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初三数学培优试题(含答案)

发布时间：2020-10-18   来源：文档文库   
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初三数学培优试题一
学校： 班级： 姓名： 分数：
一．选择题
1、下列函数：① y3x，②y2x1，③yx0，④yx22x3 其中y的值随x值的增大而增大的函数有（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
y7653211xB'A4C'C12A'B–4–3–2–1O34x
3、按下面的程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，
则满足条件的x的不同值最多有（ ）


（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
23


4、已知关于x的不等式组0x4的范围内，
xa1的解集中任意一个x的值均不在．．xa2则a的取值范围是（ ）
（A）a5或a2 （B）2a5 （C）2a5 （D）a5或a2
5、如图所示，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点P是半径ON上的动点。
若O的半径长为，则APBP的最小值为（ ）
OPABN（A）2 （B）3 （C）2 （D）
6．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（ ）

A． B． C．

D．
23


二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）
7.已知一组数据：12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是 。 8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为 ．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2t，0），B（0，﹣2t），C（2t，4t）三点，其中t＞0，函数y=的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△PAB﹣S△PQB=t，则t的值为 ．
10、如图，已知抛物线与反比例函数的图像相交于B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 。

三．解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟）
11、（本小题8分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两实数根满足x1x2+x1+x2>0，求a的取值范围


23




12．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．

13．（13分）如图，正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE=CF；
23


（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长． （3）求线段OF长的最小值．

23


初三数学培优试题二

学校： 班级： 姓名： 分数：
一． 选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．(2m1化简后的结果为( m2A.m2 B.2m C.2m D.m2 2．式子abcabc的所有可能值的个数为( |a||b||c||abc|A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个

3．点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在直线y＝kx+2（k＜0）上，且x1＜x2则y1、y2的大小关系是（ ） A．y1 ＝y2
B．y1 ＜y2
C．y1 ＞y2
D．y1 ≥y2 4．适合3xy1，且满足方程3xy1的x的取值范围是( xyA.0x111111 B.x C.0x D.x 4244245．已知A、B两点在一次函数yx的图象上，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线y2(x0于M、N两点，O为坐标原点。若BN3AM，则9OM2ON2的x值为(

A. 8 B. 16 C. 32
D. 36 6．如图所示，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3．设直线l：x＝t截此三角形所得的阴影部分面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为（如选项所示）（ ）

23


A． B．

C． D．
7．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣角三角形的点C的个数为（ ）
上，则使△ABC是直
A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3．点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过多少秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点？（ ）

A．

B． C． D．
二． 填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 9．因式分解：3x3﹣6x2y+3xy2＝ ．
10.已知函数y＝mx2+（m2﹣m）x+2的图象关于y轴对称，则m＝ ． 11．如果点（m，﹣2m）在双曲线上，那么双曲线在 象限．
12．在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构23


造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．

三． 解答题（共9小题，满分86分）
13.已知有理数a,b满足a(b22104322,求a,b的值



14.解方程


x9x82 xx915．(12分已知函数y|xa|，
(1当a2时，在图1所示的平面直角坐标系内作出该函数图象的简图；
(2若长方形ABCD四个顶点的坐标分别为(2,0,(2,0,(2,2,(2,2，设长方形ABCD在函数y|xa|的图象以上部分的面积为S，当0a4时，求S关于a的函数关系式

23


第15题图1 第15题图2 第15题（备用图）



16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．

（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是 ． （2）抛物线y＝是 ．
（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6． ①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．
对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝ ，对应的碟宽AB
23


初三数学培优试题三

学校： 班级： 姓名： 分数：
一、选择题 1．把aA．
的根号外的a移到根号内得（ ）
B．﹣
C．﹣
D．
2.函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A．B． C．D．
3，如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y＝交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．

4．已知二次函数yx22x6，当mx4时，函数的最大值为2，最小值为7，则满足条件的m的取值范围是(

A.m1 B.2m1 C.2m1 D.2m1 5．在RtABC中，BAC90，M、N是BC边上的点，BMCN果AM8，AN6，则MN的长为( A.410 B.210 C.1MN，如2310 D.10
21 3 11 13 15 9 5 7 19 178 ……

第一排 第二排 第三排 第四排
6．将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n,m表示第n排，从左到右第m个数，如(4,2表示奇数15，则表示奇数2017的有序实数对是(

23


A.(44,19 B.(45,26 C.(45,19 D.(45,27
7．如图，在矩形ABCD中，过点B作BFAC，垂足为F，设AFm,CFn，若CF2CD，则n的值为( mA.222 B.321 C.231 D.251 8．已知正整数a、b满足50ab53，0.79a0.8，则ba等于(
bA. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 9．因式分解：xy2﹣4xy+4x＝ ．
10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为 度．

11．函数y2xx73x1的最大值为
. 12．如图，在平行四边形ABCD中，ABBCBD4，M、N分别是AD、CD上的动点（含端点），MBN60，则线段MN的长的取值范围是 .




