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初二数学培优资料全国通用绝对好

发布时间：2021-03-08   来源：文档文库   
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. 1、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】
1. 把下列各式因式分解
（1）a2xm2abxm1acxmaxm3 （2）a(ab2a(ba2ab(ba
322分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：ax2m2abxm1acxmaxm3axm(ax2bxcx3
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(ab2n(ba2n；(ab2n1(ba2n1，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a(ab2a(ba2ab(ba
322a(ab32a2(ab22ab(aba(ab[(ab22a(ab2b]a(ab(3a24abb22b

.
2. 利用提公因式法简化计算过程
987987987987 2684565211368136813681368987分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
1368987解：原式(123268456521
13689871368987
1368例：计算123
3. 在多项式恒等变形中的应用
2xy3例：不解方程组，求代数式(2xy(2x3y3x(2xy的值。
5x3y2分析：不要求解方程组，我们可以把2xy和5x3y看成整体，它们的值分别是3和2，观察代数式，发现每一项都含有2xy，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2xy和5x3y的式子，即可求出结果。
解：(2xy(2x3y3x(2xy(2xy(2x3y3x(2xy(5x3y 把2xy和5x3y分别为3和2带入上式，求得代数式的值是6。

4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n，3n22n23n2n一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
3n22n23n2n3n23n2n22n
3n(3212n(22110352nn

. 对任意自然数n，103n和52n都是10的倍数。
3n22n23n2n一定是10的倍数

5、中考点拨：
例1。因式分解3x(x2(2x 解：3x(x2(2x
3x(x2(x2
(x2(3x1说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。 例2．分解因式：4q(1p2(p1
32解：4q(1p2(p1
324q(1p32(1p22(1p2[2q(1p1] 2(1p2(2q2pq1说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

题型展示：
例1. 计算：200020012001200120002000 精析与解答：
设2000a，则2001a1
200020012001200120002000

. a[10000(a1(a1](a1(10000aaa(a110001a(a110001a(a1(10001100010说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有200120001的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例2. 已知：x2bxc（b、c为整数）是x46x225及3x44x228x5的公因式，求b、c的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到x2bxc是3(x6x25及3x44x228x5的因式。因而也是42
(3x44x228x5的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解：x2bxc是3(x6x25及3x44x228x5的公因式
42也是多项式3(x46x225(3x44x228x5的二次因式
而3(x6x25(3x4x28x514(x2x5
42422b、c为整数
得：xbxcx2x5
22b2，c5
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x28x70，从而简便求得2x2bxc。


. 例3. 设x为整数，试判断105xx(x2是质数还是合数，请说明理由。 解：105xx(x2
5(2xx(x2
(x2(5xx2，5x都是大于1的自然数
(x2(5x是合数
说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）4m2n312m3n22mn
（2）a2xn2abxn1acxnadxn1（n为正整数） （3）a(ab2a(ba2ab(ba
3222 2. 计算：(2 A. 210011(210的结果是（）
B. 2

10

C. 2



D. 1
3. 已知x、y都是正整数，且x(xyy(yx12，求x、y。

4. 证明：81279能被45整除。
7913

.

5. 化简：1xx(1xx(1x…x(1x21995，且当x0时，求原式的值。


2、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

. 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式ab(ab(ab
22完全平方公式a2abb(ab
222立方和、立方差公式ab(ab(aabb
3322补充：欧拉公式：
a3b3c33abc(abc(a2b2c2abbcca
1(abc[(ab2(bc2(ca2]
2特别地：（1）当abc0时，有a3b3c33abc （2）当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】
1. 把a2ab2b分解因式的结果是（）
22 A. (ab(a2(b2 C. (ab(ab2

222B. (ab(ab2 D. (a2b(b2a
22222
分析：a2ab2ba2a1b2b1(a1(b1。 再利用平方差公式进行分解，最后得到(ab(ab2，故选择B。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同
. 时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式2x3x2m有一个因式是2x1，求m的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。
解：根据已知条件，设2xxm(2x1(xaxb
322则2xxm2x(2a1x(a2bxb
32322a11由此可得a2b0mb由（1）得a1
(1(2 (31 211把b代入（3），得m
22把a1代入（2），得b
3. 在几何题中的应用。
例：已知a、b、c是ABC的三条边，且满足a2b2c2abbcac0，试判断ABC的形状。
分析：因为题中有a、b、ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab。22所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解：abcabbcac0
2222a22b22c22ab2bc2ac0

