2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷1)含答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合word/media/image2.gif，word/media/image3.gif，则word/media/image4.gif

A．word/media/image5.gif B．word/media/image6.gif C．word/media/image7.gif D．word/media/image8.gif

2．设word/media/image9.gif，则word/media/image10.gif

A．0 B．word/media/image11.gif C．word/media/image12.gif D．word/media/image13.gif

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．已知椭圆word/media/image15.gif：word/media/image16.gif的一个焦点为word/media/image17.gif，则word/media/image15.gif的离心率为

A．word/media/image18.gif B．word/media/image11.gif C．word/media/image19.gif D．word/media/image20.gif

5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为word/media/image21.gif，word/media/image22.gif，过直线word/media/image23.gif的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A．word/media/image24.gif B．word/media/image25.gif C．word/media/image26.gif D．word/media/image27.gif

6．设函数word/media/image28.gif．若word/media/image29.gif为奇函数，则曲线word/media/image30.gif在点word/media/image31.gif处的切线方程为

A．word/media/image32.gif B．word/media/image33.gif C．word/media/image34.gif D．word/media/image35.gif

7．在△word/media/image36.gif中，word/media/image37.gif为word/media/image38.gif边上的中线，word/media/image39.gif为word/media/image37.gif的中点，则word/media/image40.gif

A．word/media/image41.gif B．word/media/image42.gif

C．word/media/image43.gif D．word/media/image44.gif

8．已知函数word/media/image45.gif，则

A．word/media/image46.gif的最小正周期为π，最大值为3

B．word/media/image46.gif 的最小正周期为π，最大值为4

C．word/media/image46.gif 的最小正周期为word/media/image47.gif，最大值为3

D．word/media/image46.gif的最小正周期为word/media/image47.gif，最大值为4

9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点word/media/image49.gif在正视图上的对应点为word/media/image50.gif，圆柱表面上的点word/media/image51.gif在左视图上的对应点为word/media/image52.gif，则在此圆柱侧面上，从word/media/image49.gif到word/media/image51.gif的路径中，最短路径的长度为

A．word/media/image53.gif B．word/media/image54.gif

C．word/media/image55.gif D．2

10．在长方体word/media/image56.gif中，word/media/image57.gif，word/media/image58.gif与平面word/media/image59.gif所成的角为word/media/image60.gif，则该长方体的体积为

A．word/media/image61.gif B．word/media/image62.gif C．word/media/image63.gif D．word/media/image64.gif

11．已知角word/media/image65.gif的顶点为坐标原点，始边与word/media/image66.gif轴的非负半轴重合，终边上有两点word/media/image67.gif，word/media/image68.gif，且

word/media/image69.gif，则word/media/image70.gif

A．word/media/image71.gif B．word/media/image72.gif C．word/media/image73.gif D．word/media/image12.gif

12．设函数word/media/image74.gif，则满足word/media/image75.gif的x的取值范围是

A．word/media/image76.gif B．word/media/image77.gif C．word/media/image78.gif D．word/media/image79.gif

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数word/media/image80.gif，若word/media/image81.gif，则word/media/image82.gif________．

14．若word/media/image83.gif满足约束条件word/media/image84.gif，则word/media/image85.gif的最大值为________．

15．直线word/media/image86.gif与圆word/media/image87.gif交于word/media/image88.gif两点，则word/media/image89.gif________．

16．△word/media/image36.gif的内角word/media/image90.gif的对边分别为word/media/image91.gif，已知word/media/image92.gif，word/media/image93.gif，则△word/media/image36.gif的面积为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

已知数列word/media/image94.gif满足word/media/image95.gif，word/media/image96.gif，设word/media/image97.gif．

（1）求word/media/image98.gif；

（2）判断数列word/media/image99.gif是否为等比数列，并说明理由；

（3）求word/media/image94.gif的通项公式．学,科网

18．（12分）

如图，在平行四边形word/media/image100.gif中，word/media/image101.gif，word/media/image102.gif，以word/media/image103.gif为折痕将△word/media/image104.gif折起，使点word/media/image49.gif到达点word/media/image105.gif的位置，且word/media/image106.gif．

（1）证明：平面word/media/image107.gif平面word/media/image108.gif；

（2）word/media/image109.gif为线段word/media/image110.gif上一点，word/media/image111.gif为线段word/media/image38.gif上一点，且word/media/image112.gif，求三棱锥word/media/image113.gif的体积．

19．（12分）

某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

20．（12分）

设抛物线word/media/image124_1.png，点word/media/image125_1.png，word/media/image126_1.png，过点word/media/image127_1.png的直线word/media/image128_1.png与word/media/image129_1.png交于word/media/image130_1.png，word/media/image131_1.png两点．

（1）当word/media/image132_1.png与word/media/image133_1.png轴垂直时，求直线word/media/image134_1.png的方程；

（2）证明：word/media/image135_1.png．

21．（12分）

已知函数word/media/image136_1.png．

（1）设word/media/image137_1.png是word/media/image138_1.png的极值点．求word/media/image139_1.png，并求word/media/image140_1.png的单调区间；

（2）证明：当word/media/image141_1.png时，word/media/image142_1.png．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系word/media/image143_1.png中，曲线word/media/image144_1.png的方程为word/media/image145_1.png．以坐标原点为极点，word/media/image146_1.png轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线word/media/image147_1.png的极坐标方程为word/media/image148_1.png．

