d73e75fd3.png2124d08c47ab567874ae92b876c86243.png.

27.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

28.向量的数量积的运算律：

(1) a·b= b·a （交换律）;(2)（6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.pnga）·b= 6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png（a·b）=6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.pnga·b= a·（6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.pngb）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

30．向量平行的坐标表示  

设a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png，且b3a48711e9401be3b05ee17167e850740.png0，则a07b71b0c30c5e44746c34f464b26c88c.pngb(b3a48711e9401be3b05ee17167e850740.png0)7df724f55e59590daeaaef3107709696.png.

31. a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．

32.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

33.平面向量的坐标运算

(1)设a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png，则a+b=cc609d511651798230ad1161bad4af08.png.

(2)设a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png，则a-b=bfb588fbb9ae41ab9bfad6878ae7bd9c.png.

(3)设A613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png，Bb283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png,则afbdbc3eb49695d14b06c7c8d8a40926.png.

(4)设a=ccfec81affd1be5aed4b27e2ce47e14c.png，则6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.pnga=d90d7cbbf7194a4bfdd3579ce9c05cfb.png.

(5)设a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png，则a·b=719823980386682cbf49b7d88c010000.png.

34.两向量的夹角公式f78e673a0bebcf5bfa7fa147533fe272.png(a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png).

35.平面两点间的距离公式 3d41141dd0cf0cb930e85840143584b7.png=c6aa402fb20f6c5629fec11fecd8cbed.png

c87c2108d5182301430800870f8502f8.png(A613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png，Bb283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png).

36.向量的平行与垂直

设a=613c8cdd5c639e212bb058608712c542.png,b=b283d7414b5877e4cc3234eee29bc11d.png，且b3a48711e9401be3b05ee17167e850740.png0，则

A||bce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngb=λa 7df724f55e59590daeaaef3107709696.png.

ab6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pngb(a3a48711e9401be3b05ee17167e850740.png0)ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pnga·b=0d56afa4567ac387ef5bff563d0453502.png.

37.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为f99a5e7a20e963b917af6f0a746b0589.png、32a60b125f2f670bebc6a7a1ef8a9f5c.png、0537750ebd40c843967280a3e11aff48.png,则△ABC的重心的坐标是9e888f02e7140f423a1c863bad687a9f.png.

设f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png所在平面上一点，角ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png所对边长分别为a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png，则

（1）f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的外心1404c6923abf4c8d2cd3231e17b73240.png.（2）f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的重心bfbd54173e39d1a6c73775417232d2c1.png.

（3）f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的垂心90e2846ee4cdf3e729509fc020f824bf.png.

38.常用不等式：

（1）6c12c6a680f729d40ccbd9c06d71bba0.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png3825027dfa6fb96b72501b9db6622055.png(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）46da7b0b51c10c37b5cc4324a7c811c1.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png5c300f2e30d6778119a75058226b5525.png(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）7a055ecf0096b49f1c7de90a303c4b08.png.

39已知f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png都是正数，则有（1）若积3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png是定值83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，则当919860b52317a584e5de6f3257631d16.png时和45df18c90c71ea2066f8596159e11288.png有最小值71a03fd4685796c58a747022d5487743.png；

（2）若和45df18c90c71ea2066f8596159e11288.png是定值03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png，则当919860b52317a584e5de6f3257631d16.png时积3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png有最大值4403ed668b462589be5376f04d102e6e.png.

40.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有a7a1aa4ad38e8bcf7075f0228fea17a9.png.

a91e191a9b1704e3cb0475922704159d.png或5615e6e95da71889845e815d48cc6275.png.

41.斜率公式 903bd5576a7510fa774317892bbb2bf4.png（58618bbaca17900bc9054fd4473d4a41.png、44dee2bccddf101f4a46e80ad4fa353d.png）.

42.直线的五种方程

（1）点斜式 14b9b403231b965eb087bc35574db3b9.png (直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png过点58618bbaca17900bc9054fd4473d4a41.png，且斜率为8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)．

（2）斜截式 10afe20a154e668773a425e2b93af4cc.png(b为直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png在y轴上的截距).

