一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定义
　　1.已知关于word/media/image3_1.png的方程的一个根为2，求另一个根及的值.
　　思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可.
　　解：将代入原方程，得
　　　　 即　
　　　　 解方程，得　
　　　　 当时，原方程都可化为
　　　　
　　　　 解方程，得.
　　　　 所以方程的另一个根为4，或-1.
　　总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口.

　　举一反三：
　　【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式的值.
　　思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题.
　　解：因为是方程　的一个根,
　　　　所以　,
　　　　故　,
　　　　,
　　　　所以　.
　　　　　　　
　　　　　　　word/media/image21_1.png
　　　　　　　
　　　　　　　.
　　总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验.

类型二、一元二次方程的解法
　　2.用直接开平方法解下列方程：
　　(1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0.
　　解：(1)27x2=3
　　　　　
　　　　　
　　　　　 .
　　　　(2)4(1-x)2=9
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　 word/media/image30_1.png

　　3.用配方法解下列方程：
　　(1)；　　　(2).
　　解：(1)由，
　　　　　 得，
　　　　　 ，
　　　　　 word/media/image35_1.png，
　　　　　 所以，
　　　　　 故.
　　　　(2)由，
　　　　　 得，
　　　　　 ，
　　　　　 ，
　　　　　 所以
　　　　　 故

　　4.用公式法解下列方程：
　　(1)；　　　(2)；　　　(3).
　　解：(1)这里
　　　　　　并且
　　　　　　所以，
　　　　　　所以，word/media/image50_1.png.
　　　　 (2)将原方程变形为，
　　　　　　则
　　　　　　，
　　　　　　所以，
　　　　　　所以.
　　　　 (3)将原方程展开并整理得，
　　　　　　这里，
　　　　　　并且，
　　　　　　所以.
　　　　　　所以.
　　总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材.

　　5.用因式分解法解下列方程：
　　(1)；　　(2)；　　　(3)word/media/image64_1.png.
　　解：(1)将原方程变形为word/media/image65_1.png，
　　　　　　提取公因式，得word/media/image66_1.png，
　　　　　　因为，所以
　　　　　　所以或，
　　　　　　故
　　　　 (2)直接提取公因式，得
　　　　　　所以或，(即
　　　　　　故.
　　　　 (3)直接用平方差公式因式分解得
　　　　　　
　　　　　　即
　　　　　　所以或
　　　　　　故.

　　举一反三：
　　【变式1】用适当方法解下列方程．
　　(1)2(x+3)2=x(x+3)； 　　(2)x2-2x+2=0；
　　(3)x2-8x=0； 　　　　　 (4)x2+12x+32=0.
　　解：(1)2(x+3)2=x(x+3)
　　　　　 2(x+3)2-x(x+3)=0
　　　　　 (x+3)[2(x+3)-x]=0
　　　　　 (x+3)(x+6)=0
　　　　　 x1=-3，x2=-6．
　　　　(2)x2-2x+2=0
　　　　　 这里a=1，b=-2，c=2
　　　　　 b2-4ac=(-2word/media/image83_1.png)2-4×1×2=12＞0
　　　　　 x==
　　　　　 x1=+，x2=-
　　　　(3)x(x-8)=0
　　　　　 x1=0，x2=8．
　　　　(4)配方，得
　　　　　 x2+12x+32+4=0+4
　　　　　 (x+6)2=4
　　　　　 x+6=2或x+6=-2
　　　　　 x1=-4，x2=-8．
　　点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.

　　6.若，求的值.
　　思路点拨：观察，把握关键：换元，即把看成一个“整体”.
　　解：由，
　　　　得，
　　　　，
　　　　，
　　　　所以，
　　　　故或(舍去)，
　　　　所以.
　　总结升华：把某一“式子”看成一个“整体”，用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.

类型三、一元二次方程根的判别式的应用
　　7.(武汉)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是( )
　　A.有两个相等的实数根; 　　　　B.有两个不相等的实数根
　　C.只有一个实数根; 　　　　　　D.没有实数根
　　解析:因为△=32-4×4×(-2)＞0，所以该方程有两个不相等的实数根.
　　答案:B.

　　8.(重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
　　A.m＞ 　　　B.m＜ 　　　C.m＞- 　　　D.m＜-
　　思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足.
　　解:由题意，得△=12-4×1×(-3m)＞0，
　　　　解得 m＞-word/media/image97_1.png.
　　答案:C.

　　举一反三：
　　【变式1】当m为什么值时，关于x的方程有实根.
　　思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分和两种情形讨论.
　　解：当即时，，方程为一元一次方程，总有实根；
　　　　当即时，方程有根的条件是：
　　　　，解得word/media/image105_1.png
　　　　∴当且时，方程有实根.
　　　　综上所述：当时，方程有实根.

　　【变式2】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．
　　思路点拨：要求ax+3＞0的解集，就是求ax＞-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范围．
　　解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．
　　　　∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8＜0
　　　　∴满足
　　　　∵ax+3＞0即ax＞-3
　　　　
　　　　∴所求不等式的解集为.

类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值
　　word/media/image111_1.png9.(河北)若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )
　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.7
　　思路点拨:本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x12+x22，求得其值.但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式，再整体代入.
　　解:由根与系数关系可得x1+x2=，x1·x2=，x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.
　　答案:A.
　　总结升华:公式之间的恒等变换要熟练掌握.

类型五、一元二次方程的应用
　　考点讲解：
　　1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体
　 　　问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．
　　2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要
　 　　对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．

　　10.(陕西)在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )
　　A.x2+130x-1400=0 　　　　B.x2+65x-350=0
　　C.x2-130x-1400=0 　　　　D.x2-64x-1350=0
　　解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边，那么挂图的长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm，由题意，可得(80+2x)(50+2x)=5400，整理得x2+65x-350=0.
　　答案:B.

　　11.(海口)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
　　解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500-20x)(10+x)=6000．
　 　　　整理，得x2-15x＋50=0．解这个方程，x1=5，x2=10．
　 　　　要使顾客得到实惠，应取x=5．
　　答：每千克应涨价5元．
　　总结升华：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况．

　　12.(深圳南山区)课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃(如图)，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．
　　解：设与墙垂直的两边长都为米，则另一边长为米，依题意得
　 　　　
　 　　　又∵ 当时，
　 　　　当时，
　 　　　∴不合题意，舍去．∴word/media/image127_1.png.
　 　　　答：花圃的长为13米，宽为10米．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/59828212cc7931b765ce15fb.html