（1）求word/media/image149_1.png的直角坐标方程；学科*网

（2）若word/media/image150_1.png与word/media/image151_1.png有且仅有三个公共点，求word/media/image152_1.png的方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知word/media/image153_1.png．

（1）当word/media/image154_1.png时，求不等式word/media/image155_1.png的解集；

（2）若word/media/image156_1.png时不等式word/media/image157_1.png成立，求word/media/image158_1.png的取值范围．

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文科数学试题参考答案

一、选择题

1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D

7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D

二、填空题

13．-7 14．6 15．word/media/image159_1.png 16．word/media/image160_1.png

三、解答题

17．解：（1）由条件可得an+1=word/media/image161_1.png．

将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．

将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．

从而b1=1，b2=2，b3=4．

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

由条件可得word/media/image162_1.png，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

（3）由（2）可得word/media/image163_1.png，所以an=n·2n-1．

18．解：（1）由已知可得，word/media/image164_1.png=90°，word/media/image165_1.png．

又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．

又ABword/media/image166_1.png平面ABC，

所以平面ACD⊥平面ABC．

（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=word/media/image168_1.png．

又word/media/image169_1.png，所以word/media/image170_1.png．

作QE⊥AC，垂足为E，则word/media/image171_1.pngword/media/image172_1.pngword/media/image173_1.png．

由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．

因此，三棱锥word/media/image174_1.png的体积为

word/media/image175_1.png．

19．解：（1）

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为

0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．

（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

word/media/image177_1.png．

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

word/media/image178_1.png．

估计使用节水龙头后，一年可节省水word/media/image179_1.png．

20．解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．

所以直线BM的方程为y=word/media/image180_1.png或word/media/image181_1.png．

（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．

当l与x轴不垂直时，设l的方程为word/media/image182_1.png，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．

由word/media/image183_1.png得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=word/media/image184_1.png，y1y2=–4．

直线BM，BN的斜率之和为

word/media/image185_1.png．①

将word/media/image186_1.png，word/media/image187_1.png及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得

word/media/image188_1.png．

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．

综上，∠ABM=∠ABN．

21．解：（1）f（x）的定义域为word/media/image189_1.png，f ′（x）=aex–word/media/image190_1.png．

由题设知，f ′（2）=0，所以a=word/media/image191_1.png．

从而f（x）=word/media/image192_1.png，f ′（x）=word/media/image193_1.png．

当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．

（2）当a≥word/media/image194_1.png时，f（x）≥word/media/image195_1.png．

设g（x）=word/media/image196_1.png，则word/media/image197_1.png

当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．

故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．

因此，当word/media/image198_1.png时，word/media/image199_1.png．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

解：（1）由word/media/image200_1.png，word/media/image201_1.png得word/media/image202_1.png的直角坐标方程为

word/media/image203_1.png．

（2）由（1）知word/media/image204_1.png是圆心为word/media/image205_1.png，半径为word/media/image206_1.png的圆．

由题设知，word/media/image207_1.png是过点word/media/image208_1.png且关于word/media/image209_1.png轴对称的两条射线．记word/media/image210_1.png轴右边的射线为word/media/image211_1.png，word/media/image212_1.png轴左边的射线为word/media/image213_1.png．由于word/media/image214_1.png在圆word/media/image215_1.png的外面，故word/media/image216_1.png与word/media/image217_1.png有且仅有三个公共点等价于word/media/image218_1.png与word/media/image219_1.png只有一个公共点且word/media/image220_1.png与word/media/image221_1.png有两个公共点，或word/media/image222_1.png与word/media/image223_1.png只有一个公共点且word/media/image224_1.png与word/media/image225_1.png有两个公共点．

当word/media/image226_1.png与word/media/image227_1.png只有一个公共点时，word/media/image228_1.png到word/media/image229_1.png所在直线的距离为word/media/image230_1.png，所以word/media/image231_1.png，故word/media/image232_1.png或word/media/image233_1.png．

经检验，当word/media/image234_1.png时，word/media/image235_1.png与word/media/image236_1.png没有公共点；当word/media/image237_1.png时，word/media/image238_1.png与word/media/image239_1.png只有一个公共点，word/media/image240_1.png与word/media/image241_1.png有两个公共点．

当word/media/image242_1.png与word/media/image243_1.png只有一个公共点时，word/media/image244_1.png到word/media/image245_1.png所在直线的距离为word/media/image246_1.png，所以word/media/image247_1.png，故word/media/image248_1.png或word/media/image249_1.png．

经检验，当word/media/image250_1.png时，word/media/image251_1.png与word/media/image252_1.png没有公共点；当word/media/image253_1.png时，word/media/image254_1.png与word/media/image255_1.png没有公共点．学.科网

综上，所求word/media/image256_1.png的方程为word/media/image257_1.png．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

解：（1）当word/media/image258_1.png时，word/media/image259_1.png，即word/media/image260_1.png

故不等式word/media/image261_1.png的解集为word/media/image262_1.png．

（2）当word/media/image263_1.png时word/media/image264_1.png成立等价于当word/media/image265_1.png时word/media/image266_1.png成立．

若word/media/image267_1.png，则当word/media/image268_1.png时word/media/image269_1.png；

若word/media/image270_1.png，word/media/image271_1.png的解集为word/media/image272_1.png，所以word/media/image273_1.png，故word/media/image274_1.png．

综上，word/media/image275_1.png的取值范围为word/media/image276_1.png．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/30a454440166f5335a8102d276a20029bd6463b6.html