（3）两点式 abbc69ee138f91c873b4cb790cfea485.png(fa2a194803a45456a806111a2a3a3a67.png)(58618bbaca17900bc9054fd4473d4a41.png、44dee2bccddf101f4a46e80ad4fa353d.png (b3f7e10b4408ebf3a39cf02627d83adb.png)).

(4)截距式 fa23b9b672960bd5bea7a8c86dfacbff.png(4e58b14a67416f313f02fe5d0d4f9017.png分别为直线的横、纵截距，bafd1e1b540a87d3e2f1e1ca7583009d.png)

（5）一般式 a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png(其中A、B不同时为0).

43.两条直线的平行和垂直

(1)若bb2dafa08c463a0c271d975d60fc0db8.png，bd482b503ec98d89288a59046385d418.png①7c9d051aa0aaed4d2d2d8556002eb24d.png;②946ba3532749bd0f2610907b2a602c0c.png.

(2)若8ef3fbb93371365778665efffe68babc.png,b23857a18f198cf882350f8276bde0b4.png,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①5a97958d5a8e6fdcfdcf8dc4b8c3102e.png；②dc7da5669ae3a562ad9a92eb9e5c79a7.png；

(8ef3fbb93371365778665efffe68babc.png,b23857a18f198cf882350f8276bde0b4.png,eb13cab42306c8a0bbceec4849fdc286.png).

直线c2de07f7907e4a10f7b8c46bf6141802.png时，直线l1与l2的夹角是6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png.

45.点到直线的距离 4b552c669e0dedb826fb09214833583b.png(点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png,直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png).

46. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 a092d3e88c87f2b51324b933d0c1c290.png.

（2）圆的一般方程 6855aa4a76a27e711587b788b428b1cd.png(1ae7531fe8127f16966b0230eea6beba.png＞0).

47.直线与圆的位置关系

直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png与圆a092d3e88c87f2b51324b933d0c1c290.png的位置关系有三种:

63e00f2765b2619fbaf77cd8ab0bb578.png;05cf3327f7d6712bf9447d28770e0400.png;

21ad8c018f8fae580600bce0e11303a1.png.其中f11b9337c5cf315e10b2dc756b90a2dc.png.

48.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，4fe025e98d236682a66395bb4dd331bd.png

653b0db38b20f3f89ee58292da9aa36e.png;d8615e39ffaa43cbb6e44f90d835008b.png;

7008094eea7698ae0f4971928623b2d7.png;0f010ba6c610da8e6c608a9b4f0961bc.png;

69e4161275c44b78fadc8f1350ea0e87.png.

49.圆的切线方程

(1)已知圆6855aa4a76a27e711587b788b428b1cd.png．(2)已知圆96597b64664f07a4c5cd937756976fa1.png．

①过圆上的2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png点的切线方程为0021f5fabbf70fb41873c06c17f5ecf5.png;

50.椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png的参数方程是d6bf96998111d9d919f092735a208ee6.png.

51.椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png焦半径公式 903dd9ca14ac8758a4e442e6afd844b1.png，466b90e6d38efb4ba85c48be10303050.png.

52．椭圆的的内外部

（1）点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png在椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png的内部f388e45d90ca8e9d03c92a3922ad51da.png.

（2）点e4f1b250ead2ba50cdb8642cf9433de6.png在椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png的外部622038ca3d3fc8da0af8a7e56331ab80.png.

53.双曲线87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png的焦半径公式fd04247950bb76043b495ad57769a639.png，553880b84e0b2e2ec13974496b658103.png.

54.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为45b71004573972dd1ed36b0340f53450.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png渐近线方程：02794039bd4d4110819a81981c6ae523.pngc971dc74a774f4e234017f8b58910834.png.

(2)若渐近线方程为c971dc74a774f4e234017f8b58910834.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngdcafb309c73290a71b69b270742c19fe.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png双曲线可设为3651b2839081a500e2a80232838c9d5f.png.

