2.微积分基本定理

§2.微积分基本定理

※ 学习目标

1．理解掌握微积分基本定理； 

2．能根据微积分基本定理解较为简单的积分题目. 

※ 学习过程

一、课前准备

复习1：

积分的概念

复习2：

求函数积分的基本方法、步骤

二、研读课本

微积分基本定理：

如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F(x)，则有

=F(b)－F(a)

定理中的式子成为牛顿-莱布尼兹公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数.

在计算定积分时，常常用记号F(x)来表示F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼兹公式也可以写作：

= F(x)=F(b)－F(a)

常用关于积分的结论：

1、速度的积分等于路程；

2、加速度的积分等于速度；

3、力的积分等于功；

4、曲线的积分等于面积（这里要注意面积并非完全意义上的面积------x轴上的面积为正，x轴下的面积为负）；

5、面积的积分等于体积

课本例一、计算下列定积分：

（1） （2）

（3） (4)

新知总结

微积分基本定理建立了积分与导数间的密切联系.它使求定积分的问题变得简捷，在求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以利用牛顿-莱布尼兹公式求出这个函数的积分，这是求定积分的一种非常重要的方法.

积分问题的关键就是找到导函数的一个原函数.

课本例二

求定积分

课本例三

求定积分，并解释其意义

三 典型例题

例3、 求下列函数的导函数，并利用所求结果求

（1）x （2）x+5 （3）x－

（4）x－a（其中a是一个常数）

解：∵（x）=2x；

（x+5）=2x；

（x－）=2x；

（x－a）=2x．

∴ = x=（1）－（0）=1

=（x+5）=(1+5)－(0+5)=1

=（x－）=(1－)－(0－)=1

=（x－a）=(1－a)－(0－a)=1

小结：由上可知，题中4个不同函数得到函数都是2x，而计算定积分时，选择不同的原函数，结果却都一样．观察不难发现，这些原函数之间只是差了一个常数，而常数的导数为零，故导函数相同；积分时“－”的前后算式中都有这个常数，故常数并不影响定积分的结果．

故，为了计算简便一般在选择原函数计算定积分时，选择常数是0的原函数．

例4 、将一根弹性系数为0.5N/m的弹簧自80cm压缩至60cm．求这一过程中弹簧弹力所做的功．

解：由胡克定理知F=kx=0.5x，而功W=Fx，由积分的意义可知克服弹力所做的功就是变力对弹簧改变长度x的积分，80cm=0.8m，60cm=0.6m．

W=

而易知(0.25x)=0.5x

故W==(0.25x)

=0.25×0.6－0.25×0.8

=－0.07

小结：定积分在物理中的其中一个应用就是计算变力F做功，这里只要能够得到变力F的大小就可以计算．

这里从定积分的定义出发更为形象的理解--- “∫”连加求和符号“∑”，分割细度“△x”就是“dx”，即=．

四 动手试试

练1. 求下列定积分

（1） （2） (3)

练2. 计算下列定积分：

（1） （2） （3）

※ 总结提升

学习小结

1. 求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以利用牛顿-莱布尼兹公式求出这个函数的积分，这是求定积分的一种非常重要的方法.

2. 因为常数的导数为零，故选择原函数计算定积分时，为了简化运算一般不要带常数.

※ 课后练习：

1．=

A.－ B. 2(－)

C. － D. (b－a)

2．=

A. B. － C. 2ln2 D. －2ln2

3．=

A.2cos1 B.0 C. －2cos1 D. 2 sin1

4．已知F(x)=sinxcosx，f(x)=F(x),则定积分=________________．

5．（1）求sinx，sinx+2，sinx+c（其中c为任意常数）的导数；

（2）求定积分．

6．一辆汽车在一段时间内，行使过程中的速度v（单位：m/s）是时间t（单位：s）的函数v(t)=2+t+2,t≥0．求汽车在5—10s这段时间内走过的路程．

7．求定积分，其中f(x)=．

8．求出下列定积分

（1） （2）

你能得出什么结果？把以上定积分用图像表示出来，解释你的结果．

9．若=4，求常数m的值.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/48e4e947c081e53a580216fc700abb68a882ad41.html