. (a22abb2(b22bcc2(c22aca20 (ab2(bc2(ca20 (ab20，(bc20，(ca20
ab0，bc0，ca0
abc
ABC为等边三角形。

4. 在代数证明题中应用
例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为2n1，2n3（n为整数） 则(2n3(2n1
22(2n32n1(2n32n12(4n48(n1由此可见，(2n3(2n1一定是8的倍数。
22

5、中考点拨：
例1：因式分解：x4xy________。
32解：x4xyx(x4yx(x2y(x2y
3222说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。


. 例2：分解因式：2xy8xy8xy_________。
3223解：2xy8xy8xy2xy(x4xy4y2xy(x2y
3223222说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示： 例1. 已知：a111m1，bm2，cm3， 222求a22abb22acc22bc的值。 解：a22abb22acc22bc
(ab22c(abc2 (abc2
a111m1，bm2，cm3 222原式(abc2
111(m1(m2(m322212m42
说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2. 已知abc0，abc0，
333求证：abc0
555证明：abc3abc(abc(abcabbcca
333222
. 把abc0，a3b3c30代入上式，
可得abc0，即a0或b0或c0 若a0，则bc，
a5b5c50
若b0或c0，同理也有a5b5c50 说明：利用补充公式确定a，b，c的值，命题得证。

例3. 若xy27，xxyy9，求xy的值。
332222解：xy(xy(xxyy27
3322且xxyy9
22xy3，x22xyy29(1
又xxyy922(2
两式相减得xy0 所以xy9
22说明：按常规需求出x，y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）(a2(3a1 （2）x(x2yx(2yx
2252


.
（3）a(xy2a(xy(xy
2234

2. 已知：x

3. 若a，b，c是三角形的三条边，求证：a2b2c22bc0

113，求x44的值。 xx
. 4. 已知：10，求22001的值。


5. 已知a，b，c是不全相等的实数，且abc0，abc3abc，试求
333（1）abc的值；（2）a(b(1b1c1c111c(的值。 aab


4、用分组分解法进行因式分解

【知识精读】
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值
. 及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用
例1. 把多项式2a(a2a1a4a21分解因式，所得的结果为（） A.(a2a12C.(aa122B.(a2a12D.(aa122
分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式2a((a2a1a4a21 a42a33a22a1(a42a3a2(2a22a1(aa2(aa1(a2a12222
故选择C
例2. 分解因式x5x4x3x2x1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x5x4，x3x2和x1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解法1：
原式(x5x4x3(x2x1(x31(x2x1(x1(x2x1(x2x1
解法2：

. 原式(x5x4(x3x2(x1x4(x1x2(x1(x1(x1(x4x21(x1[(x42x21x2](x1(x2x1(x2x1

2. 在几何学中的应用
例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足ab，a2c2b22ac 证明：以a、b、c为三边能构成三角形
分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明：a2c2b22ac a2c2b22ac0a22acc2b20，即(ac2b20(acb(acb0又acbacbacb0，acb0abc，abc即abcab以a、b、c为三边能构成三角形

3. 在方程中的应用
例：求方程xyxy的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 解：xyxy

. xyxy0xyxy11即x(y1(y11(y1(x11x,y是整数x11x11或y11y11x0x2或 y0y2

4、中考点拨
例1.分解因式：1m2n22mn_____________。 解：1m2n22mn 1(m22mnn21(mn2(1mn(1mn
说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2．分解因式：x2y2xy____________ 解：x2y2xy(x2y2(xy (xy(xy(xy(xy(xy1
说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3. 分解因式：x33x24x12____________ 解：x33x24x12x34x3x212 x(x243(x24(x3(x2(x2

. 说明：分组的目的是能够继续分解。

5、题型展示：
例1.分解因式：m2(n214mnn21 解：m2(n214mnn21 m2n2m24mnn21(m2n22mn1(m22mnn2(mn1(mn22
(mnmn1(mnmn1说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。

例2. 已知：a2b21，c2d21，且acbd0，求ab+cd的值。 解：ab+cd=ab1cd1 ab(c2d2cd(a2b2abc2abd2cda2cdb2(abc2cdb2(abd2cda2 bc(acbdad(bdac(acbd(bcadacbd0原式0
说明：首先要充分利用已知条件a2b21，c2d21中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。