(3)若双曲线与45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png有公共渐近线，可设为3651b2839081a500e2a80232838c9d5f.png（b4a0aa34ac4fab62293e6a834b19c6af.png，焦点在x轴上，c4b446837483b1714a478c5e7a5d539c.png，焦点在y轴上）.

55. 抛物线49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png的焦半径公式

抛物线8453a76292bcf676851b25f8ab891508.png焦半径ffa27a1e934f4b939815c47ccb041b2a.png.

过焦点弦长6c1ed78c016cbce6b09927a0c18ef936.png.

56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 60007720b2d28c639c796db4a57a5c17.png或

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png（弦端点Aafd589161286076ddaedf12bbcf0434d.png，由方程a43e46447c572e406351e37f6dc79cd1.png 消去y得到0c4913db725b72609d4825124dda12aa.png，55572ad9aeddcc415b04fa3e0e1cc5eb.png,ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png为直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的倾斜角，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为直线的斜率）.

57(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

59共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥bce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png存在实数λ使a=λb．

2409cb62a137a12ab9c92986e44ad27f.png三点共线ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png7f9caacc18c0ac25d913540fbebf61a2.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png3a4635e81265875e9a393aa306a79920.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png8c3904b328fb85f3c1b132292202c8f8.png.

60.向量的直角坐标运算

设a＝3687074a073adc704716d37e3842fef4.png，b＝3f366534d299e576e714219a8359f497.png则

(1)a＋b＝7b43b59314a3ddab7666841eb94f03c2.png；(2)a－b＝c25dd5168d4eae91207a3785c5e6ff3f.png；(3)λa＝5690cd6ea1f83389afcd716c30f13689.png (λ∈R)；

(4)a·b＝bac1022b19ebd146fc41e9816d0b7f0f.png；

61.设Ad1c9e96dcd21aad69e50d80b59a0b3b9.png，Bc91b4124fc686cd1c0589ab53451610c.png，则8a6178b274d8ac9b48a3cd28f356ef6c.png= 982c85116e4e4ffb617b2fdcfdaaed96.png.

62．空间的线线平行或垂直

设3e900ced5775b9ac1c596312497f6c91.png，b8496ef05c4149d372baf4f5ba2f4aff.png，则166d019db3dfb9eb0cc7ab35de10b375.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngde3e7222857211bcd8ecea97cfe2b7ba.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngee19c6b645843965bd062dcb32175c05.png.

63.夹角公式

设a＝3687074a073adc704716d37e3842fef4.png，b＝3f366534d299e576e714219a8359f497.png，则cos〈a，b〉=dea2468d4cb0f2eab21c46dd1d8e9113.png.

64．异面直线所成角3a1c39d68ef73c29da4b4381afcdaadc.png=51e15b6ca3a33b2fc958ad8b4056cd45.png

（其中7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png（e0a3b3b843e3d649c6e73e201b5fb5bd.png）为异面直线b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png所成角，d10fe3a9f5be5e94fbdaee38ed47b25f.png分别表示异面直线b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png的方向向量）

65.直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png与平面所成角

a56437a1646f28571580d7136687fdf5.png(af282c270a8a7df81da34b9586faeae1.png为平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的法向量).

66.二面角67111ca5532c8e2b2acf2d7394ad91dd.png的平面角fc68da614e30b0f3654ee47b2b5bd4e0.png或810b175a259472c730ad18eed4fcd6ce.png（af282c270a8a7df81da34b9586faeae1.png，13e018b86466da0a42b05678e6c53cbb.png为平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的法向量）.

134.空间两点间的距离公式

若Ad1c9e96dcd21aad69e50d80b59a0b3b9.png，Bc91b4124fc686cd1c0589ab53451610c.png，则 3d41141dd0cf0cb930e85840143584b7.png=c6aa402fb20f6c5629fec11fecd8cbed.pngeb0b15ef8a4a3e482f1febce99ffc3f0.png.