13．毕业季将至，宿舍的四位同学每人写了一张明信片放进纸盒，准备毕业时每个人随机抽取一张，则每个人都拿到的是别人的明信片的概率是 .

三、解答题（本大题5小题，共58分） 14. (1计算：(30|323|32cos30 2323




15.因式分解：x32x25x6

16．(12分已知x1,x2是一元二次方程kx22kxk10的两个实数根； (1若(2x1x2(x12x28k成立，求实数k的值；

(2是否存在整数k，使请说明理由。

17．(14分在平面直角坐标系中，一次函数y3x3的图象与x轴交于点B，3x2x1的值为整数？若存在，求出k的值；若不存在，x1x2与y轴交于点C，抛物线yax2轴的另一个交点为A；
23xc(a0经过B、C两点，设抛物线与x323


（1）求该抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

第19题图1 用图）





第19题图2
23 第19题（备

初三数学培优试题四

学校： 班级： 姓名： 分数：
一．选择题 1．若x＝ ﹣4，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 2．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（
）
A．56 B．64 C．72

D．90 2yaxbxc的图像如右图所示，则化简3．二次函数二次根式 (ac2(bc2的结果是（ ）
A．a+b B．-a-b C．a-b+2c D．-a+b-2c 4.有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知a是方程x33x10的一个实数根，则直线yax1a不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运长为5米，横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管，最多能运（ ）根。
A．20根 B．21根 C．24根 D．25根 二、填空题（共7题，每题5分，共35分）
23



7.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为 度．
第7题

bc128. 已知bc(ab(ca，且a≠0,则= 。
a49．G是△ABC的重心，过G的直线交AB于M，交AC于N， 则

10．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程BMCN= 。
AMANx2(n2x2n20的两个根记作an,bn(n≥2,则111…= 。 (a22(b22(a32(b32(a20072(b2007211．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是 ．


23


三．解答题（本题有4小题，共60分）
12. （10分）试求实数k（ k≠1），使得方程

(k21x26(3k1x720的两根都是正整数。


13．我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”．如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”． （1）请判断42356是否为“超越数” （填“是”或“否”），若+4c＝13k（k为整数），化简代数式表示）．
（2）一个四位正整数N＝，规定F（N）＝|a+d2﹣bc|，例如：除以13的商（用含字母k的F（4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a＝c，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值．

14．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共23


点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．


23


初三数学培优试题五

学校： 班级： 姓名： 分数：
一．选择题（共7题，每题5分，共35分）
1．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）


A．π﹣2 B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣
2．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）（ ） A．21.7米
B．22.4米
C．27.4米
D．28.8米
3．若数a使得关于x的分式方程得关于y的不等式组a的个数为（ ） A．1 B．2 ﹣＝5有正数解，且使有解，那么符合条件的所有整数C．3 D．4 4．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一23


个球，则3个空格相连的概率是（ ）
3535A． B． C． D．
282856565．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x22x30的解的个数是（ ）
A． 1 B．2 C．3 D．4 6对每个x，y是y12x,y2x2,y3x12三个值中的最小值，则当x变化时，函数y的最大值是（ ）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 二、填空题（共7题，每题5分，共35分）
7．观察如图给出的四个点阵，请按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数为 个．
48
732
c8. 已知a、b、c都是实数，且满足a>b>c,a+b+c=0.那么，的取值范a围是 。
9.在△ABC中，AB=AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则各内角的度数为 。
510. 设抛物线yx(2a1x2a(a为常数）的图象与x轴42186a323a只有一个交点，则= 。
23


11.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ． 三、解答题
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣xB两点与反比例函数y＝的图象交于A，（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集； （3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．



13.喜欢钻研的小亮对75°角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75°的正弦值呢？经研究，他发现：sin75°=sin(45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆猜想：sin(+=sincos+cossin（和为锐角）。将图1（a）等积变形为图1（b）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”23


成图2（a）和图2（b）。
如图,锐角为的直角三角形斜边为m，锐角为的直角三角形斜边为n，请你借助
图2（a）和图2（b）证明上述结论能成立。





14.已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
23


①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别11交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断DMDN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．






