2017年广东省广州市高考数学一模试卷及参考答案（理科）

2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）复数（1+i）2+的共轭复数是（　　）

A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

2．（5分）若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（　　）

A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅

3．（5分）已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（　　）

A． B． C． D．

4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n＝5，则输出k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．（5分）已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|等于（　　）

A．1 B．13 C．4或10 D．1或13

6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（　　）

A． B． C． D．

7．（5分）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（　　）

A． B． C． D．

8．（5分）已知F1，F2分别是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

A．（，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，）

9．（5分）已知p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）

A．8π B．12π C．20π D．24π

11．（5分）若直线y＝1与函数f（x）＝2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|＝，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（　　）

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣，则的值为（　　）

A．0 B．504 C．1008 D．2016

二、填空题：本小题共4题，每小题5分．

13．（5分）已知||＝1，||＝，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是　 　．

14．（5分）（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为　 　（用数字填写答案）

15．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是　 　．

16．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意p、q∈N*，都有ap+q＝ap+aq，则f（n）＝（n∈N*）的最小值为　 　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP+AC＝4．

（Ⅰ）求∠ACP；

（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．

18．（12分）近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．

（Ⅰ） 根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？

（Ⅱ） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满

意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．

附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）

19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．

（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；

（Ⅱ）若AD＝1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．

20．（12分）过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2＝4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ） 证明：x1x2+y1y2为定值；

（Ⅱ） 记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+．

（Ⅰ） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；

（Ⅱ） 证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．

选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos（θ﹣）．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

选修4-5：不等式选讲

23．已知函数f（x）＝|x+a﹣1|+|x﹣2a|．

（Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围；

（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．

2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）复数（1+i）2+的共轭复数是（　　）

A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i

【解答】解：（1+i）2+＝2i+＝2i+1﹣i＝1+i的共轭复数是1﹣i．

故选：B．

2．（5分）若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（　　）

A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅

【解答】解：由题意，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，

∴N⊆M，

故选：C．

3．（5分）已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，

∵a3，成等差数列，

∴，则，

化简得，q2﹣q﹣1＝0，解得q＝，

则q＝，

∴＝＝＝＝，

故选：A．

4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n＝5，则输出k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：第一次执行循环体，n＝16，不满足退出循环的条件，k＝1；

第二次执行循环体，n＝49，不满足退出循环的条件，k＝2；

第三次执行循环体，n＝148，不满足退出循环的条件，k＝3；

第四次执行循环体，n＝445，满足退出循环的条件，

故输出k值为3，

故选：B．

5．（5分）已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|等于（　　）

A．1 B．13 C．4或10 D．1或13

【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得＝，∴a＝3．

∵c2＝a2+b2＝9+4＝13，

∴c＝，

∴c﹣a＝﹣3＜1

由双曲线的定义可得||PF2|﹣7|＝6，∴|PF2|＝1或13，

故选：D．

6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，

该几何体的俯视图为D．

故选：D．

7．（5分）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：五个人的编号为1，2，3，4，5．

由题意，所有事件，共有25＝32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3），（4），（5），（1，3），（1，4），（2，4），（2，5），（3，5），再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，

∴没有相邻的两个人站起来的概率为，

故选：C．

8．（5分）已知F1，F2分别是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

A．（，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，）

【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，

又F1（﹣c，0），F2（c，0），

又∠F1PF2为钝角，当且仅当•＜0有解，

即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）＝（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+y02＜0，

即有c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min．

又y02＝b2﹣x02，

∴x02+y02＝b2+x02∈[b2，a2），

即（x02+y02）min＝b2．

故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，

∴＞，即e＞，

又0＜e＜1，

∴＜e＜1．

故选：A．

9．（5分）已知p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：p：令f（x）＝ex﹣ax﹣1，f（0）＝0．由∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，∴f（x）min＜0．

f′（x）＝ex﹣a．可知：a≤0时，函数f（x）单调递增，舍去．

a＞0时，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．

因此x＝lna时，函数f（x）取得极小值即最小值．∴f（lna）＝a﹣alna﹣1＜0．

令g（a）＝a﹣alna﹣1，g（1）＝0．

g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna，可知：a＝1时，g（a）取得最大值，

因此a＞0且a≠1．

q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．

则p是q的必要不充分条件．

故选：B．

10．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）

A．8π B．12π C．20π D．24π

【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC＝＝2，

∴球O的半径为，

∴球O的表面积为4π•5＝20π，

故选：C．

11．（5分）若直线y＝1与函数f（x）＝2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|＝，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：函数f（x）＝2sin2x，

