2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案

第Ⅰ卷

一. 单选题：每小题5分。

（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）

（A）（B）（C）（D）

（2）已知集合，，则（ ）

（A）（B）（C）（D）

（3）已知向量，且，则m=（ ）

（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8

（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=（ ）

（A） （B） （C） （D）2

（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π

（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）

（A）x=–(k∈Z) （B）x=+ (k∈Z) （C）x=–(k∈Z) （D）x=+ (k∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

（9）若cos(–α)=，则sin 2α=（ ）

（A） （B） （C）– （D）–

（10）从区间随机抽取2n个数,，…，， ，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（ ）

（A） （B） （C） （D）

（11）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，sin ,则E的离心率为（ ）

（A） （B） （C） （D）2

（12）已知函数满足，若函数与图像的交点为 则（ ）

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

第卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分

(13)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .

(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。

（16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 。

三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.

（）求；

（）求数列的前1 000项和.

18.（本小题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置，.

（）证明：平面ABCD；

（）求二面角的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（）当t=4，时，求△AMN的面积；

（）当时，求k的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

(I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，

(II)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

(I) 证明：B,C,G,F四点共圆；

(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.       

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数，M为不等式f(x) ＜2的解集.

（I）求M；

（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案

第Ⅰ卷

一.选择题：

（1）【答案】A

（2）【答案】C

（3）【答案】D

（4）【答案】A

（5）【答案】B

（6）【答案】C

（7）【答案】B

（8）【答案】C

（9）【答案】D

（10）【答案】C

（11）【答案】A

（12）【答案】B

第Ⅱ卷

二、填空题

(13)【答案】

(14) 【答案】

（15）【答案】1和3

（16）【答案】

三.解答题

17.（本题满分12分）

【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．

试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得

所以的通项公式为

（Ⅱ）因为

所以数列的前项和为

考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.

【结束】

18.（本题满分12分）

【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，求的分布列，再根据期望公式求解..

【解析】

试题解析：（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故

（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故

又，故

因此所求概率为

（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为

考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.

【结束】

19.（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.

试题解析：（I）由已知得，，又由得，故.

因此，从而.由,得.

由得.所以，.

于是，

故.

又，而，

所以.

（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.

考点：线面垂直的判定、二面角.

【结束】

20.（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.

试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积.

（II）由题意，，.

将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即.

当时上式不成立，

因此.等价于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范围是.

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

【结束】

（21）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.

试题解析：（Ⅰ）的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，

因此当时，

所以

（II）

由（I）知，单调递增，对任意

因此，存在唯一使得即，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

因此在处取得最小值，最小值为

于是，由单调递增

所以，由得

因为单调递增，对任意存在唯一的

使得所以的值域是

综上，当时，有最小值，的值域是

考点： 函数的单调性、极值与最值.

【结束】

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍.

试题解析：（I）因为,所以

则有

所以由此可得

因此所以四点共圆.

（II）由四点共圆，知，连结，

由为斜边的中点，知,故

因此四边形的面积是面积的2倍，即

考点： 三角形相似、全等，四点共圆

【结束】

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/677d1df2b80d6c85ec3a87c24028915f814d8461.html