23


初三数学培优试题六
、学校：
班级： 姓名： 分数：
23




23




23




初三数学培优试题一参考答案


一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题要求的） 1. C 2.C 3. C 4.D 5.C
6．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：设AB=x，则AE=EB=由折叠，FE=EB=则∠AFB=90° 由tan∠DCE= ∴BC=，EC=

∵F、B关于EC对称 ∴∠FBA=∠BCE
23


∴△AFB∽△EBC ∴∴y=故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程） 7. 9
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为
．


【解答】解：由题意可知：△=4m2﹣2（1﹣4m）=4m2+8m﹣2=0， ∴m2+2m=
∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1） =﹣m2﹣2m+4 ==
故答案为：

9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2t，0），B（0，﹣2t），C（2t，4t）三点，其中t＞0，函数y=△PAB+4
的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S﹣S△PQB=t，则t的值为 4 ．
【解答】解：如图所示， ∵A（2t，0），C（2t，4t）， ∴AC⊥x轴， 当x=2t时，y=∴Q（2t，），
=，
23


∵B（0，﹣2t），C（2t，4t）， 易得直线BC的解析式为：y=3x﹣2t， 则3x﹣2t=，
解得：x1=t，x2=﹣t（舍）， ∴P（t，t），
∵S△PAB=S△BAC﹣S△APC，S△PQB=S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC， ∵S△PAB﹣S△PQB=t，
∴（S△BAC﹣S△APC）﹣（S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC）=t， S△ABQ+S△PQC﹣S△APC=+﹣=t，
t=4，
故答案为：4．

10．【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，与x轴的交点即为所求，

且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6）， ∴点B（3，3），

∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2， ∴点A的坐标为（2，2），
23
则A′B

∴点A′的坐标为（2，-2），
设过点A′（2，-2）和点B（3，3）的直线解析式为y=mx+n，




三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟）
11.【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，
2∴△=（-2）-4×1×a=4-4a≥0， 解得：a≤1，
由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2， ∵x1x2+x1+x2＞0， ∴a+2＞0， 解得：a＞-2， ∴-2＜a≤1．

12．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
23


k2=12﹣2（k﹣1）+k2﹣k 解得k=
（2）把点（2k，y1）代入抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得 y1=（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2﹣k=k2+k
把点（2，y2）代入抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得 y2=22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k=k2﹣∵y1＞y2 ∴k2+k＞k2﹣解得k＞1
（3）抛物线y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k解析式配方得 y=（x﹣k+1）2+（﹣）
k+8
k+8
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为 y=（x﹣k）2+（﹣）
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴x=1时，y最小=（1﹣k）2﹣k﹣1=k2﹣k， ∴k2﹣k=﹣，解得k1=1，k2= 都不合题意，舍去；
当1≤k≤2时，y最小=﹣k﹣1， ∴﹣k﹣1=﹣ 解得k=1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴x=2时，y最小=（2﹣k）2﹣k﹣1=k2﹣k+3， ∴k2﹣k+3=﹣
解得k1=3，k2=（舍去）
23


综上，k=1或3．

13．（13分）如图，正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE=CF；
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长． （3）求线段OF长的最小值．
【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：∠EDF=90°，ED=DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=90°，AD=CD， ∴∠ADC=∠EDF，
即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF， ∴∠ADE=∠CDF， 在△ADE和△DCF中， ∵，
∴△ADE≌△DCF， ∴AE=CF；
（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P， ∵O是BC的中点，且AB=BC=2∵A，E，O三点共线， ∴OB=，
，
由勾股定理得：AO=5， ∵OE=2，
23


∴AE=5﹣2=3，
由（1）知：△ADE≌△DCF， ∴∠DAE=∠DCF，CF=AE=3， ∵∠BAD=∠DCP， ∴∠OAB=∠PCF， ∵∠ABO=∠P=90°， ∴△ABO∽△CPF， ∴==2，
∴CP=2PF，
设PF=x，则CP=2x，
由勾股定理得：32=x2+（2x）2， x=∴FP=或﹣（舍），
+=，
=，
，OP=由勾股定理得：OF=（3）解：如图3，由于OE=2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长BA到P点，使得AP=OC，连接PE， ∵AE=CF，∠PAE=∠OCF， ∴△PAE≌△OCF， ∴PE=OF，
当PE最小时，为O、E、P三点共线， OP==﹣2， ﹣2．
=5，
∴PE=OF=OP﹣OE=5∴OF的最小值是523







