2018年泰州市中考数学试卷（含解析）

2018年江苏省泰州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂再答题卡相应位置上）

1．（3分）﹣（﹣2）等于（　　）

A．﹣2 B．2 C． D．±2

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A． += B． =2 C． •= D．÷=2

3．（3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（　　）

A．

正方体

B．

四棱锥

C．

圆柱

D．

球

4．（3分）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（　　）

A．小亮明天的进球率为10%

B．小亮明天每射球10次必进球1次

C．小亮明天有可能进球

D．小亮明天肯定进球

5．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）

A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0

6．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（　　）

A．线段PQ始终经过点（2，3）

B．线段PQ始终经过点（3，2）

C．线段PQ始终经过点（2，2）

D．线段PQ不可能始终经过某一定点

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写再答题卡相应位置上）

7．（3分）8的立方根等于　 　．

8．（3分）亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为　 　．

9．（3分）计算： x•（﹣2x2）3=　 　．

10．（3分）分解因式：a3﹣a=　 　．

11．（3分）某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是　 　．

12．（3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　 　．

13．（3分）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为　 　．

14．（3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为　 　（用含α的式子表示）．

15．（3分）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为　 　．

16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　 　．

三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）（1）计算：π0+2cos30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2；

（2）化简：（2﹣）÷．

18．（8分）某软件科技公司20人负责研发与维护游戏、网购、视频和送餐共4款软件．投入市场后，游戏软件的利润占这4款软件总利润的40%．如图是这4款软件研发与维护人数的扇形统计图和利润的条形统计图．

根据以上信息，网答下列问题

（1）直接写出图中a，m的值；

（2）分别求网购与视频软件的人均利润；

（3）在总人数和各款软件人均利润都保持不变的情况下，能否只调整网购与视频软件的研发与维护人数，使总利润增加60万元？如果能，写出调整方案；如果不能，请说明理由．

19．（8分）泰州具有丰富的旅游资源，小明利用周日来泰州游玩，上午从A、B两个景点中任意选择一个游玩，下午从C、D、E三个景点中任意选择一个游玩．用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求小明恰好选中景点B和C的概率．

20．（8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

21．（10分）为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志题者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．

（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．

23．（10分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．

（1）求山坡EF的水平宽度FH；

（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？

24．（10分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．

（1）当m=﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；

（2）过点P（0，m﹣1）作直线1⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；

（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．

25．（12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）

（1）根据以上操作和发现，求的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．

（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．

①分别求函数y1、y2的表达式；

②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；

（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；

（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．

2018年江苏省泰州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂再答题卡相应位置上）

1．（3分）﹣（﹣2）等于（　　）

A．﹣2 B．2 C． D．±2

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

【解答】解：﹣（﹣2）=2，

故选：B．

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A． += B． =2 C． •= D．÷=2

【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；

B、原式=3，所以B选项错误；

C、原式==，所以C选项错误；

D、原式==2，所以D选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

3．（3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（　　）

A．

正方体

B．

四棱锥

C．

圆柱

D．

球

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．

【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．

故选：B．

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

4．（3分）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（　　）

A．小亮明天的进球率为10%

B．小亮明天每射球10次必进球1次

C．小亮明天有可能进球

D．小亮明天肯定进球

【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．

【解答】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球．

故选：C．

【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．

5．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）

A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0

【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；

B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；

C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；

D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．

综上即可得出结论．

【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，

∴x1≠x2，结论A正确；

B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，

∴x1+x2=a，

∵a的值不确定，

∴B结论不一定正确；

C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，

∴x1•x2=﹣2，结论C错误；

D、∵x1•x2=﹣2，

∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

6．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（　　）

A．线段PQ始终经过点（2，3）

B．线段PQ始终经过点（3，2）

C．线段PQ始终经过点（2，2）

D．线段PQ不可能始终经过某一定点

【分析】当OP=t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9﹣2t，6）．设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出PQ的解析式即可判断；

【解答】解：当OP=t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9﹣2t，6）．

设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），

将P（t，0）、Q（9﹣2t，6）代入y=kx+b，

，解得：，

∴直线PQ的解析式为y=x+．

∵x=3时，y=2，

∴直线PQ始终经过（3，2），

故选：B．

【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写再答题卡相应位置上）

7．（3分）8的立方根等于　2　．

【分析】根据立方根的定义得出，求出即可．

【解答】解：8的立方根是=2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了对立方根的应用，注意：a的立方根是，其中a可以为正数、负数和0．

8．（3分）亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为　4.4×107　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：44000000=4.4×107，