67.球的半径是R，则

其体积127c830497144649da2ae6ca85ee4963.png,其表面积588974957aabb8b4461773b5d5a99d9c.png．

(3) 球与正四面体的组合体:

棱长为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的正四面体的内切球的半径为d92b92ddc19f69b34875ad3492bc1b8a.png,外接球的半径为2149fb7d8f2362407dceb67e16bdb48d.png.

68efffb4dde345930c2a1f41dbc4d32e1b.png（5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png是柱体的底面积、2510c39011c5be704182423e3a695e91.png是柱体的高）.dcceefa8563da36eb9a15c4acbc8e8e5.png（5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png是锥体的底面积、2510c39011c5be704182423e3a695e91.png是锥体的高）.

69.分类计数原理（加法原理）7dac0ef86bb91a58e74a0302e84c4332.png.

70.排列数公式 c69b29621e50ebb360b06e7a34a3143b.png=c3cc3b53f3dde8e75b45aad0e45f277d.png=6077f831c821190aa959ebbc30444141.png.(7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png，6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png∈N*，且2efaf727c5eb6670c38fbaaa8bdb1b06.png)．注:规定c57a4bc902063579fb424e5020d2a8da.png.

71.组合数公式 6c391bb645153b018e70c3cab51be472.png=b048b2d7e72d6dc1086959374ecf33b5.png=0f9693f5f73f5639741bf2414a489fb9.png=cff15f68d65fd29a76d3c61ed8f354c1.png(7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png∈N*，d1d9ce569681767eddddd5cc7c212946.png，且2efaf727c5eb6670c38fbaaa8bdb1b06.png).

72.组合数的两个性质(1)6c391bb645153b018e70c3cab51be472.png=e83fc327098f7cd17e9309236d371b98.png ;(2) 6c391bb645153b018e70c3cab51be472.png+625510eb3cb94f0c9e972fddd41f9031.png=13c631f1a8f6975da211d4d716770af2.png.注:规定1dc074c601f3440248cb6f1192a8847f.png.

155.组合恒等式（1）c71e91523cc18e219ebb785e14344b85.png;（2）5e0d498a3f0a3be18322b61d4618b622.png;（3）b19ad831e12cc8d01c4f473e2d739828.png; （4）18818ce9165e3c9787981810bb6748eb.png=9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png;

73.排列数与组合数的关系81d9c50f0cadc61425fd4217596e6577.png .

74．单条件排列以下各条的大前提是从7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个元素中取6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有945612042ef7e019dbd7e03fd94c19c4.png种；②某（特）元不在某位有aa21b2784aab6c9dd7dfa8897bb5cad7.png（补集思想）a00c5dfc4dcda2bf3cae36eef64d65c6.png（着眼位置）c3105fa4b942ace905649e1e5e6b310f.png（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：ab229b8ce1a45163281471b9dc8a5c9f.png个元在固定位的排列有8f58d3519817b73cff00e30bb0e568e0.png种.

②浮动紧贴：7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个元素的全排列把k个元排在一起的排法有8b5738f015ff64b1861c87ee90165d8c.png种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（98df0c49598c72607b7f6163fffb82c3.png），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有619653236627b3e0f7f1db471da8a3d9.png种.

（3）两组元素各相同的插空

6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png个大球7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当a523bccee94e305b60d31270bc9872fd.png时，无解；当19c0b1a206b538317a221b8a2c9c57b4.png时，有085c7a91e2890bccccf9d35bc7822d9c.png种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为8737c11094f20c124b635899ecbc19b6.png.

75．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png、7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个物件等分给6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png个人，各得7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png件，其分配方法数共有7d3e75142045d26ea257e8454fa82ac1.png.

（2）(平均分组无归属问题)将相异的6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png·7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个物体等分为无记号或无顺序的6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png堆，其分配方法数共有

fc66cd56ee97436c57723306c5f08f67.png.