初三数学培优试题二参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1.D 2.B 3.C 4A 5.C 6.D 7.C
8.A 二．填空题
9. 3x（x﹣y）2．10. 1或0．11. 第二、四．12. 6.【解答】解：∵Rt△AOB中，AB＝OB＝3， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∵直线l∥AB，
∴△OCD为等腰直角三角形，即CD＝OD＝t， ∴S＝t2（0≤t≤3），
23



画出大致图象，如图所示，
．
故选：D．

7.【解答】解：如图，

①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣8，10）， ②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，2.5）， ③若∠C为直角
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心、5为半径的圆与直线y＝﹣的交点上． 在直线y＝﹣当y＝0时x＝则PQ＝中，当x＝0时y＝4，即Q（0，4）， ，即点P（＝，
，0），
过AB中点E（﹣3，0），作EF⊥直线l于点F， 则∠EFP＝∠QOP＝90°， ∵∠EPF＝∠QPO， ∴△EFP∽△QOP，
23


∴＝，即＝，
解得：EF＝5，
∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y＝﹣所以直线y＝﹣上有一点C满足∠C＝90°．
恰好有一个交点．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3， 故选：C．
8.解：过点F作FQ⊥CD于点Q，
∵在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠DAE+∠1＝90°， ∴∠DAE＝∠2， 在△ADE和△EQF中，
，
∴△ADE≌△EQF（AAS）， ∴AD＝EQ＝3，
当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM≥8， ∴t+3+2t≥8， 解得：t≥，
故当经过秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点． 故选：A．


23




二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 10. 解：因为图象关于y轴对称， 所以x＝﹣即﹣＝0，m≠0， ＝﹣＝0， 解得m＝1．
当m＝0时，此时函数为y＝2，这个函数也关于y轴对称， 故答案为1或0．
12.解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，

∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°， ∴∠ABH＝∠EAC， ∴△AHB∽△CEA，
∴＝， ，
∴＝∴AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x， ∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x， ∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0） ∵BM＝CM， ∴M（1+x，∴PM＝），∵P（1，0），
＝， ．
∴x＝时，PM有最小值，最小值为23


故答案为．
四． 解答题（共9小题，满分86分）
213．（1）解：右边=104(21104(2164222

a2a2 所以即
b21b114.解：令tx9，则t0
x原式可化为t82，整理得t22t80，解得t4或t2（舍去）从而tx934，两边同时平方解得x。 x515．（1）如图（画出图形即给分，不考虑过程）……………………………………………………4分

11a2（2）当0a2时，S22(a2(2a4………………………………8分
2221(4a22当2a4时，S[2(a2]……………………………………12分
22a242所以，S关于a的函数关系式为S2(4a20a2
2a416．解：（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB， 如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点， ∴MN⊥AB，MN＝AB，
23


故答案为：MN⊥AB，MN＝AB； （2）∵抛物线y＝∴m＝m2，
解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去）， 当m＝2则，2＝x2， 解得：x＝±2， 则AB＝2+2＝4； 故答案为：2，4；
（3）①由已知，抛物线对称轴为：y轴，
∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6． ∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）， 得，9a﹣4a﹣＝0， 解得：a＝，
∴抛物线的解析式是：y＝x2﹣3；

②由①知，如图2，y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3．
对应的准蝶形必经过B（m，m），

23





初三数学培优试题三参考答案
一． 选择题
1.C
2. B 3.D 4.D 5.B.6 D.7A 8.C 二、填空题
9 . x（y﹣2）2 10. 55 11. 5 12. [23,4] 13.
三、解答题
14. 解：原式=1(3233
83(233 22(23(23 13236333
322 415. 解：原式=xxx5x6 x2(x1(x6(x1
(x1(x2(x3


16．解：（1）由已知得k0，且方程有两个实数根， 所以(2k24k(k10，解得k0 由韦达定理得x1x22，x1x21

1
k2(2x1x2(x12x22x122x25x1x22(x1x229x1x2
249(111k98k
k23


2整理得8kk90，解得k1或k9，又因为k0，所以k1 82x2x1x2x12(x1x222x1x244k4（2） 2221k1k1x1x2x1x2x1x21k因为k0，所以k11 当k11时，k2 当k12时，k3 当k14时，k5
所以实数k的整数取值为-2，-3，-5。

17．解：(1因为直线y所以B(33,0,C(0,3
3x3与x轴交于点B，与y轴交于点C 3027a6c1又因为点B、C都在抛物线上，从而解得a,c3
33c则抛物线的解析式为y1223xx3，故顶点F(3,4 33(2存在点P，使得△ABP为直角三角形，坐标为P1(23,3,P2(0,3
222由AB43,BC6,AC23，得ABBCAC，即ACBC, 由抛物线的对称性知，存在两个点P1(23,3,P2(0,3满足题意.
(3延长BC到点B`，使B`C=BC，连结B`F交直线AC于点M，则点M就是所求点。 因为BCAC，所以点B`为点B关于直线AC的对称点。 又因为点B(33,0,C(0,3，所以B`(33,6 设直线B`F的解析式为ykxm，
3k633km6， 则，解得m943km223


