2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）【2015年山东，理1】已知集合，，则（）

（A）（B）（C）（D）

（2）【2015年山东，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（）

（A）（B）（C）（D）

（3）【2015年山东，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（）

（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位

（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则=（）

（A）（B） （C）（D）

（5）【2015年山东，理5】不等式的解集是（）

（A） （B）（C）（D）

（6）【2015年山东，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（）

（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3

（7）【2015年山东，理7】在梯形中，，，．将梯形

绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

（A）（B）（C）（D）

（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）

（A）（B）（C）（D）

（9）【2015年山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线

所在的直线的斜率为（）

（A）或（B）或（C）或（D）或

（10）【2015年山东，理10】设函数则满足的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分

（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：

照此规律，当时，．

（12）【2015年山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为．

（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为．

（14）【2015年山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则．

（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为．

三、解答题：本大题共6题，共75分．

（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．

（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，

分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若平面，，求平面与平面

所成角（锐角）的大小．

（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．

（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．

（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．

（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．

（i）求的值；（ii）求面积最大值．

（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数，其中．

（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）【2015年山东，理1】已知集合，，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】，，故选C．

（2）【2015年山东，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】，，故选A．

（3）【2015年山东，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（）

（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位

【答案】B

【解析】，只需将函数的图像向右平移个单位，故选B．

（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则=（）

（A）（B） （C）（D）

【答案】D

【解析】由菱形ABCD的边长为，可知，

，故选D．

（5）【2015年山东，理5】不等式的解集是（）

（A） （B）（C）（D）

【答案】A

【解析】当时，成立；当时，，解得，则

；当时，不成立．综上，故选A．

（6）【2015年山东，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（）

（A）3（B）2 （C）-2（D）-3

【答案】B

【解析】由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，满足，故选B．

（7）【2015年山东，理7】在梯形中，，，．将梯形

绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】，故选C．

（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】，故选D．

（9）【2015年山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线

所在的直线的斜率为（）

（A）或（B）或（C）或（D）或

【答案】D

【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为即，

则，解得或，故选D．

（10）【2015年山东，理10】设函数则满足的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】由可知，则或，解得，故选C．

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分

（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：

照此规律，当时，．

【答案】

【解析】

（12）【2015年山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为．

【答案】1

【解析】“”是真命题，则，于是实数的最小值为1．

（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为．

【答案】

【解析】．

（14）【2015年山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则．

【答案】

【解析】当时，无解；当时，解得，则．

（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为．

【答案】

【解析】的渐近线为，则

的焦点，则，即，，．

三、解答题：本大题共6题，共75分．

（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．

解：（Ⅰ）由，

由得，

则的递增区间为；

由得，

则的递增区间为．

（Ⅱ）在锐角中，，，而，

由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，

即，故面积的最大值为．

（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，

分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若平面，，求平面与平面

所成角（锐角）的大小．

解：（Ⅰ）证明：连接，，设与交于点，

在三棱台中，，则，

而是的中点，，则，

所以四边形是平行四边形，是的中点，．

又在，是的中点，则，

又平面，平面，故平面．

（Ⅱ）由平面，可得平面而，，，

则，于是两两垂直，以点为坐标原点，

所在的直线，分别为轴建立空间直角坐标系，

设,则,

，

则平面的一个法向量为，设平面的法向量为

，则，即，

取，则，，

，故平面与平面所成角（锐角）的大小为．

（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．

解：（Ⅰ）由可得，，

而，则．

（Ⅱ）由及，可得

，，

（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．

（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；

（Ⅱ）的所有取值为-1，0，1．

甲得分的分布列为：

．

（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．

（i）求的值；（ii）求面积最大值．

解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为可知，而则，左、右焦点分别是,圆：圆：

由两圆相交可得，即，交点在椭圆上，

则，整理得，解得，（舍去），

故，，椭圆的方程为．

（Ⅱ）（i）椭圆的方程为，设点，满足，射线，

代入可得点，于是．

（ii）点到直线距离等于原点到直线距离的3倍：

，，得，

整理得．

，

，当且仅当等号成立．

而直线与椭圆有交点，则有解，

即有解，

其判别式，即，

则上述不成立，等号不成立，

设，则在为增函数，

于是当时，故面积最大值为12．

（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数，其中．

（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．

解：（Ⅰ），定义域为，

，设，

当时，，函数在为增函数，无极值点．

当时，，

若时，，函数在为增函数，无极值点．

若时，设的两个不相等的实数根，且，

且，而，则，所以当单调

递增；当单调递减；当单调递增．

因此此时函数有两个极值点；

当时，但，，所以当单调

递増；当单调递减，所以函数只有一个极值点．

综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个

极值点．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时在单调递增，而，

则当时，，符合题意；

当时，，在单调递增，而，

则当时，，符合题意；

当时，，所以函数在单调递减，而，

则当时，，不符合题意；

当时，设，当时，

在单调递增，因此当时，

于是，当时，

此时，不符合题意．

综上所述，的取值范围是．

另解：（Ⅰ），定义域为

，

当时，，函数在为增函数，无极值点．

设，

当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数．

若，即时，，函数在为增函数，无极值点．

若，即或，而当时

此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；

当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；

综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，

的极值点个数为2．

（Ⅱ）设函数，，都有成立，即

当时，恒成立；

当时，，；

当时，，；由均有成立．

故当时，， ，则只需；

当时，，则需，即．综上可知对于，都有

成立，只需即可，故所求的取值范围是．

另解：（Ⅱ）设函数，，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，于是只需，成立，

当时，令，，

则；当时；当，，

令，关于单调递增，

则，则，于是．

又当时，，所以函数在单调递减，而，

则当时，，不符合题意；

当时，设，当时，

在单调递增，因此当时，

于是，当时，此时，不符合题意．

综上所述，的取值范围是．

【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2fb03b530812a21614791711cc7931b764ce7b10.html