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的e656eb2901c7f914ff9301bb7b4ab1b8.png个物体分给6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png个人，物件必须被分完，分别得到ca28d2957bcfd844805dfd1c339dfc2f.png，27e7b1346e011cf2896a04df87832534.png，…，379ec8820d5293489f229ed43d0038f6.png件，且ca28d2957bcfd844805dfd1c339dfc2f.png，27e7b1346e011cf2896a04df87832534.png，…，379ec8820d5293489f229ed43d0038f6.png这6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png个数彼此不相等，则其分配方法数共有09f35e55c760de5a386058274e02417a.png.

76.二项式定理 f6fafc7f4fb30c3ed58d021cdce6b807.png ;

二项展开式的通项公式2db9473f50f5ced6486dde5f7d77c0d7.png67fd1ce77358750f0ff08af842883001.png.

77.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率9ab79a743427ead186177b2fb761629e.png

78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0dd1b0cbb7fba861274700f4767f8bc4.png;（2）faaadc5e02f39cfefc72fd9b4952094c.png.

79.数学期望5c07ebad041770969b17e59a8219c639.png

80..数学期望的性质（1）348b513590c226a08c56a623a3d7b712.png.（2）若8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png～774c7fa0cf65eb0c9696b922f29a7197.png,则b4538a8109d4569458f41300fbb51386.png.

81.方差3be14186de0b8f453f93ba2a979d4b56.png标准差29299a9f29d1dc8f471d9b87e6e38b8b.png=3d91d23dc757bf67e45511ae224754ae.png.

82.方差的性质(1)5e64b1252dac53b4b6eb5ee4a3199d77.png；(2）若8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png～774c7fa0cf65eb0c9696b922f29a7197.png，则b2f0fe18485c49539add69c44a69dcfd.png.

83..50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png的导数1669059bc495ddf99121acdc9e4d20f5.pnga65e8657d86316f07a3504e6dfaff3d0.png.

84.. 函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处的导数的几何意义

函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处的导数是曲线7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在dab143db21a217f62dbbc29ad796167c.png处的切线的斜率339f6c34ba971092fc8d8a89c625e70a.png，相应的切线方程是1822b77ca265c4337ea987e5295e9040.png.

85..几种常见函数的导数

(1) bc54f21aa2128a570e6acb52eb894ea9.png（C为常数）.(2) c2499a0df236564043ef5870dbe95999.png.(3) 600e20f9d69712e82e9009309e13c8e0.png.

(4) c604069607e2a8d39e7c5d2185a4b8e6.png (5) e42eed91db281a651aa6dc9e2f06f5c4.png；8eb824a6148d1891d370a59493fffb4e.png(6) 318fa59cddf6f41c590b687e0ea16316.png; e56c58558bdc8d1ce9028cd06b0a30c2.png.

86..导数的运算法则

（1）cbe592e2affc39a04215f25d169c9239.png.（2）7535c600b2d5e309d023fbad50efe4b5.png.（3）27d5ce3f53653e2573e1a97921674c9c.png.

87..复合函数的求导法则

设函数3d52a2e2ef8ded38dde1616705140f03.png在点9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png处有导数96eaa997261c22b55d68e68d7699ec3c.png，函数26d63478e01213a317db1123c14d2759.png在点9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png处的对应点U处有导数e55670c7bd465c06f4fc616f8ee617ad.png，则复合函数0cefd034b086495c2b662ac22d191628.png在点9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png处有导数，且61ef059abc51bc9034d5b43430f24d90.png，或写作ddfda37509ac4315a92d0a8e40cdc7c9.png.

89.复数的相等43b7723375fcd9d51e54bbb9568210f2.png.（fe5a5bae59350f160c8e7544a53577d3.png）

90.复数565fa857017a4609f9c6d22a2a38eefc.png的模（或绝对值）425a78d383c3e5e5f9f095de1d5c5115.png=5c8c8f3ab17a2f231c9d54d80de83870.png=e1e2cead4e74ae76312567ad0b73e17e.png.

91.复数的四则运算法(1)230b360e1be1867c31e71470fffb370d.png(2)2ebbdd1b617bcdff07eef4e924e0075e.png;

(3)95362bbcaab0187c158bec7739cd82f3.png;(4)f54a8c66ca34b3db3a89488ab5343f45.png.

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

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