一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定义

. 2 1.的值已知关于，求另一个根及的方程 的一个根为 从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程 思路点拨：.

求出另一个根即可 代入原方程，得解： 将

即

解方程，得

当时，原方程都可化为

解方程，得.

，或-1.

所以方程的另一个根为4

总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口.

举一反三：

的，求代数式的一个根是】已知一元二次方程1【变式

.

值 .

思路点拨：为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题抓住

,

是方程的一个根 解： 因为 ,

所以

,

故

,

.

所以

.

总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验.

类型二、一元二次方程的解法

用直接开平方法解下列方程： 2.22-9=0.

； (2)4(1-x) (1)3-27x=0

2=3

解：(1)27x

.

2=9

(2)4(1-x)

用配方法解下列方程： 3. (2).

(1)；

，由(1)解：

，得

，

，

所以，

故 .

由， (2)

得，

，

，

所以

故

用公式法解下列方程： 4. (3) .

；(1) (2)；

这里(1) 解： 并且

所以 ，

， .

所以

将原方程变形为， (2)

则

，

所以，

所以 .

将原方程展开并整理得， (3)

这里，

并且，

所以.

所以.

总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算.

能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材．

5.用因式分解法解下列方程：

.

(3) (1)； (2)；

解：(1)将原方程变形为，

提取公因式，得，

，所以 因为

或，所以

故

直接提取公因式，得 (2)

即 ，或 (所以 故.

(3)直接用平方差公式因式分解得

即

或所以

.

故

举一反三：

1】用适当方法解下列方程． 【变式 22 x+2=0；=x(x+3) (1)2(x+3)； (2)x-2

22+12x+32=0.

(4)x；(3)x-8x=0

2=x(x+3)

解：(1)2(x+3)

2-x(x+3)=0

2(x+3)

(x+3)[2(x+3)-x]=0

(x+3)(x+6)=0

=-6．=-3，x x21 2x+2=0

(2)x-2

c=2

b=-2这里a=1，，

220

b-4ac=(-2-4×1×2=12＞)

= x=

-=+，x x =21 (3)x(x-8)=0

x=0，x=8． 21 (4)配方，得

2+12x+32+4=0+4

x

2=4

(x+6)

x+6=2或x+6=-2

x=-4，x=-8． 21 点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.

. ，求 6.的值若 观察，把握关键：换元，即把看成一个“整体”.思路点拨：

由， 解： 得，

，

，

所以，

或(舍去)故，

所以 .

总结升华：把某一“式子”看成一个“整体”，用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.

类型三、一元二次方程根的判别式的应用

2 ( )4x+3x-2=0 的根的情况是 7.(武汉)一元二次方程 A.有两个相等的实数根; B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根; D.没有实数根

2.

0，所以该方程有两个不相等的实数根4×4×(因为△=3--2)＞ 解析: 答案:B.

2 ( )有两个不相等的实数根，x+x-3m=0则m的取值范围是x 8.( 重庆)若关于的一元二次方程 - D.m＜ ＞ A.m＞ B.m＜ C.m-

.

因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足思路点拨：

2 -3m)＞0， 解:由题意，得△=1-4×1×( .

m＞- 解得C.

:答案

举一反三：

.

x有实根的方程【变式1】当m为什么值时，关于

和思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分

.

两种情形讨论 当时，即，方程为一元一次方程，总有实根； 解： 即当时，方程有根的条件是：

，解得

且时，方程有实根.

∴当 综上所述：当时，方程有实根 .

2的a用含(的解集0＞ax+3没有实数解，求-2ax+a+1=0(a-2)x的一元二次方程x】若关于2【变式

．式子表示)的值是正、负或a-3的解集，那么就转化为要判定＞0的解集，就是求ax＞思路点拨： 要求ax+322的取值范a-4(a-2)(a+1)＜0就可求出没有实数根，即0．因为一元二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0(-2a) 围．2 没有实数根．x∵关于的一元二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0 解：2220

＜-4a+4a+8 ∴(-2a)-4(a-2)(a+1)=4a 满足∴

-3

＞0即ax ∵ax+3＞

.

∴所求不等式的解集为

类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值

222 的值是( )-3x+1=0x，x是一元二次方程2x的两个根，则x+x 若 9.(河北)2112 C. D.7

A. B.

22但一般不解方程，.，求得其值x 思路点拨:本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入+x21.

x和+xx只要将所求代数式转化成含有x的代数式，再整体代入2121．

2222=2×.

=())x+x=，x·x，=x+x=(x+x-2x·x-解 :由根与系数关系可得2221112112 答案:A.

总结升华:公式之间的恒等变换要熟练掌握.

类型五、一元二次方程的应用

考点讲解：

1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体

问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．

2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要

对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．

10.(陕西)在一幅长80cm，宽 50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图. 2( )满足的方程是 ，那么如果要使整个挂图的面积是5400cm，设金色纸边的宽为xcmx22+65x-350=0

B.x +130x-1400=0 A.x

22-64x-1350=0

D.x C.x-130x-1400=0

解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边，那么挂图的长为(80+2x)cm，?宽为(50+2x)cm，由2+65x-350=0.

，整理得x题意，可得(80+2x)(50+2x)=5400 答案:B.

11.(海口)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，

经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 保证每天盈利6000 解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500-20x)(10+x)=6000．

2 ．=10=5，x50=0 整理，得x-15x＋．解这个方程，x 21 要使顾客得到实惠，应取x=5．

答：每千克应涨价5元．

总结升华：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况．

12.(深圳南山区)课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地， 开辟一个面积为130平方米 求花圃的长和宽．米的旧围栏，33三面利用长为米的仓库墙面，15打算一面利用长为，)如图(的花圃．

米，依题：设与墙垂直的两边长都为为 解米，则另一边长 意得

又∵ 当 时， 当时，

不合题意，舍去．∴.

∴ 米．10米，宽为13花圃的长为答：

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2c7f0510bbd528ea81c758f5f61fb7360b4c2b98.html