例3. 分解因式：x32x3
分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x1是x32x3的一个因式，因此变形的目的是凑x1这个因式。 解一（拆项）：
x32x33x332x32x

. 3(x1(x2x12x(x21(x1(xx32
解二（添项）：
x32x3x3x2x22x3x2(x1(x1(x3 (x1(x2x3说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？

【实战模拟】 1. 填空题：
（1）分解因式：a23ab23b（2）分解因式：x22x4xy4y24y（3）分解因式：1mn(1mnm3n3
2. 已知：abc0，求a3a2cabcb2cb3的值。

3. 分解因式：aa1
5

4. 已知：x2y2z20，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3y3z3(xy(xzA，试求A的表达式。


.

5. 证明：(ab2ab(ab2(1ab2(a12(b12

5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
x2(abxabxaxb进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

. 对于二次三项ax2bxc（a、b、c都是整数，且a0）来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2a，c1c2c，并且a1c2a2c1b，那么二次三项式这里要确定ax2bxc即a1a2x2a1c2a2c1xc1c2可以分解为a1xc1a2xc2。四个常数a1，c1，a2，c2，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知：x211x240，求x的取值围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解：x211x240
x3x80x30x30或
x80x80x8或x3
例2. 如果xxmx2mx2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，432并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x分成xx，而对于常数项-2，可能分解成12，或者分解成21，422由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为x2ax1x2bx2，其中a、b为整数，去括号，得：
x4abx3x22abx2
将它与原式的各项系数进行对比，得：
ab1，m1，2ab2m

. 解得：a1，b0，m1 此时，原式x22x2x1
（2）设原式分解为x2cx2x2dx1，其中c、d为整数，去括号，得：
x4cdx3x2c2dx2
将它与原式的各项系数进行对比，得：
cd1，m1，c2d2m
解得：c0，d1，m1 此时，原式x22x2x1

2. 在几何学中的应用
例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足
xyx22xyy220，求长方形的面积。
分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解：xyx2xyy20
22x22xyy2xy20(xy2xy20xy2xy10
xy20或xy10
又xy8
xy20xy10 或xy8xy8解得：.x5x35或
y3y4.5
. ∴长方形的面积为15cm或3、在代数证明题中的应用
2632cm
422例. 证明：若4xy是7的倍数，其中x，y都是整数，则8x10xy3y是49的倍数。 分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
22证明一：8x10xy3y2x3y4xy
22x3y4x6y4xy7y
∵4xy是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） ∴22x3y是7的倍数
而2与7互质，因此，2x3y是7的倍数，所以8x10xy3y是49的倍数。
22证明二：∵4xy是7的倍数，设4xy7m（m是整数） 则y4x7m
22又∵8x10xy3y2x3y4xy
2x12x21m4x4x7m7m14x21m49m2x3m
∵x，m是整数，∴m2x3m也是整数 所以，8x10xy3y是49的倍数。
22
4、中考点拨
例1.把4xy5xy9y分解因式的结果是________________。 解：4xy5xy9y
4222242222
. y24x45x29y24x29x21y2x212x32x3说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

例2.
因式分解：6x27x5_______________ 2解：6x7x52x13x5

说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。

5、题型展示
例1. 若xymx5y6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）
22 A. 1 B. -1
C. 1

D. 2 22解：xymx5y6xyxymx5y6
-6可分解成23或32，因此，存在两种情况：
（1）x+y -2 （2）x+y -3
x-y 3 x-y 2
由（1）可得：m1，由（1）可得：m1 故选择C。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足ac4bacb。
2求证：abbc
证明：ac4bacb
2
. ac4bacb0a22acc24bc4ac4ab4b20ac4bac4b20ac2b0ac2b0abbc说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

例3. 若x35x27xa有一因式x1。求a，并将原式因式分解。 解：x35x27xa有一因式x1
∴当x10，即x1时，x35x27xa0
222
a3
x35x27x3x3x24x24x3x3x2x14xx13x1x1x24x3x1x1x3x1x3说明：由条件知，x1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是x1，分解时尽量出现x1，从而分解彻底。

【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）a2b216ab39（2）15x

（3）x3x2n
27xnyn14y2n2
2222x23x72

.

