苏教版七年级数学下册基本知识点

第七章 平面图形的认识(二)

一、平行线

1、同位角、内错角、同旁内角的定义

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角(corresponding angles) 如图：∠1与∠8，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。如图：∠1与∠6，∠2与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角（interior angles of thesame side） 。 如图：∠1与∠5，∠2与∠6均为同位角。

2、平行线的性质

（1）两直线平行,同位角相等。

（2）两直线平行,内错角相等。

（3）两直线平行,同旁内角互补。

3、平行线的判定

（1）同位角相等,两直线平行。

（2）内错角相等,两直线平行。

（3）同旁内角互补,两直线平行。

（4）平行于同一直线的两直线平行。

4、平移

平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation），简称平移。

5、平移的性质

经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。

（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;

（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）

（3）多次平移相当于一次平移。

（4）多次对称后的图形等于平移后的图形。

（5）平移是由方向，距离决定的。

（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。

二、三角形

1、由三条不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫做三角形。

2、三角形的性质

１）三角形的任意两边之和大于第三边（由此得三角形的两边的差一定小于第三边）

２）三角形三个内角的和等于180度（在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度）（一个三角形的3个内角中最少有2个锐角）

３）直角三角形的两个锐角互余

４）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）

５）等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一

６）三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点

７）三角形的外角和是360°

８）等底等高的三角形面积相等

９）三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

10）三角形具有稳定性。

3、三角形的分类

１）按边分

①不等边三角形②等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形 ）

2）按角分

①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形 ）

4、三角形的有关定义

１）三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高。 三角形的三条高交于一点 ，这一点叫三角形的垂心。垂心到三角形三个顶点的距离相等

２）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。）三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并交于一点 ，这一点叫三角形的内心。 三角形的内心到三边的距离相等 。

３）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线在三角形的内部，并交于一点 ，这一点叫三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

3、多边形

１、多边形：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

２、n边形内角和为（n-2）*180°

３、任意多边形的外角和为360°

４、正n边形的一个外角为360°/n

５、n边形具有不稳定性（n>3）

第8章 幂的运算

幂（power）指乘方运算的结果。ɑn指将ɑ自乘n次(n个ɑ相乘）。把ɑn看作乘方的结果，叫做ɑ的n次幂。

对于任意底数ɑ,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有

ɑｍ•ɑn=ɑm+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)

ɑｍ÷ɑn=ɑm-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)

(ɑｍ)n=ɑmn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)

(ɑb)n=ɑnɑn (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)

ɑ0=1(ɑ≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)

ɑ-n=1/ɑn (ɑ≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)

科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.

第九章 从面积到乘法公式

一、单项式、多项式、整式

1、代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。单独一个数或者字母也是代数式。

2、单项式： 由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

1）分母含有未知数的式子不属于单项式。因为单项式属于整式，而分母含有未知数的式子是分式。例如，1/x不是单项式。

2）单独的一个数字或字母也是单项式。例如，1和x2y也是单项式。如果一个单项式，只含有字母因数，如果是正数的单项式系数为1，如果是负数的单项式系数为－1.

3）单项式书写规则：数与字母相乘时，数在字母前；乘号可以省略为点或不写；除法的式子可以写成分数式；带分数与字母相乘，带分数要化为假分数

3、多项式：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

4、整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。

5、同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。

6、合并同类项：多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项，合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

7、去、添括号法则

1)括号前是"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。

2)括号前是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。（改成与原来相反的符号)

3)若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号

4)遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数"-"的个数.

8、单项式乘单项式,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

9、单项式乘多项式，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

10、 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2、乘法公式

１、完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

２、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

３、完全立方公式： (a±b)3 =a3±3a2b+3ab2±b3

４、立方和公式：a3＋b3= (a＋b)(a2＋ab＋b2)

立方差公式：a3－b3= (a－b)(a2＋ab＋b2)

3、因式分解

1、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

2、因式分解（分解因式）Factorization：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

3、因式分解的方法：

⑴提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

⑵运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。

⑶分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．

⑷十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法．

4、因式分解和整式乘法是互逆的两种运算。

5、通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再应用公式法，或者其他方法。进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。

第10章 二元一次方程组

1、含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。

2、含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

3、二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

4、代入消元法：把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

5、加减消元法：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

6、二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

第11章 图形的全等

１、能完全重合的图像叫做全等图形。两个图形全等，它们的形状和大小都相同。

２、两个能重合的三角形叫全等三角形。

３、全等三角形的对应边相等，对应角相等。

４、三角形全等的判定：

1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。

　　2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

　　3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

5）三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等。

6）在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

５、直角三角形全等的判定：

1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称HL或“斜边直角边”)。

第12章 数据在我们周围

1、普查：为一特定的目的而对所有考察对象所做的全面调查叫做普查。

2、抽样调查：为一特定的目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查。

3、总体：所考查对象的全体叫做总体。

4、个体：组成总体的每一个考查对象叫做个体。

5、样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

6、容量：样本中个体的数目叫做样本的容量。

7、扇形统计图：以整个圆面积代表统计项目的总体，每一统计项目分别用圆中不同扇形面积表示，扇形面积占圆面积的百分之几就代表该统计项目占总体的百分之几，这样的统计图叫做扇形统计图。

在扇形统计图中，扇形圆心角度数＝该部分的百分比×360°

8、折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化的统计图叫做折线统计图。

9、条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来，这样的统计图叫做条形统计图。

10、扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。

11、频数：每个对象出现的次数称为频数。

12、频率：频数与总次数的比值称为频率。

13、组距：每组的最高数值与最低数值之间的距离。在分组整理统计量数时,组的大小可因系列内量数的全距及所要划分的组数的不同而有所不同。每一组的最小限度叫做下限,最大限度叫做上限。下限和上限之间的距离, 即为组距。

14、频数分布表：将一组计量资料按观察值大小分为不同组段，然后将各观察值归纳到各组段中，最后清点各组段的观察值个数(称频数)，以表格形式表示之，称为频数分布表，又称“频次分布表”，简称“频数表”。

15、频数分布直方图：通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比（因为比是一个常数，为了画图和看图方便，通常直接用高表示频数），这样的统计图称为频数分布直方图．

第13章 数据在我们周围

1、不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。

2、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。

3、随机事件：在一定条件下，有些事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。

4、不可能事件和必然事件都是确定事件。

5、概率：随机事件发生的可能性有大有小。一个事件发生可能性大小的数值称为这个事件的概率。如果用Ａ表示一个时间，那么我们就用Ｐ（Ａ）表示事件Ａ发生的概率。

6、通常规定，必然事件Ａ发生的概率是１，记作Ｐ（Ａ）＝１；不可能事件Ａ发生的概率为０，记作Ｐ（Ａ）＝０；随机事件Ａ发生的概率Ｐ（Ａ）是０和１之间的一个数。（概率为0的事件不一定为不可能事件 ）

7、对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性。它反映这个随机事件发生的可能性大小。

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