士兵军考试题：2017年军队院校招生文化科目统一考试 - 士兵高中数学模拟试题1（含答案）

阶段性检测试题

一、选择题（共9小题，每题4分）

1、已知全集U＝R，集合A＝{x|lg x≤0}，B＝{x|2x≤word/media/image1.gif}，则A∪B＝(　D　)

A．∅B．(0，word/media/image2.gif]C．[word/media/image2.gif，1] D．(－∞，1]

(1)由题意知，A＝(0，1]，B＝(－∞，word/media/image2.gif]，∴A∪B＝(－∞，1]．故选D.

2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a52，a2＝2，则a1＝(　C　)

A. word/media/image3.gif B. word/media/image4.gif

C. word/media/image5.gif D．2

解析：选C.由等比数列的性质得 ，

∵q>0，

∴a6＝word/media/image5.gifa5，q＝word/media/image6.gif＝word/media/image5.gif，a1＝word/media/image7.gif＝word/media/image5.gif，故选C.

3．已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：∀x∈word/media/image8.gif，f(x)<0，则(　D　)

A．p是假命题，word/media/image9.gif p：∀x∈word/media/image8.gif，f(x)≥0

B．p是假命题，word/media/image9.gif p：∃x0∈word/media/image8.gif，f(x0)≥0

C．p是真命题，word/media/image9.gif p：∀x∈word/media/image8.gif，f(x)>0

D．p是真命题，word/media/image9.gif p：∃x0∈word/media/image8.gif，f(x0)≥0

解析：选D.因为f′(x)＝3cos x－π，所以当x∈word/media/image8.gif时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以∀x∈word/media/image8.gif，f(x)＝0，所以p是真命题，又全称命题的否定是特称命题，所以答案选D.

4．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2word/media/image10.gif，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(D　　)

A. word/media/image11.gif B. word/media/image12.gif C. word/media/image13.gif D. word/media/image14.gif

解析：选D.a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－word/media/image15.gif，故所求夹角为word/media/image14.gif.

5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　A　)

A．f(x)＝word/media/image16.gif　　　　　　　 B．f(x)＝x2＋1

C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x

解析：选A.A中f(x)＝word/media/image17.gif是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．

6．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　B)

解析：选B.∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，

∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A.

若a＞1，则0＜b＜1，

此时f(x)＝ax是增函数，

g(x)＝－logbx是增函数，

结合图象知选B.

7、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　B　)

A．2n－1　　　　　　　　 B. word/media/image19.gif word/media/image20.gif

C. word/media/image21.gif word/media/image20.gif D. word/media/image22.gif

[解析]　(1)由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，word/media/image23.gif＝word/media/image24.gif，而S1＝a1＝1，所以Sn＝word/media/image19.gifword/media/image20.gif.

[答案]　B

8.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当word/media/image25.gif取得最大值时，word/media/image26.gif＋word/media/image27.gif－word/media/image28.gif的最大值为(　B　)

A．0 B．1C. word/media/image29.gif D．3

解析：选B.z＝x2－3xy＋4y2(x>0，y>0，z>0)，

∴word/media/image25.gif＝word/media/image30.gif＝word/media/image31.gif≤word/media/image32.gif＝1.

当且仅当word/media/image33.gif＝word/media/image34.gif，即x＝2y时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴word/media/image26.gif＋word/media/image27.gif－word/media/image28.gif＝word/media/image35.gif＋word/media/image27.gif－word/media/image36.gif＝－word/media/image37.gif＋word/media/image38.gif＝－word/media/image39.gifword/media/image40.gif＋1，∴当y＝1时，word/media/image26.gif＋word/media/image27.gif－word/media/image28.gif的最大值为1.

9.已知{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于(　C　)

A．40 B．200C．400 D．20

解析：选C.S20－2S10＝word/media/image41.gif－2×word/media/image42.gif

＝10(a20－a10)＝100d.

又a10＝a2＋8d，

∴33＝1＋8d，

∴d＝4.

∴S20－2S10＝400.

二、填空题（共8小题，每题4分）

1、函数f(x)＝word/media/image43.gif的定义域为(　　)

解析：要使函数有意义，

则x需满足word/media/image44.gif即word/media/image45.gif

解①得－1≤x≤10.

所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]．

2、函数y＝word/media/image46.gif的单调减区间为________．

(3)由y＝cosword/media/image47.gif＝cosword/media/image48.gif，得

2kπ≤2x－word/media/image49.gif≤2kπ＋π(k∈Z)，

故kπ＋word/media/image50.gif≤x≤kπ＋word/media/image51.gif (k∈Z)．

所以函数的单调减区间为word/media/image52.gif (k∈Z)．

3、函数f(x)＝word/media/image53.gif在[0，2]上的最小值是(　　)

A．－word/media/image54.gif　　　　　　　 B．－word/media/image55.gif

C．－4 D．－word/media/image56.gif

解析：选A.f′(x)＝x2＋2x－3，

令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，

又f(0)＝－4，f(1)＝－word/media/image54.gif，f(2)＝－word/media/image55.gif，

故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－word/media/image54.gif.