2. 在多项式x1，x2，x3，x2x3，x2x1，x2x3，哪些是多项222式x2x

2410x22x9的因式？
23. 已知多项式2x3x213xk有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

4. 分解因式：3x5xy2yx9y4
22

.，x3y12.，求3x12xy9y的值。 5. 已知：xy0522

7、因式分解小结

【知识精读】
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

. 1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的围，一般指在有理数围分解； 7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的容。 【分类解析】
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x5x4x3x2x1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，x3x2，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式(x5x4x3(x2x1 x3(x2x1(x2x1(x31(x2x1(x1(x2x1(x2x1
解二：原式=(x5x4(x3x2(x1

. x4(x1x2(x1(x1(x1(x4x1(x1[(x2x1x](x1(x2x1(x2x1422

2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x33x24 解一：将3x2拆成2x2x2，则有 原式x32x2(x24x2(x2(x2(x2(x2(xx2(x1(x222
解二：将常数4拆成13，则有 原式x31(3x23(x1(x2x1(x1(3x3(x1(x4x4(x1(x222

3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式(x24(x210x21100的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明：(x24(x210x21100
(x2(x2(x3(x7100(x2(x7(x2(x3100 (x25x14(x25x6100
. 设yx25x，则
原式(y14(y6100y28y16(y42无论y取何值都有(y420(x24(x210x21100的值一定是非负数

4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：(a2bc3(ab3(bc3
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 原式(AB3A3B3A33A2B3AB2B3A3B33A2B3AB23AB(AB3(ab(bc(a2bc
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨：
例1.在ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab10bc0 求证：ac2b
证明：a216b2c26ab10bc0

. a26ab9b2c210bc25b20即(a3b2(c5b20(a8bc(a2bc0abca8bc，即a8bc0于是有a2bc0即ac2b
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
112，则x33__________ xx111解：x33(x(x21
xxx11(x[(x221]xx 21例2. 已知：x2说明：利用x2
题型展示：
12(x2等式化繁为易。
xx21 1. 若x为任意整数，求证：(7x(3x(4x2的值不大于100。 解：(7x(3x(4x100
2(x7(x2(x3(x2100(x25x14(x25x6100[(x25x8(x25x16](x25x420(7x(3x(4x2100
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。

. 2. 将a2(a12(a2a2分解因式，并用分解结果计算6272422。 解：a2(a12(a2a2 a2a22a1(a2a22(a2a1(a2a2(a2a12
6272422(366124321849
说明：利用因式分解简化有理数的计算。

【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）3x510x48x33x210x8（2）(a3a3(a3a1522
（3）x22xy3y23x5y2（4）x7x6

3
2. 已知：xy6，xy1，求：x3y3的值。


. 3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使x3x2yxy2y30，求矩形的面积。

4. 求证：n35n是6的倍数。（其中n为整数）

1111115. 已知：a、b、c是非零实数，且a2b2c21，a(b(c(3，求a+b+cbccaab的值。

6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2b2c2和4a2b2的大小。
10、分式的运算

【知识精读】
1. 分式的乘除法法则
acac； bdbdacadad bdbcbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

. 2. 分式的加减法
（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数；
②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则
abab ccc（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则
anan(n（n为正整数） bb 4. 分式的运算是初中数学的重要容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：
（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；
（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
x2x2x2x62例1：计算2的结果是（）
xx6xx2x1 A.
x3x1B.
x9

x21C. 2

x9
x21D. 2
x3
. 分析：原式(x2(x1(x3(x2
(x3(x2(x2(x1(x2(x1(x2(x1(x3(x2(x3(x2(x1(x1
(x3(x3x212x9故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知abc1，求abc的值。 aba1bcb1acc1分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式aababc aba1abcabaabcabcabaababcaba11abaa1abaab1
aba11
例3：已知：2m5n0，求下式的值：(1nmnm(1 mmnmmn分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：(1nmnm(1 mmnmmn
. m(mnn(mnmm(mnn(mnmm(mnm(mnnm(mn m(mnnmnmn2m5n0m5n 25nn7372故原式nn
5223nn2
例4：已知a、b、c为实数，且值是多少？
分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解：由已知条件得：所以2(ab1bc1ca1abc的，，，那么ab3bc4ca5abbcca1111113，4，5 abbcca11112 abc111即6 abcabbcca111又因为6
abccbaabc1所以
abbcca6
x31x21x24例5：化简：( x2x2x1(x31(x2(x21(x2(x2(x2解一：原式
(x2(x2x1
. x43x32x24x1(x4x23(x31(x21x1x2(x1(x13(x1(x2x1(x1(x1
x1(x1(x3x23x23x3x1x1x32x24x4(x1(x2x1(x2(x2(x1(x1(x2(x2解二：原式
x2x1x2x1(x2x1(x2(x1(x2x3x2x2x22x2x23x2 x32x24x4说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。

nmm2n2例1、计算：1
m2nm24mn4n2mn(m2n2解：原式1
m2n(mn(mnm2nmnmnm2n
mn3nmn1说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。

