高中数学解题四大思想方法（数学）

思想方法一、函数与方程思想

方法1 构造函数关系，利用函数性质解题

根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。

例1 （10安徽）设则的大小关系是（ ）

例2 已知函数

（1） 讨论函数的单调性；

（2） 证明：若则对任意

方法2 选择主从变量，揭示函数关系

含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。

例3 对于满足的实数，使恒成立的的取值范围是 .

方法3 变函数为方程，求解函数性质

实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

例4 函数的值域是（ ）

思想方法二、数形结合思想

方法1 函数与不等式问题中的数形结合

研究函数的性质可以借助于函数的图像，从函数图像上能直观地观察单调性、周期性、对称性等性质。不等式问题与函数的图像也有密切的联系，比如应用二次函数的图像解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法。因此，解决不等式问题要常联系对应的函数图像，利用函数图像，直观地得到不等式的解集，避免复杂的运算。

例1 （10新课标全国卷）已知函数若互不相等，且则的取值范围是（ ）

变式：函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .

方法2 解析几何中的数形结合

解析几何是用方程研究曲线的问题，蕴含着丰富的数形结合思想，往往要先把题目中的几何语言转化为几何图形，然后再结合这种图形（一般为曲线）的几何特征，用代数语言即方程表现出来，从而用代数的方法解决几何问题。

例2 已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

例3 已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标为，则的最小值是 .

方法3 参数范围问题中的数形结合

如果参数具有明显的几何意义，那么可以考虑应用数形结合思想解决问题。一般地，常见的对应关系有：（1）中的表示直线的 ，表示直线在 轴上的 ；

（2）表示连接和两点直线的 ；

（3）表示两点和之间的 ；

（4）导数表示曲线在点处的 。

利用这些对应关系，由数想形，可以巧妙的利用几何法解决。

例4 若直线与圆交于两点，且（其中为原点），则的值为（ ）

变式：直线与圆交于两点，若，则的取值范围值是（ ）

思想方法三、分类讨论思想

方法1 概念分类型

有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线的斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整得解决问题。

例1 若函数有两个零点，则实数的取值范围是

方法2 运算需要型

分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论.

例2 设函数.

（1） 对于任意实数恒成立，求的最大值.

（2） 若方程有且仅有一个实数，求的取值范围.

方法3 参数变化型

很多问题中参数的不同取值会对结果产生影响，因此，需要对参数的取值进行分类，常见的问题有：含参不等式的求解；解析式中含有参数的函数的性质问题；含参二元二次方程表示的曲线类型；参数的几何意义等.

例3 已知函数

（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；

（2） 讨论函数的单调性.

思想方法四、转化与化归思想

方法1 抽象问题与具体问题化归

具体化原则，就是把一些抽象问题化归为具体问题，从而解决问题.一般地，对于抽象函数、抽象数列等问题，可以借助于熟悉的具体函数、数列等知识，探寻抽象问题的规律，找到解决问题的突破口和方法.

例1 若定义在上的函数满足：对任意有，则下列说法一定正确的是（ ）

方法2 一般问题与特殊问题化归

数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性.解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题.其解题模式是：首先设法使问题特殊（或一般）化，降低难度，然后解这个特殊（或一般）性的问题，从而使原问题获解.

例2 （其中为自然常数）的大小关系是（ ）

方法3 正向思维与逆向思维化归

逆向思维能力是指从正向思维序列到逆向思维序列的转换能力.如果经常注意对问题的逆向思考，不仅可以加深对可逆只是的理解，而且可以提高思维的灵活性.

例3 已知集合，若，则实数的取值范围为 .

方法4 命题与等价命题化归

有的命题若直接考虑，则显得无从下手，若把命题化归为他的等价命题，往往柳暗花明.解题时要注意命题与等价命题的转化，尤其是原命题与逆否命题的转化.

例4 设函数有两个极值点

（1）求满足的约束条件； （2）证明：

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