4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P­ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝word/media/image5.gif，所以最长的棱为PC，PC＝word/media/image58.gif＝2word/media/image5.gif.

答案：2word/media/image5.gif

5、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－4，则an＝________．

解析：由3an＋1＝3an－4，得an＋1－an＝－word/media/image59.gif，

所以{an}是等差数列，首项a1＝15，公差d＝－word/media/image59.gif，

所以an＝15－word/media/image59.gif (n－1)＝word/media/image60.gif.

答案：word/media/image61.gif

6、若命题“∃x0∈R，2xword/media/image62.gif－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

因为“∃x0∈R，2xword/media/image62.gif－3ax0＋9<0”为假命题，则“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2word/media/image5.gif≤a≤2word/media/image5.gif.

7、若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝word/media/image63.gif则 fword/media/image64.gif＋fword/media/image65.gif＝________．

∵f(x)是以4为周期的奇函数，∴fword/media/image64.gif＝fword/media/image66.gif＝fword/media/image67.gif，fword/media/image65.gif＝fword/media/image68.gif＝fword/media/image69.gif.

∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，∴fword/media/image70.gif＝word/media/image71.gif×word/media/image72.gif＝word/media/image73.gif.∵当1<x≤2时，f(x)＝sin πx，

∴fword/media/image74.gif＝sinword/media/image75.gif＝－word/media/image3.gif.又∵f(x)是奇函数，

∴fword/media/image67.gif＝－fword/media/image70.gif＝－word/media/image73.gif，fword/media/image69.gif＝－fword/media/image74.gif＝word/media/image3.gif.

∴fword/media/image64.gif＋fword/media/image65.gif＝word/media/image3.gif－word/media/image73.gif＝word/media/image76.gif.

8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．

解析：(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；

当x>0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥word/media/image77.gif－word/media/image78.gif.

设g(x)＝word/media/image77.gif－word/media/image78.gif，

则g′(x)＝word/media/image79.gif，

所以g(x)在区间word/media/image80.gif上单调递增，在区间word/media/image81.gif上单调递减，

因此g(x)max＝gword/media/image82.gif＝4，从而a≥4.

当x<0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤word/media/image77.gif－word/media/image78.gif.

g(x)在区间[－1，0)上单调递增，

∴g(x)min＝g(－1)＝4，

从而a≤4，综上可知a＝4.

答案：4

三．计算下列各题：（18分）

(1) word/media/image3.gif lgword/media/image83.gif－word/media/image59.giflgword/media/image84.gif＋lgword/media/image85.gif；

解：(1) word/media/image3.gif lgword/media/image83.gif－word/media/image59.giflgword/media/image84.gif＋lg word/media/image85.gif

＝word/media/image3.gif×(5lg 2－2lg 7)－word/media/image59.gif×word/media/image24.giflg 2＋word/media/image3.gif (lg 5＋2lg 7)

＝word/media/image86.giflg 2－lg 7－2lg 2＋word/media/image3.giflg 5＋lg 7

＝word/media/image3.giflg 2＋word/media/image3.giflg 5＝word/media/image3.giflg(2×5)＝word/media/image3.gif.

（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.求角A的大小；

[解]　(1)由题意知，

根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

即a2＝b2＋c2＋bc.①

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

故cos A＝－word/media/image3.gif，A＝120°.

四、（12分）已知word/media/image87.gif，word/media/image88.gif，若word/media/image89.gif的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

五、证明：(1)连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，

故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.word/media/image90.gif

由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1＝C，

所以BD⊥平面ACC1.

而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.

因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，

所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

（12分）六、已知函数word/media/image91.gif的最小正周期为word/media/image92.gif，将函数word/media/image93.gif的图像上各点的横坐标缩短到原来的word/media/image94.gif，纵坐标不变，得到函数word/media/image95.gif的图像，求函数word/media/image95.gif在区间word/media/image96.gif上的最小值。

（14分）七、已知数列word/media/image97.gif满足word/media/image98.gif，且word/media/image99.gif

（1）设word/media/image100.gif，证明数列word/media/image101.gif为等比数列；

（2）设word/media/image102.gif，求数列word/media/image103.gif的前n项和word/media/image104.gif。

（14分）八、已知函数f(x)＝word/media/image105.gif

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)＝word/media/image106.gif，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，

∴f′(x)＝word/media/image107.gif.

当f′(x)＝0时，x＝1.

f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：

故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．

(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，∴g′(x)＝ex－a，

①当a≤1时，g′(x)＝ex－a>0，即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点．

②当a>1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a；

令g′(x)＝ex－a>0，得x∈(ln a，＋∞)；

令g′(x)＝ex－a<0，得x∈(0，ln a)．

故g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增，

∴g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝ln a.

故实数a的取值范围是a>1.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/51f4cc5e1fb91a37f111f18583d049649b660eb8.html