故答案为：4.4×107．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

9．（3分）计算： x•（﹣2x2）3=　﹣4x7　．

【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．

【解答】解： x•（﹣2x2）3

=x•（﹣8x6）

=﹣4x7．

故答案为：﹣4x7．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．

10．（3分）分解因式：a3﹣a=　a（a+1）（a﹣1）　．

【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：a3﹣a，

=a（a2﹣1），

=a（a+1）（a﹣1）．

故答案为：a（a+1）（a﹣1）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．

11．（3分）某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是　众数　．

【分析】鞋厂最感兴趣的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的即这组数据的众数．

【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数．

故答案为：众数．

【点评】本题主要考查了学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对对统计量进行合理的选择和恰当的运用，比较简单．

12．（3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　5　．

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．

【解答】解：根据三角形的三边关系，得

第三边＞4，而＜6．

又第三条边长为整数，

则第三边是5．

【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．

13．（3分）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为　14　．

【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，

∵AC+BD=16，

∴OB+OC=8，

∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，

故答案为14．

【点评】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

14．（3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为　270°﹣3α　（用含α的式子表示）．

【分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结合图形计算即可．

【解答】解：∵∠ACD=90°，∠D=α，

∴∠DAC=90°﹣α，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，

∵∠ABC=90°，EAC的中点，

∴BE=AE=EC，

∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，

∴∠CEB=180°﹣2α，

∵E、F分别为AC、CD的中点，

∴EF∥AD，

∴∠CEF=∠D=α，

∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，

故答案为：270°﹣3α．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

15．（3分）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为　3　．

【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．

【解答】解：依题意得：，

解得

∵x≤y，

∴a2≤6a﹣9，

整理，得（a﹣3）2≤0，

故a﹣3=0，

解得a=3．

故答案是：3．

【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．

16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　或　．

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，

【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．

设PQ=PA′=r，

∵PQ∥CA′，

∴=，

∴=，

∴r=．

如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，

∵△A′BT∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴A′T=，

∴r=A′T=．

综上所述，⊙P的半径为或．

【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）（1）计算：π0+2cos30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2；

（2）化简：（2﹣）÷．

【分析】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值，去绝对值符号、计算负整数指数幂，再计算乘法和加减可得；

（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．

【解答】解：（1）原式=1+2×﹣（2﹣）﹣4

=1+﹣2+﹣4

=2﹣5；

（2）原式=（﹣）÷

=•

=．

【点评】本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂、三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂及分式的混合运算顺序和运算法则．

18．（8分）某软件科技公司20人负责研发与维护游戏、网购、视频和送餐共4款软件．投入市场后，游戏软件的利润占这4款软件总利润的40%．如图是这4款软件研发与维护人数的扇形统计图和利润的条形统计图．

根据以上信息，网答下列问题

（1）直接写出图中a，m的值；

（2）分别求网购与视频软件的人均利润；

（3）在总人数和各款软件人均利润都保持不变的情况下，能否只调整网购与视频软件的研发与维护人数，使总利润增加60万元？如果能，写出调整方案；如果不能，请说明理由．

【分析】（1）根据各类别百分比之和为1可得a的值，由游戏的利润及其所占百分比可得总利润；

（2）用网购与视频软件的利润除以其对应人数即可得；

（3）设调整后网购的人数为x、视频的人数为（10﹣x）人，根据“调整后四个类别的利润相加=原总利润+60”列出方程，解之即可作出判断．

【解答】解：（1）a=100﹣（10+40+30）=20，

∵软件总利润为1200÷40%=3000，

∴m=3000﹣（1200+560+280）=960；

（2）网购软件的人均利润为=160元/人，

视频软件的人均利润=140元/人；

（3）设调整后网购的人数为x、视频的人数为（10﹣x）人，

根据题意，得：1200+280+160x+140（10﹣x）=3000+60，

解得：x=9，

即安排9人负责网购、安排1人负责视频可以使总利润增加60万元．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

19．（8分）泰州具有丰富的旅游资源，小明利用周日来泰州游玩，上午从A、B两个景点中任意选择一个游玩，下午从C、D、E三个景点中任意选择一个游玩．用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求小明恰好选中景点B和C的概率．

【分析】通过列表展示所有6种等可能的结果数，找出小名恰好选中B和C这两处的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：列表如下：

由表可知共有6种等可能的结果数，其中小明恰好选中景点B和C的结果有1种，

所以小明恰好选中景点B和C的概率为．

【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．

【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中

，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），

∴∠OBC=∠OCB，

∴BO=CO．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．

21．（10分）为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志题者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？

【分析】设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，根据题意可得等量关系：原计划完成任务的天数﹣实际完成任务的天数=3，列方程即可．