周期T＝π，

令2sin2x＝1，解得：x＝或，

直线y＝1与函数f（x）＝2sin2x的图象相交于点从左向右依次是，，…，

∵|x1﹣x2|＝

令x1＝，x2＝，

可得：线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积

S＝﹣2﹣2＝．

故选：A．

12．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣，则的值为（　　）

A．0 B．504 C．1008 D．2016

【解答】解：f（x）＝x3﹣＝x3﹣x2+x﹣+＝（x﹣）3+．

∵+＝0，k＝1，2，…2016．

∴（﹣）3+（）3＝0，k＝1，2，…2016．

∴＝＝504．

故选：B．

二、填空题：本小题共4题，每小题5分．

13．（5分）已知||＝1，||＝，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是　　．

【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得•（﹣）＝﹣＝1﹣1××cosθ＝0，

求得cosθ＝，可得θ＝，

故答案为：．

14．（5分）（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为　﹣540　（用数字填写答案）

【解答】解：令x＝1，则2n＝64，解得n＝6．

（3﹣x）6的通项公式为：Tr+1＝＝（﹣1）r•36﹣r•xr，

令r＝3，则x3的系数为﹣＝﹣540．

故答案为：﹣540．

15．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是　　．

【解答】解：由题意知，f（x）＝，

①当a≤0时，不等式|f（a）|≥2为|21﹣a|≥2，

则21﹣a≥2，即1﹣a≥1，解得a≤0；

②当a＞0时，不等式|f（a）|≥2为，

则或，

即或，解得0＜a或a≥8；

综上可得，实数a的取值范围是，

故答案为：．

16．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意p、q∈N*，都有ap+q＝ap+aq，则f（n）＝（n∈N*）的最小值为　　．

【解答】解：∵对任意p、q∈N*，都有ap+q＝ap+aq，令p＝n，q＝1，可得an+1＝an+a1，则﹣an＝2，

∴数列{an}是等差数列，公差为2．

∴Sn＝2n+＝n+n2．

则f（n）＝＝＝n+1+﹣1，

令g（x）＝x+（x≥1），则g′（x）＝1﹣＝，可得x∈[1，时，函数g（x）单调递减；x∈时，函数g（x）单调递增．

又f（7）＝14+，f（8）＝14+．

∴f（7）＜f（8）．

∴f（n）＝（n∈N*）的最小值为．

故答案为：．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP+AC＝4．

（Ⅰ）求∠ACP；

（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．

【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ） 在△APC中，因为∠PAC＝60°，PC＝2，AP+AC＝4，

由余弦定理得PC2＝AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…（1分）

所以22＝AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，

整理得AP2﹣4AP+4＝0，…（2分）

解得AP＝2．…（3分）

所以AC＝2．…（4分）

所以△APC是等边三角形．…（5分）

所以∠ACP＝60°．…（6分）

（Ⅱ） 法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB＝120°．…（7分）

因为△APB的面积是，所以．…（8分）

所以PB＝3．…（9分）

在△APB中，AB2＝AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB＝22+32﹣2×2×3×cos120°＝19，

所以．…（10分）

在△APB中，由正弦定理得，…（11分）

所以sin∠BAP＝＝．…（12分）

法2：作AD⊥BC，垂足为D，

因为△APC是边长为2的等边三角形，

所以．…（7分）

因为△APB的面积是，所以．…（8分）

所以PB＝3．…（9分）

所以BD＝4．

在Rt△ADB中，，…（10分）

所以，．

所以sin∠BAP＝sin（∠BAD﹣30°）＝sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…（11分）

＝＝．…（12分）

18．（12分）近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．

（Ⅰ） 根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？

（Ⅱ） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满

意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．

附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）

【解答】解：（Ⅰ） 2×2列联表：

…（2分），…（3分）

因为11.111＞6.635，

所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．…（4分）

（Ⅱ） 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．

…（6分）；；．…（10分）

X的分布列为：

…（11分）

所以．…（12分）

19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．

（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；

（Ⅱ）若AD＝1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ） 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD．…（1分）

因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB．…（2分）

又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD＝D，…（3分）

所以AB⊥平面ADC．…（4分）

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，所以二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD．…（5分）