. M2xyy2xy例2、已知：2，则M_________。 222xyxyxy2xyy2xy解：2 2xyxy2xyy2x22xyy2x2y2xMx2y2x2y22
Mx2
说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。

中考点拨： 例1：计算：[1111](
abab(ab2(ab2(ab2(ab2abab解一：原式 (ab(ab(ab2(ab24ab(ab(ab2b(ab2(ab22a
(ab(ab2a2ab2解二：原式(111111(( abababababab11abab
abab2a2(ab(abab2
. 说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。

2b32b(1的值等于（） 例2：若ab3ab，则(122a3b3ab A. 12

B. 0


C. 1
解：原式a3b32b3aa3b3b2bab
a3b3aba3b3ab(ab(a2abb2(ab(a2abb2abab
a2abb23ababa2abb23abab2ab14ab2故选A
【实战模拟】
1. 已知：ab2，ab5，则abba的值等于（） A. 25 B. 14195 C. 5 2. 已知x216x10，求x31x3的值。


D. 23 D. 245

. 3. 计算：

1111 x23x2x25x6x27x12x29x20999911111999922221，B4. 若A，试比较A与B的大小。 222233339999199991

5. 已知：abc0，abc8，求证：1110。 abc

11、公式变形与字母系数方程

【知识精读】
含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。 公式变形实质上是解含有字母系数的方程
对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程axb型，讨论如下： （1）当a0时，此时方程axb为关于x的一元一次方程，解为：x（2）当a0时，分以下两种情况：
<1>若b0，原方程变为0x0，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解； <2>若b0，原方程变为0xb(b0，这是个矛盾等式，故原方程无解。
b
a
. 含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。 下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程 【分类解析】
1. 求含有字母系数的一元一次方程的解 例1. 解关于x的方程2axbcacbx(2ab 36分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。 解：去分母得：12ax2bc6bxac 移项，得12ax6bx2bcac
(12a6bx2bcac2ab12a6b0x
2. 求含字母系数的分式方程的解 例2. 解关于x的方程
2bcac12a6bab2
axbbxax分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。 解：若a、b全不为0，去分母整理，得
(b2a2x2ab
对ba是否为0分类讨论：
22（1）当ba0，即ab时，有0x2ab，方程无解。
22（2）当ba0，即ab时，解之，得x222ab ab
. 若a、b有一个为0，方程为12，无解 xx若a、b全为0，分母为0，方程无意义 检验：当x2ab2ab时，公分母(axb(bxa0，所以当ab0，ab时，xabab是原方程的解。
说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a、b全不为0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解。当a、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a、b全为0时，方程不存在。最后对字母条件归纳，得出方程的解。

3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件 例3. 如果关于x的方程a1b1有唯一解，确定a、b应满足的条件。 xaxb分析：显然方程存在的条件是：a0且b0 解：若a0且b0，去分母整理，得
(baxab(ba
当且仅当ba0，即ba时，解得xab 经检验，xab是原方程的解
a、b应满足的条件：a0且b0，ba
说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件。因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。

4. 在其它学科中的应用（公式变形） 例4. 在物理学中我们学习了公式Sv0tt，试求a。
12at，其中所有的字母都不为零。已知S、v0、2
. 分析：利用字母系数方程完成公式变形，公式变形时要分清哪个量是被表示的量，则这个量就是未知数，其它的量均视为已知量，然后按解字母系数方程求解。 解：Sv0t12at
21at2v0tS2t0a
5、中考点拨
例1. 填空：在vv0at中，已知v、v0、a且a0，则t________。 解：vv0at1at20
22v0t2St2atvv0
a0tvv0
a例2. 在公式P A. Pt FFs解：PPtFs
tPt，故选A sF
6、题型展示： 例1. 解关于x的方程Fs中，已知P、F、t都是正数，则s等于（） tFtFPB. C. D. 以上都不对
Pt说明：以上两题均考察了公式变形。
xabxbcxca3(a，b，c0 cbb
. xabxbcxca1110 cbbxabcxbcaxcab即0
cab解：原方程化为：111(xabc(0abca0，b0，c01110abcxabc0xabc说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式xabc。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。 例2. 解关于x的方程。