所以直线B`F的解析式为y39x， 623330,， 773330,。 77与直线AC：y3x3联立，解得交点M坐标为(所以在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时点M(
初三数学培优试题四参考答案
一．选择题
1 . A 2 . D 3. C 4. B 5 D 6 B 二． 填空题
7. 55 8. 2 ；9. 1； 10.三．解答题
12. 1003； 11 .6-3 4016
.


13.解：（1）∵4235+4×6＝4259且4259不能整除13∴4235不是超越数．
∵+4c＝13k∴10a+b+4c＝13k∴10a+b＝13k﹣4c
23


∵＝100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝130k﹣40c+c＝130k﹣39c＝13（10k﹣3c）
∴＝10k﹣3c
（2）由题意得d＝5，a＝c， ∴N＝1000a+100b+10c+5 ∵N能被13整除
∴设100a+10b+c+4×5＝13k
∴101a+10b+20＝13k，且a正整数，b，k为非负整数，1≤a≤4 ∴a＝2，b＝9，k＝24 或a＝3，b＝8，k＝31，或a＝4，b＝7，k＝38
∴F（N）＝|2+25﹣18|＝9，或F（N）＝|3+25﹣24|＝4，或F（N）＝|4+25﹣28|＝1 ∴F（N）最小值为1．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0）， ∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，
∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；
，
（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0）， ∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2， ∴y＝2x﹣2，
则，
23


得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0， ∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0， 解得x＝1或x＝﹣2， ∴N点坐标为（﹣2，﹣6）， ∵a＜b，即a＜﹣2a， ∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E， ∵抛物线对称轴为x＝﹣∴E（﹣，﹣3），
∵M（1，0），N（﹣2，﹣6）， 设△DMN的面积为S，
∴S＝S△DEN+S△DEM＝|（﹣2）﹣1|•|﹣（3）当a＝﹣1时，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
有，
﹣（﹣3）|＝
，＝﹣，
﹣x2﹣x+2＝﹣2x， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， ∴G（﹣1，2），
∵点G、H关于原点对称， ∴H（1，﹣2），
设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x+t， ﹣x2﹣x+2＝﹣2x+t，
23


x2﹣x﹣2+t＝0， △＝1﹣4（t﹣2）＝0， t＝，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0）， 把（1，0）代入y＝﹣2x+t， t＝2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，＜．


23 t的取值范围是2≤t



初三数学培优试题五参考答案
一、选择题
1. C 2. A 3. C 4. A 5. C 6. B 7. 4n-3 8. -2<c1（36°、36°、108°） <-；9. （45°、45°、90°）a2180054005400（36°、72°、72°）（、、）； 10. 5796 11.51
77712.解：（1）∵直线l1：y＝﹣x经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当y＝2时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点A， ∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）∵直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点， ∴B（4，﹣2），
∴不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD， ∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等， ∵△ABC的面积为30，
∴S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|yA|+|yB|）＝30， ∴×OD×4＝30， ∴OD＝15， ∴D（15，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b， 把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b， 解得b＝，
23


∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．


13.


如图2(a，原来内部的正方形变成了一个平行四边形，m，n为相邻两边，其夹角为α＋β，得它的面积是mnsin(α＋β（其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度）．如图2(b，原来的两个小正方形变成了两个矩形，其面积之和是msinα·ncosβ＋mcosα·nsinβ．与上面一样，图2(a与图2(b中空白部分的面积相等，所以有mnsin(α＋β＝msinα·ncosβ＋mcosα·nsinβ，化简得sin(α＋β＝sinαcosβ＋sinαcosβ。

23


14（1）证明：如图1，连接OE、0F， ∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°ADOADC30,又∵E、F分别为DC、CB中点，
OE111CD,OFBC,AOAD,OEOFOA,∴点O即为△AEF的22212外心；
①猜想：外心P一定落在直线DB上．理由如下：
如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°， ∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°， ∵点P是等边△AEF的外心， ∴∠EPA=120°，PE=PA， ∴∠IPJ=∠EPA， ∴∠IPE=∠JPA， ∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上； ②
112 DMDN23

初三数学培优试题六参考答案
23



23

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3711675da800b52acfc789eb172ded630a1c9828.html

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