又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD．

依题意．…（6分）

因为AD＝1，所以．

设AB＝x（x＞0），则．

依题意△ABD～△BDC，所以，即．…（7分）

解得，故．…（8分）

如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，

所以，．

由（Ⅰ）知平面BAD的法向量．…（9分）

设平面ADE的法向量

由得

令，得，

所以．…（10分）

所以．…（11分）

由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，

所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值为．…（12分）

20．（12分）过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2＝4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ） 证明：x1x2+y1y2为定值；

（Ⅱ） 记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由x2＝4y，得，所以．所以直线PA的斜率为．

因为点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．

所以直线PA的方程为．…（1分）

因为点P（a，﹣2）在直线PA上，

所以，即．…（2分）

同理，．…（3分）

所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8＝0的两个根．

所以x1x2＝﹣8．…（4分）

又，…（5分）

所以x1x2+y1y2＝﹣4为定值．…（6分）

法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2＝k（x﹣a），…（1分）

，消去y得x2﹣4kx+4ka+8＝0，

由△＝16k2﹣4（4ak+8）＝0，化简得k2﹣ak﹣2＝0．…（2分）

所以k1k2＝﹣2．…（3分）

由x2＝4y，得，所以．

所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．

所以，即x1x2＝﹣8．…（4分）

又，…（5分）

所以x1x2+y1y2＝﹣4为定值．…（6分）

（Ⅱ） 法1：直线PA的垂直平分线方程为，…（7分）

由于，，

所以直线PA的垂直平分线方程为．①…（8分）

同理直线PB的垂直平分线方程为．②…（9分）

由①②解得，，

所以点．…（10分）

抛物线C的焦点为F（0，1），则．

由于，…（11分）

所以．

所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）

另法：以PM为直径的圆的方程为．…（11分）

把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．

所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）

法2：设点M的坐标为（m，n），

则△PAB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝（m﹣a）2+（n+2）2，

由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，

则，．

两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）＝0，①…（7分）

由（Ⅰ）知，代入上式得，…（8分）

当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an＝0，②

假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）•（﹣a，﹣3）＝0，

得ma﹣3（n﹣1）＝0，③…（9分）

由②③解得，…（10分）

所以点．…（11分）

当x1＝x2时，则a＝0，点M（0，1）．

所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）

21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+．

（Ⅰ） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；

（Ⅱ） 证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．

【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．

由，得．…（1分）

因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．

所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（2分）

当x＝a时，[f（x）]min＝lna+1．…（3分）

当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）＝ln1+a＝a＞0，则函数f（x）有零点．…（4分）

所以实数a的取值范围为．…（5分）

法2：函数的定义域为（0，+∞）．

由，得a＝﹣xlnx．…（1分）

令g（x）＝﹣xlnx，则g'（x）＝﹣（lnx+1）．

当时，g'（x）＞0； 当时，g'（x）＜0．

所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…（2分）

故时，函数g（x）取得最大值．…（3分）

因而函数有零点，则．…（4分）

所以实数a的取值范围为．…（5分）

（Ⅱ）证明：令h（x）＝xlnx+a，则h'（x）＝lnx+1．

当时，h'（x）＜0；当时，h'（x）＞0．

所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．

当时，．…（6分）

于是，当a≥时，．①…（7分）

令φ（x）＝xe﹣x，则φ'（x）＝e﹣x﹣xe﹣x＝e﹣x（1﹣x）．

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．

所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

当x＝1时，．…（8分）

于是，当x＞0时，．②…（9分）

显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．

故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…（10分）

因为b＞1，所以lnb＞0．

所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…（11分）

所以，即．…（12分）

选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos（θ﹣）．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

【解答】解：（Ⅰ） 由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4＝0，

∴直线l的普通方程为x+y﹣4＝0．

由＝．

得ρ2＝2ρcosθ+2ρsinθ．

将ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入上式，

得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．

（Ⅱ） 法1：设曲线C上的点为，

则点P到直线l的距离为＝＝

当时，

∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；

法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b＝0．

当直线l'与圆C相切时，得，解得b＝0或b＝﹣4（舍去）．

∴直线l'的方程为x+y＝0．

那么：直线l与直线l'的距离为

故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．

选修4-5：不等式选讲

23．已知函数f（x）＝|x+a﹣1|+|x﹣2a|．

（Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围；

（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．

【解答】解：（Ⅰ） 因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．

①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，

解得，所以；

②当时，得a+（1﹣2a）＜3，

解得a＞﹣2，所以；

③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，

解得，所以；

综上所述，实数a的取值范围是．

（Ⅱ） 因为a≥1，x∈R，

所以f（x）＝|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|＝|3a﹣1|＝3a﹣1≥2．

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日期：2019/1/6 22:22:20；用户：温利明；邮箱：wenlim1989@sina.cn；学号：21000137