【解答】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，

依题意得：﹣=3

解得x=200，

经检验得出：x=200是原方程的解．

所以=20．

答：原计划植树20天．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题关键．

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．

（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；

（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．

【解答】解：（1）DE与⊙O相切，

理由：连接DO，

∵DO=BO，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，

∴∠EBD=∠DBO，

∴∠EBD=∠BDO，

∴DO∥BE，

∵DE⊥BC，

∴∠DEB=∠EDO=90°，

∴DE与⊙O相切；

（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，

∴DE=DF=3，

∵BE=3，

∴BD==6，

∵sin∠DBF==，

∴∠DBA=30°，

∴∠DOF=60°，

∴sin60°===，

∴DO=2，

则FO=，

故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．

【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．

23．（10分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．

（1）求山坡EF的水平宽度FH；

（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？

【分析】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH=i=1：0.75==，设EH=4x，则FH=3x，由勾股定理求出EF==5x，那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；

（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式≥1.25，解不等式即可．

【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H=90°，

∴tan∠EFH=i=1：0.75==，

设EH=4x，则FH=3x，

∴EF==5x，

∵EF=15，

∴5x=15，x=3，

∴FH=3x=9．

即山坡EF的水平宽度FH为9m；

（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，

H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，

∴日照间距系数=L：（H﹣H1）==，

∵该楼的日照间距系数不低于1.25，

∴≥1.25，

∴CF≥29．

答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．

24．（10分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．

（1）当m=﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；

（2）过点P（0，m﹣1）作直线1⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；

（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．

【分析】（1）与x轴相交令y=0，解一元二次方程求解；

（2）应用配方法得到顶点A坐标，讨论点A与直线l以及x轴之间位置关系，确定m取值范围．

（3）在（2）的基础上表示△ABO的面积，根据二次函数性质求m．

【解答】解：（1）当m=﹣2时，抛物线解析式为：y=x2+4x+2

令y=0，则x2+4x+2=0

解得x1=﹣2+，x2=﹣2﹣

抛物线与x轴交点坐标为：（﹣2+，0）（﹣2﹣，0）

（2）∵y=x2﹣2mx+m2+2m+2=（x﹣m）2+2m+2

∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2）

∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上）

∴当直线1在x轴上方时

不等式无解

当直线1在x轴下方时

解得﹣3＜m＜﹣1

（3）由（1）

点A在点B上方，则AB=（2m+2）﹣（m﹣1）=m+3

△ABO的面积S=（m+3）（﹣m）=﹣

∵﹣

∴当m=﹣时，S最大=

【点评】本题以含有字母系数m的二次函数为背景，考查了二次函数图象性质以及分类讨论、数形结合的数学思想．

25．（12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）

（1）根据以上操作和发现，求的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

【分析】（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=BC，由图②，可得CE=CD，而AD=BC，即可得到CD=AD，即=；

（2）①由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出AP=BC，再根据PH=CP，∠A=∠B=90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而得到∠CPH=90°；

②由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．

【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE=∠BCD=45°，

又∵∠B=90°，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴=cos45°=，即CE=BC，

由图②，可得CE=CD，而AD=BC，

∴CD=AD，

∴=；

（2）①设AD=BC=a，则AB=CD=a，BE=a，

∴AE=（﹣1）a，

如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°，

∵∠BEC=45°，∠A=90°，

∴∠AEH=45°=∠AHE，

∴AH=AE=（﹣1）a，

设AP=x，则BP=a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，

∴AH2+AP2=BP2+BC2，

即[（﹣1）a]2+x2=（a﹣x）2+a2，

解得x=a，即AP=BC，

又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，

∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），

∴∠APH=∠BCP，

又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，

∴∠APH+∠BPC=90°，

∴∠CPH=90°；

②折法：如图，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，

故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；

折法：如图，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，

由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，

又∵∠DCH=∠ECH，

∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，

故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．

【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．

（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．

①分别求函数y1、y2的表达式；

②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；

（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；

（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．

【分析】（1）由已知代入点坐标即可；

（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；

（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．

【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上

∴k=8

∴y1=

∵a=2

∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）

把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n

解得

∴y2=x﹣2

②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方

∴由图象得：2＜x＜4

（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO

∵O为AA′中点

S△AOB=S△AOA′=8

∵点A、B在双曲线上

∴S△AOC=S△BOD

∴S△AOB=S四边形ACDB=8

由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）

∴

解得k=6

（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）

把A′代入到y=

﹣

∴n=

∴A′B解析式为y=﹣

当x=a时，点D纵坐标为

∴AD=

∵AD=AF，

∴点F和点P横坐标为

∴点P纵坐标为

∴点P在y1═（x＞0）的图象上

【点评】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/260760b503768e9951e79b89680203d8ce2f6a81.html