2019年重点中学自主招生考试数学试卷及答案

2019年重点中学自主招生考试数学试卷

满分：120分 时间：90分钟 2019.2

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

（1）如果一元一次不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是

A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3

（2）若实数x满足，则=

A． B．0 C．1 D．99

（3）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为克，再称得剩余电线的质量为克，那么原来这卷电线的总长度是
A．米 B．（+1）米 C．（+1）米 D．（+1）米

（4）若实数n满足，则代数式的值是

A． B． C． D．1

（5）已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为

A．—3，0 B．1， C．1， D．1，0

（6）如图，矩形AOBC的面积为16，反比例函数的图象经过矩形的对角线的交点P，则反比例函数的解析式是

A．　　 　 B．

C． 　 D．

（7）设，，且，则代数式的值为

A． B． C．18 D．24

（8）当分别取值，，，…，，，，3，…，18，19，20时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于

A．－20 B．0 C．1 D．20

（9）如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为

A． B．4 　 　

C．π 　 D．2π

（10）方程的整数解的组数为

A．7 B． 6 C．5 D．4

二、填空（本题有7个小题，其中11题6分，其余每小题4分，共30分）

（11）直接写出下列关于x的方程的根：

① ； ② ；

③ ；④ ；

（12）已知三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x=＋＋＋＋＋，则ax＋bx＋cx＋1=_________.

（13）若化简的结果为，则的取值范围是 .

（14）如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长

线交AB于点Q，那么______________.

（15）若实数、满足＞＞0，且，

则= .

（16）若实数满足，则 .

（17）桌面上有三颗球，相互靠在一起。已知其中两个大球的半径均为3cm，一个小球半径1cm，则这三颗球分别与桌面相接触的三点构成三角形的面积为 cm2.

三、解答题（本题有6小题，共60分）

（18）本题满分8分

（Ⅰ）先化简，再求值：，其中x=.

（Ⅱ）已知正实数x，y满足：，求的值.

（19）本题满分8分

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．

（Ⅰ）求BC的长； （Ⅱ）求CE的长.

（20）本题满分8分

已知直线（n是正整数）.当n=1时，直线与 x轴和y轴分别交于点和,设△(O是平面直角坐标系的原点)的面积为；当n=2时，直线与x轴和y轴分别交于点和，设△的面积为，…,依此类推,直线与x轴和y轴分别交于点，设的面积为.

（Ⅰ）求△的面积； （Ⅱ）求的值.

（21）本题满分12分

如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（Ⅲ）若ΔABC的外接圆⊙P与y轴的另一个交点为F，请直接写出点F的坐标和⊙P的面积．

（22）本题满分12分

阅读下面的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异

三角形．

小华：等腰三角形一定是奇异三角形！

小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？

（Ⅰ）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等腰三角形一定是奇异三角形”是否正确？说明理由．

（Ⅱ）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=，AC=，BC=，且，若Rt△ABC是奇异三角形，求；

（Ⅲ）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．

求证：△ACE是奇异三角形；

当△ACE是直角三角形时，求∠ABC的度数．

（23）本小题满分12分

已知矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线y=x－1经过这两个顶点中的一个.

（Ⅰ）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（Ⅱ）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线y = ax2＋bx＋c的顶点是P点.

① 若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；

② 过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.

自主招生数学答案

1-10．DADBB, CCBAB

11. (1); (2)1,-4 (3); (4)

12. 1 13. 14. 1:24 15. 16. 17.

19.解①设AC=3k，AB=5k，BD=x，CD=4-x，△BED∽△BCA→

BD︰BA=DE︰AC→x︰5=（4-x）︰3→

x=2.5k→CD=1.5k→由AC+CD=9→k=2→BC=4k=8

②连结AD交CE于F点,证明AD垂直平分CE,可求出AD=,再证△CFD∽△ACD→CD︰AD=CF︰AC→→CF=6→CE=12。

20．解：(1)当n=1时，直线与 x轴和y轴的交点是

（，0）和（0，1） 所以=,=1, ∴=

(2) 当n=2时，直线与 x轴和y轴的交点是

（，0）和（0，）

所以=,=, ∴==

当n=3时，直线与 x轴和y轴的交点是

（，0）和（0，）

所以=,=, ∴==

依次类推，

==

∴=

∴===

21. 解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)

∴ 解得： b=－ c=－1 ∴二次函数的解析式为

（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）

∴ OD=m ∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得， ∴ ∴DE=

∴△CDE的面积=××m==

当m=1时，△CDE的面积最大 ∴点D的坐标为（1，0）

（3）F(0,2), S=

22．在Rt△ABC中，

∵

∴，

∴若Rt△ABC为奇异三角形,一定有

∴

∴得

∵

∴

∴

(3)∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=∠ADB=90°

在Rt△ACB中，

在Rt△ADB中，

∵点D是半圆ADB的中点

∴AD= BD

∴AD=BD

∴

∴

又∵

∴

∴△是奇异三角形

由可得△是奇异三角形

∴

当△是直角三角形时

由（2）可得或　

（Ⅰ）当时，

即

∵ ∴

（Ⅱ）当时，

即

∵∴

23解：(1)如图，建立平面直有坐标系，

∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，

设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2);

若C点过y =x－1；则2= (m＋3)－1,

m = －1与m＞0不合；

∴C点不过y=x－1；

若点D过y=x－1，则2=m－1, m=2,

∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)；

（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)，

由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，

∴∴

∴y = ax2－7ax＋10a

( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a )

∴y = a(x－)2－a；

∴抛物线顶点P(, －a)

∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,

∴＜－a ＜ 2,∴－＜a＜–.

② 设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；

∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在RtDCF中，

∵DF2＋DC2=CF2；

∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=, ∴F(2,)

∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴－a =，∴a = －;

∴抛物线的解析式为：y= －x2＋x－5

抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），

又直线y =x－1与y轴交点（ 0，－1）；

∴Q在直线y=x－1下方.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/649da94488eb172ded630b1c59eef8c75ebf956a.html