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谢谢

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附赠：数学考试技巧

一、 心理准备

细心+认真=成功！
1、知己知彼，百战百胜。

考场如战场，最大的敌人不是 难题，不是同学，而是自己。要知 道自己的短处。如，你做题比较急，题目还没看懂就开始答题、计算时不够细心、解大题时不肯动笔等。这对解决数学问题 是非常不利的，本学期有理数的运算，符号是常错点。 因此，认真、细心计算，你才百战 百胜。
2、先易后难，各个击破。 题目70%是低档题，是同学们能轻 易得到的分数，一定不要失分于此。 20%是中档题，是稍加努力做出的题； 10%是高档题。做题中卡壳时不要急于 放弃，先要动脑思考片刻，实在想不出 再标记出来，等整张试卷做完后回头再 做。千万不要为一棵树木而丢掉整片森 林。

3、合理分配时间，检查很有必要。 不要急于迅速做完，踏踏实实做完 每一个题后认真检查。先检查有理数混 合运算、整式化简求值、解方程三类型 题。再检查填空题，最后是选择题。 解方程的检查可以将解带入原方程 进行检验，如果等号两边不相等要立即 查找每一步骤，找出错误改正。
4、不纠结于不会的题，但不放弃“难题” ，当遇到自己不会做的题时，如果看题3遍都毫无思路，应该马上跳至下一题。所谓的“难题” 难在条件多，题意 长，多读几遍题，弄清所有的已知条件， 充分利用，就能得到应得的分数。
二、技巧准备
1、选择题 有些选择题可以代入答案验证；如 方程类型，代入验证比直接求解要简单 有些题目用赋值法（用某数字如1、2、0、-1、-2等代替字母），但是让字母的 值一定要符合题意。

2、填空题 书写要清晰，切忌乱改乱涂； 要求只填一个答案即可的一定不要 多填，多填是毛病； 注意有多解的情况； 填代数式的结果应化为最简结果， 即去括号合并同类型。是多项式要添加括号。
3、解答题
（1）计算题（计算考的是细心，不会太难的，一步步来，不要急着快点写完）

易错点：运算顺序；运算符号；别抄错数字和符号！ 往往第二、第三步的运算顺序出错！

（2）化简后求值题

化简时原代数式可以用”原式”代 替，也可以抄一遍，但要抄准确。每一 步变形用“=”连接。 化简完后，按步骤书写：当a=…… 时，原式=……=……。 当字母的值没有直接给出时，要写出一些步骤求字母的值。 化简正确是关键，易错点：去括号时 漏乘，应乘遍每一项；括号内部分项忘了变号，要变号都变号；合并同类项时漏项，少抄了一项尤其常数项。字母颠倒的同类项，注意合并彻底。
⑶解方程组 、不等式、不等式组

解方程组时：每一步只作一种变形，一步步来，不要跨度太大 而出错，解完可以带入原方程检验对不对； 解不等式、不等式组：严格按步骤去做，注意解集的确定，要利用数轴正确定解集；易错点：①去分母时漏乘不含分母项 （整数项也要乘以最小公倍数）；②去括号时漏乘（没乘遍每一项）、部分项 忘记变号（要变号都变号）；③移项忘 记变号；④将未知数系数化为1时分子 分母位置颠倒（x的系数作分母）；
⑷方程不等式的应用题

按列方程一般步骤：审、设、列、解、验、 答进行；按步骤得分，不可缺项。（一定要多看几遍题目!划出条件词语，把题目意思搞懂后在动笔。列方程和不等式时，记得把题目已知条件列在草稿纸上，还有中文等式） 方程思想是最常用的一种数学思想，不管在小题还是大题中，列方程求解很实用。
成功历来都垂青于有准备的人！数学没有你想的那么难！你认为难是因为你的计算老是出错，你的理解没有到位，你的知识应用还没有熟练…… 补救的办法就是：①细心计算；②多读几遍题，把意思弄懂；③做完后反复检查。 相信聪明的你一定取得令大家满意的成绩，开开心心过暑假！

以自信轻松的心情参加考试，当成是完成一项任务，加油！！

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