ax(xabx(xb(ab(xa(xb(ab0
解：去括号：axaxbxbx(abx(abxab(ab
222222(a2b2x(ab2xab(ab2abxab(abab0abx2
说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。 例3. 已知zac（cd0） ，求z。bzd分析：本题是求z，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，把方程化归为axb(a0的形式，便可求解。 解：d0

. d(zac(bzdzadbcczdzczadbc(dczadbc又dc0

z
bcad
cd【实战模拟】 1. 解关于x的方程

2. 解关于x的方程(a1(a4x2xa2。

3. a为何值时，关于x的方程

4. 已知关于x的方程x1x1，其中m0，n0，mn。 mnnmx12a3的解等于零？
x2a5xm2有一个正整数解，求m的取值围。 x3x3
.

5. 如果a、b为定值，关于x的一次方程1，求a、b的值。

3kxaxbk，无论取何值，它的根总是23612、分式方程及其应用

【知识精读】
1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：x21 x1x1分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根
解：方程两边都乘以(x1(x1，得

. x22(x1(x1(x1，即x22xx212，3 x23经检验：x是原方程的根。2
例2. 解方程x1x6x2x5 x2x7x3x6分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现(x6与(x7、(x2与(x3的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为：方程两边通分，得
x6x5x2x1 x7x6x3x211(x6(x7(x2(x3所以(x6(x7(x2(x3即8x369x2经检验：原方程的根是x
例3. 解方程：
9。
212x1032x3424x2316x19 4x38x98x74x5分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

. 1221 4344x38x98x74x52222即 8x98x68x108x7解：由原方程得：3
11，(8x9(8x6(8x10(8x7所以(8x9(8x6(8x10(8x7 于是解得：x1经检验：x1是原方程的根。
6y12y24y2例4. 解方程：0
y4y4y24y4y24分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
6(y2(y2(y2y2解：原方程变形为：0
(y2(y2(y22(y226y2y20
约分，得y2y2(y2(y2方程两边都乘以(y2(y2，得
6(y2(y22y20
整理，得2y16y8经检验：y8是原方程的根。
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。


. 5、中考题解： 例1．若解分式方程 A. 1或2 C. 1或2


2xm1x1产生增根，则m的值是（） x1xxx
B. 1或2
D. 1或2
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：x0或x1，化简原方程为：2x(m1(x1，把x0或x1代入解得m1或2，故选择22D。
例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：6066
xx260x12066xx20经检验：x20是原方程的根x222答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

6、题型展示：
例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、

. 负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
42807xyxy由题意，得
40707xyxyx17解得：y3
x17经检验：是原方程的根y3答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

例2. m为何值时，关于x的方程2mx3会产生增根？ x2x4x2解：方程两边都乘以x24，得2x4mx3x6 整理，得(m1x10
10m1如果方程产生增根，那么x240，即x2或x2当m1时，x102m4 m110（2）若x2，则2m6m1（3）综上所述，当m4或6时，原方程产生增根（1）若x2，则说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

【实战模拟】
1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改
. 乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）
SavSav2S C. D. babab2m 2. 如果关于x的方程1有增根，则m的值等于（）
x3x3 A.

B. A.3

B. 2

C. 1

D. 3 3. 解方程：
S ab（1）
1111…2 x10(x1(x2(x2(x3(x9(x10（2）

xx2x4x0 241x1x1x1x4. 求x为何值时，代数式

2x912的值等于2？ x3x3x 5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的2，求甲、乙两3
. 队单独完成各需多少天？


13、分式总复习

【知识精读】
A定义：（A、B为整式，B中含有字母）BAAM通分：(M0BBM性质约分：AAM(M0BBM51分式定义：分母含有未知数的方程。如x1x3思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母分式方程解法依据：等式的基本性质注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用
【分类解析】 1. 分式有意义的应用
例1. 若abab10，试判断分析：要判断11是否有意义。
，a1b111是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，，a1b1即可判断a1，b1与零的关系。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2b54de70940590c69ec3d5bbfd0a79563d1ed417.html

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