2018年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷 2018.06.07
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1、行列式的值为 .18.
2、双曲线的渐近线方程为 ..
3、在的二项展开式中,项的系数为 .21.
4、设常数,函数.若的反函数的图像经过点,则 7.
5、已知复数满足,则 .5.
6、记等差数列的前项和为.若,,则 .14.
7、已知.若幂函数为奇函数,且在上递减,
则 ..
8、在平面直角坐标系中,已知点、,、是轴上的两个动点,且,则的最小值为 ..
9、有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个.从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 ..
10、设等比数列的通项公式为,前项和为.若,
则 ..
11、已知常数,函数的图像经过点.若,
则 ..
12、,,,则的最大值为 .
解:利用两向量乘积、单位圆、点到直线距离公式,可得.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13、设是椭圆上的动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( C ).
(A) (B) (C) (D)
14、已知,则“”是“”的( A ).
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
15、《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( D ).(A)4 (B)8 (C)12 (D)16
16、设是含数1的有限实数集,是定义在上的函数.若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合,则在以下各项中,的可能取值只能是( B ).
(A) (B)(C) (D)0
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17、(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知圆锥的顶点为,底面圆心为,半径为2,
(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;
(2)设,是底面半径,且,为线段的中点,如图,求异面直线与所成的角的大小.
17、解(1);(2).
18、(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
设常数,函数.
(1)若为偶函数,求的值;
(2)若,求方程在区间上的解.
18、解(1);(2).
19、(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当中的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为:
,
而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当在什么范围时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义.
19、解(1);
(2),在时单调递减,在时单调递增.实际意义为:当中的成员自驾时,该地上班族的人均通勤时间达到
最小值36.875分钟.
20、(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
设常数,在平面直角坐标系中,已知点,直线:,曲线: ,与轴交于点、与交于点,、分别是曲线与线段上的动点.
(1)用表示点到点的距离;
(2)设,,线段的中点在直线上,求△的面积;
(3)设,是否存在以、为邻边的矩形,使得点在上?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
20、解(1)、由抛物线的性质可知点到点的距离为。
(2)、由题目条件可知,直线方程为,联立,
解得,点,的面积为
(3)存在,焦点为,设,,,
根据得到,,解得,
所以。
答案:(1);(2);(3).
21、(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
给定无穷数列,若无穷数列满足:对任意,都有,则称与“接近”.
(1)设是首项为1,公比为的等比数列,,,判断数列是否与接近,并说明理由;
(2)设数列的前四项为:,,,,是一个与接近的数列,记集合,求中元素的个数;
(3)已知是公差为的等差数列,若存在数列满足:与接近,且在,,…,中至少有100个为正数,求的取值范围.
21、解(1)、,,所以,与接近。
(2)、由题目条件,,
所以中至多有两个相等,即。
(3)、所以,
即。
①若则恒成立,不符合条件。
②若令,则,
当为偶数时,,
当为奇数时,,
所以,存在使中至少有个为正数。
综上,。
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